陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 數(shù)學(xué)歸納法教案 北師大版選修2-2

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1、數(shù)學(xué)歸納法 【教學(xué)目標(biāo)】 知識與技能: 理解數(shù)學(xué)歸納法的概念,掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟; 過程與方法: 經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟,初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力; 情感態(tài)度價值觀:通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神。 【教學(xué)重點】 理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)意義,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。 【教學(xué)難點】 運用數(shù)學(xué)歸納法時,在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。 【教后反思】 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情景 1. 摸球?qū)嶒? 已知盒子里面有5個兵乓球,如何證明盒子里面的球全是橙色? 2. 今天,據(jù)觀察第

2、一個到學(xué)校的是男同學(xué),第二個到學(xué)校的也是男同學(xué),第三個到學(xué)校的還是男同學(xué),于是得出:這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。 象這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的方法,我們把它叫做歸納法。 (1) 是完全歸納法,結(jié)論正確(2)是不完全歸納法,結(jié)論不一定正確。 問題:這些問題都與自然數(shù)有關(guān),自然數(shù)有無限多個,我們無法對其一一驗證,那么如何證明一個與自然數(shù)有關(guān)的命題呢?例如對于數(shù)列,已知, 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確,如何證明?數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)歸納法證明。 二、探索新知 1、了解多米諾骨牌游戲,可得,只要滿足以下兩條件,所有多米諾骨牌就都能倒下: (1

3、)第一塊骨牌倒下; (2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 思考:條件(1)(2)的作用是什么? 2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。 思考:你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎? 分析: 多米諾骨牌游戲原理 通項公式?的證明方法 (1)第一塊骨牌倒下。 (1)當(dāng)n=1時,猜想成立 (2)若第k塊倒下時,則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當(dāng)n=k時猜想成立,即?,則當(dāng)n=k+1時猜想也成立,即 。?? 根據(jù)(1)和? (2),可知不論有多少塊骨牌,都能全部倒下。 根據(jù)(1)和(2),可知對任意的正整數(shù)n,猜想都成立。 3、數(shù)學(xué)歸納法的原理

4、一般地,證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)取第一個值時命題成立(為取的第一個值 ); (2)(歸納遞推)假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立。 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。 注:(1)這兩步步驟缺一不可; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時第二步必須用到歸納假設(shè); (3)數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)的命題。 三、例題講解 例一、已知數(shù)列,,用數(shù)學(xué)歸納法證明其通項公式為?!窘虒W(xué)預(yù)設(shè)】 【教學(xué)過程】 【學(xué)生活動】 例二、用數(shù)學(xué)歸納法證明:

5、等差數(shù)列{an}中,a1為首項,d為公差,則通項公式為 。 【教學(xué)預(yù)設(shè)】 【教學(xué)過程】 【學(xué)生活動】 例三、用數(shù)學(xué)歸納法證明:。 【教學(xué)預(yù)設(shè)】 【教學(xué)過程】 【學(xué)生活動】 四、課堂小結(jié) 【課后練習(xí)】 一.選擇 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時,左邊為從k變到k+1時,左邊應(yīng)增添的代數(shù)式是

6、 ( ) A. B.+ C.++ D.++……+ 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是      ( ) A. B. C. D. 4.某個命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)時命題成立,那么可推得當(dāng)時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時該命題不成立,那么可推得        ?。? ) A.當(dāng)n=6時該命題不成立 B.當(dāng)n=6時該命題成立 C.當(dāng)n=4時該命題不成立 D.當(dāng)n=4時該命題成立 5.從一樓到二樓的樓梯共有級臺階,每步只能跨上1級或2級,走完這級臺階共有種走法,則下面的猜想正確的是 ( ) A. B. C. D. 二.用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列通項公式與前項和公式。 三.用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式()。 (1) (2) (3) (4) (5)

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