《高中數(shù)學(xué) 2-2-4第2章 第4課時 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題課同步檢測 新人教B版必修5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2-2-4第2章 第4課時 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題課同步檢測 新人教B版必修5(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2章 2.2 第4課時等差數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題課
一、選擇題
1.四個數(shù)成等差數(shù)列,S4=32,a2:a3=1:3,則公差d等于( )
A.8 B.16 C.4 D.0
[答案] A
[解析] ∵a2:a3=1:3,∴=,∴d=-2a1
又S4=4a1+d=-8a1=32,∴a1=-4,
∴d=8.
[點(diǎn)評] 可設(shè)這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則由S4=32得:a=8,由a2:a3=1:3得:=,∴d=4,∴公差為2d=8.
2.等差數(shù)列{an}中,a2=7,a9=15,則前10項(xiàng)和S10等于( )
A.100 B.11
2、0 C.120 D.125
[答案] B
[解析] S10==
==110.
3.(2020·桂林高二檢測)已知等差數(shù)列{an}為5,4,3…,則使{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值的n值是( )
A.15 B.7
C.8或9 D.7或8
[答案] D
[解析] ∵a1=5,d=4-5=-,
∴an=5+(n-1)·(-)=-n+.
令an=0得n=8,∴a7>0,a8=0,a9<0,
∴當(dāng)n=7或8時,Sn最大.
4.設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S5S8,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.d<0
B.a(chǎn)7=0
C.
3、S9>S5
D.S6與S7均為Sn的最大值.
[答案] C
[解析] 由S50,由S6=S7知a7=0,
由S7>S8知a8<0,C選項(xiàng)S9>S5即a6+a7+a8+a9>0,∴a7+a8>0,顯然錯誤.
5.在等差數(shù)列{an}中,若S12=8S4,且d≠0,則等于( )
A. B. C.2 D.
[答案] A
[解析] ∵S12=8S4,∴12a1+×12×11×d=8(4a1+×4×3×d),
即20a1=18d,∵d≠0,
∴==.
6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( )
A.63 B
4、.45 C.36 D.27
[答案] B
[解析] 解法一:∵{an}是等差數(shù)列,∴S3、S6-S3、S9-S6為等差數(shù)列.
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
∴S9-S6=2S6-3S3=45.
解法二:∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,令bn=,則{bn}成等差數(shù)列.
由題設(shè)b3==3,b6==6,
∴b9=2b6-b3=9.
∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.
二、填空題
7.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a1+a4+a7+…+a97=50,則a3+a6+a9+…a99的值為________.
[答案]?。?2
[解析] ∵
5、a1+a4+a7+…a97=50,公差d=-2,
∴a3+a6+a9+…+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a1+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d
=50+66×(-2)=-82.
8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=72,則a2+a4+a9=________.
[答案] 24
[解析] {an}為等差數(shù)列,由S9=72得S9==9a5,
∴a5=8.
∴a2+a4+a9=3a5=24.
三、解答題
9.一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100,前100項(xiàng)之和為10,求前110項(xiàng)之和.
[解析] 解法一:設(shè)等差
6、數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則
Sn=na1+d.
由已知得
①×10-②整理得d=-,代入①得,a1=,
∴S110=110a1+d
=110×+×
=110
=-110.
故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為-110.
解法二:設(shè)Sn=an2+bn.
∵S10=100,S100=10,
∴
?
∴Sn=-n2+n.
∴S110=-×1102+×110=-110.
解法三:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,則
(p≠q)
①-②得(p-q)a1+d=-(p-q).又p≠q,
∴a1+d=-1,
∴Sp+q=(p+q)a1+d
=-(p+q),
∴S
7、110=-110.
解法四:數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,…S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列,設(shè)其公差為D,前10項(xiàng)的和為10S10+·D=S100=10?D=-22,
∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)
=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
解法五:∵S100-S10=a11+a12+…+a100
==.
又S100-S10=10-100=-90,
∴a1+a110=-2.
∴S110==-110.
10.等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,問數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大,并求出最大值.
8、
[解析] 解法一:∵a1=25,S17=S9,
∴17a1+d=9a1+d,解得d=-2.
∴Sn=25n+×(-2)
=-n2+26n=-(n-13)2+169.
解法二:∵a1=25,S17=S9,
即17a1+d=9a1+d.
∴d=-2,Sn=n2+(a1-)n(d<0),Sn的圖象是開口向下的拋物線上一些孤立的點(diǎn),
∵S17=S9,∴最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=13,代入a1,d,n的值,得S13=169,故前13項(xiàng)之和最大,最大值為169.
解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+a12+……+a17=0,
∴a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13
9、+a14=0,
∵a1=25>0,∴a13>0,a14<0,所以S13最大,
∵a1=25,S17=S9,即17a1+d=9a1+d,
∴d=-2,代入a1,d,n的值,得S13=169,故前13項(xiàng)之和最大,最大值為169.
解法四:同方法一:
解得d=-2,
∴an=25+(n-1)×(-2)
=-2n+27,由,
得,
解得≤n≤,又∵n∈N*,
∴當(dāng)n=13時,Sn取得最大值,最大值為169.
能力提升
一、選擇題
1.在等差數(shù)列{an}和{bn}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)的和為( )
A.0
10、 B.4475
C.8950 D.10 000
[答案] C
[解析] 設(shè)cn=an+bn,則c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{cn}是等差數(shù)列,∴前100項(xiàng)和S100===8950.
2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=-6,S18-S15=18,則S18等于( )
A.36 B.18 C.72 D.9
[答案] A
[解析] ∵S3=-6,∴a1+a2+a3=-6.
又S18-S15=a16+a17+a18=18,
∴a1+a2+a3+a16+a17+a18=(a1+a18)+(a2+
11、a17)+(a3+a16)=3(a1+a18)=12,
∴a1+a18=4.
∴S18==9(a1+a18)=9×4=36.
二、填空題
3.設(shè){an}是遞減的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和是15,前三項(xiàng)的積是105,當(dāng)該數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時,n等于________.
[答案] 4
[解析] ∵{an}是等差數(shù)列,且a1+a2+a3=15,∴a2=5,
又∵a1·a2·a3=105,
∴a1a3=21,由及{an}遞減可求得a1=7,d=-2,∴an=9-2n,由an≥0得n≤4,∴n=4.
4.給定81個數(shù)排成如圖所示的數(shù)表,若每行的9個數(shù)與每列的9個數(shù)按表中順序構(gòu)成等差數(shù)列,且表中
12、正中間一個數(shù)a55=5,則表中所有數(shù)之和為________.
a11 a12 … a19
a21 a22 … a29
… … … …
a91 a92 … a99
[答案] 405
[解析] S=(a11+…+a19)+…+(a91+…+a99)
=9(a15+a25+…+a95)=9×9×a55=405.
三、解答題
5.Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S′n為等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,已知SnS′n=(7n+1)(4n+27),求a11b11的值.
[解析] ∵a11=,b11=,∴==
==
=.
6.(2020·課標(biāo)全國卷文)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3
13、=5,a10=-9.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值.
[解析] (1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
,可解得.
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11-2n.
(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.
因?yàn)镾n=-(n-5)2+25,
所以當(dāng)n=5時,Sn取得最大值.
7.(2020·浙江文)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范圍.
[解析] (1)由題意知S6==-3,a6=S6-S5=-8,
所以,解得a1=7.
所以S6=-3,a1=7.
(2)因?yàn)镾5S6+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a+9da1+10d2+1=0,
故(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.
故d的取值范圍為d≤-2或d≥2.