《高中數(shù)學 3-1-4第4課時 空間向量的正交分解及其坐標表示同步檢測 新人教A版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學 3-1-4第4課時 空間向量的正交分解及其坐標表示同步檢測 新人教A版選修2-1(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.1第4課時 空間向量的正交分解及其坐標表示
一、選擇題
1.對于向量a,b,c和實數(shù)λ,下列命題中真命題是( )
A.若a·b=0,則a=0或b=0
B.若λa=0,則λ=0或a=0
C.若a2=b2,則a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,則b=c
[答案] B
[解析] a·b=0?a⊥b,|a|2=|b|2?(a+b)·(a-b)=0?(a+b)⊥(a-b);
a·b=a·c?a⊥(b-c);故A、C、D均錯.
2.以下四個命題中正確的是( )
A.空間的任何一個向量都可用其它三個向量表示
B.若{a,b,c}為空間向量的一組基底,則a,b,c全不
2、是零向量
C.△ABC為直角三角形的充要條件是·=0
D.任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底
[答案] B
[解析] 使用排除法.因為空間中的任何一個向量都可用其它三個不共面的向量來表示,故A不正確;△ABC為直角三角形并不一定是·=0,可能是·=0,也可能是·=0,故C不正確;空間向量基底是由三個不共面的向量組成的,故D不正確,故選B.
3.長方體ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,則( )
A.i+j+k B.i+j+k
C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k
[答案] C
4.給出下列命題:
①若{a,b,c}可以作為空
3、間的一個基底,d與c共線,d≠0,則{a,b,d}也可作為空間的基底;②已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底;③A,B,M,N是空間四點,若,,不能構(gòu)成空間的一個基底,那么A,B,M,N共面;④已知向量組{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底.其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 根據(jù)基底的概念,空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底,否則就不能構(gòu)成空間的一個基底.顯然②正確,③中由、、共面且過相同點B,故A、B、M、N共面.
下面證明①④
4、正確.
①假設d與a、b共面,則存在實數(shù)λ,μ,使d=λa+μb,∵d與c共線,c≠0,
∴存在實數(shù)k,使d=kc,
∵d≠0,∴k≠0,從而c=a+b,
∴c與a、b共面與條件矛盾.
∴d與a,b不共面.
同理可證④也是正確的.
5.已知向量{a,b,c}是空間的一個基底,p=a+b,q=a-b,一定可以與向量p,q構(gòu)成空間的另一個基底的是( )
A.a(chǎn) B.b
C.c D.無法確定
[答案] C
[解析] ∵a=p+q,∴a與p、q共面,
∵b=p-q,∴b與p、q共面,
∵不存在λ、μ,使c=λp+μq,
∴c與p、q不共面,故{c,p,q}
5、可作為空間的一個基底,故選C.
6.給出下列兩個命題:
①如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間的一個基底,那么a,b的關系是不共線;
②O,A,B,C為空間四點,且向量, ,不構(gòu)成空間的一個基底,那么點O,A,B,C一定共面.
其中正確的命題是( )
A.僅① B.僅②
C.①② D.都不正確
[答案] B
[解析]?、賹臻g任意向量c,都有c與a、b共面,則必有a與b共線,∴①錯;②∵、、不能構(gòu)成空間的基底,∴、、必共面,故存在實數(shù)λ,μ,使=λ+μ,∴O、A、B、C四點共面,
∴②正確.
7.已知i、j、k是空間直角坐標系O-xyz的坐標向量,并且=-i+
6、j-k,則B點的坐標為( )
A.(-1,1,-1)
B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1)
D.不確定
[答案] D
[解析] 向量的坐標與B點的坐標不同.
8.設O-ABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點,且OG=3GG1,若=x+y+z,則(x,y,z)為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 連AG1交BC于E,則E為BC中點,
=(+)=(-2+),
==(-2+),
∵=3=3(-),∴OG=OG1,
∴==(+)
=(+-+)
=++,故選A.
9.如果向量a,b與任何向量都不能
7、構(gòu)成空間的一個基底,則一定有( )
A.a(chǎn)與b共線 B.a(chǎn)與b同向
C.a(chǎn)與b反向 D.a(chǎn)與b共面
[答案] A
[解析] 由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底,B,C都是A的一種情況.空間中任兩個向量都是共面的,故D錯.
10.對于空間的四個向量a,b,c,d最多能構(gòu)成的基底個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 最多的情況是a,b,c,d中任兩個不共線,任三個不共面,從中任選三個都可做一組基底,共4個.
二、填空題
11.已知e1、e2、e3是不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e
8、1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,又d=αa+βb+γc,則α、β、γ分別為________.
[答案] ?。??。?
[解析] d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3,
又因為d=e1+2e2+3e3,e1、e2、e3不共面,
∴,解得.
12.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(2,1,-1),則p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為________,在基底{2a,b,-c}下的坐標為________.
[答案] (,,-1) (1,1,1)
[解析
9、] 由條件p=2a+b-c.
設p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
∵a、b、c不共面,
∴,∴.
即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(,,-1),
同理可求p在基底{2a,b,-c}下的坐標為(1,1,1).
13.(2020·商丘高二檢測)在四面體O—ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則=________.
[答案] a+b+c
14.三棱錐P-ABC中,∠ABC為直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M為PC的中點,N為AC中點,以
10、{,,}為基底,則的坐標為________.
[答案] (,0,-)
[解析] =-=(+)-(+)=-,
即=.
三、解答題
15.如圖所示,平行六面體OABC-O′A′B′C′,且=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量,.
(2)設G、H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心,用a,b,c表示.
[解析] (1)=+=++=a+b+c.
=+=++
=+-=b+c-a.
(2)=+=-+
=-(+)+(+)
=-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=(c-b)
16.如圖,正方體ABCD-A′B′C′D′中,點E是上底面A′B′C′D′
11、的中心,求下列各式中的x、y、z的值:
(1)=x+y+z.
(2)=x+y+ z.
[解析] (1)∵=+=++=-++
又=x+y+z
∴x=1,y=-1,z=1.
(2)∵=+=+
=+(+)
=++,
又=x+y+z.
∴x=,y=,z=1.
17.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,并且PA=AD=1.選取恰當?shù)幕浊笙蛄?、的坐標?
[解析] 如圖所示,因為PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,所以可設=e1,=e2,=e3.
以{e1,e2,e3}為基底.
則∵=++
=++=++(++)
=-e2+e3+(-e3-e1+e2)
=-e1+e3,
==e2,
∴=,=(0,1,0).
18.如圖所示,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)證明:A、E、C1、F四點共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
[解析] (1)證明:因為=++
=+++
=+
=(+)+(+)=+,
所以A、E、C1、F四點共面.
(2)解:因為=-=+-(+)
=+--=-++,
所以x=-1,y=1,z=,
所以x+y+z=.