高中數(shù)學(xué) 3-2-5第5課時 利用向量知識求距離同步檢測 新人教A版選修2-1

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1、3.2第5課時 利用向量知識求距離 一、選擇題 1．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　B [解析]　以、、為正交基底建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，點O到平面ABC1D1的距離 d＝＝＝. 2．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直線B1C1和平面A1BCD1的距離是(　　) A．5　　　　　　　 B. C.　　　　　

2、 　 D．8 [答案]　C [解析]　解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1， ∴B1C1∥平面A1BCD1. 從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求． 過點B1作B1E⊥A1B于E點． ∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1， ∴BC⊥B1E. 又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1， 在Rt△A1B1B中， B1E＝＝＝， 因此直線B1C1和平面A1BCD1的距離為. 解法二：以D為原點，、、的方向為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系， 則C(0,12,0)，D1(0,0,5)，設(shè)B(x,12

3、,0)，B1(x,12,5)　(x≠0) 設(shè)平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)， 由n⊥，n⊥得 n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0， ∴a＝0， n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0， ∴b＝c， ∴可取n＝(0,5,12)，＝(0,0，－5)， ∴B1到平面A1BCD1的距離d＝＝. 3．將銳角為60°，邊長為a的菱形ABCD沿較短的對角線折成60°的二面角，則AC與BD間的距離為(　　) A.a　　　 B.a　　　 C.a　　　 D.a [答案]　C [解析]　折起后如圖，取BD中點M，則AM⊥BD

4、，CM⊥BD， 取AC中點N，則BN⊥AC，DN⊥AC 故AC⊥平面BDN，BD⊥平面AMC. 連結(jié)MN則MN⊥AC且MN⊥BD， ∴MN即為AC與BD間的距離，可求得MN＝a. 4．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　D [解析]　以A為原點，AB、AD、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)． 設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，

5、則，∴， 令z＝－1，則n＝(1,1，－1)， 顯然n·＝0，n·＝0， ∴n也是平面BDC1的法向量， ∴平面AB1D1∥平面BDC1， ∴其距離為d＝＝. 5．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為BB1的中點，則|MN|的長為(　　) A.a B.a C.a D.a [答案]　A [解析]　設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a ＝0， 由條件知，＝－ ＝(＋)－ ＝(＋＋)－(＋＋) ＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c， ||2＝2＝(2a－b－c)2

6、＝(4|a|2＋|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋b·c) ＝，∴||＝a. 6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，則CD的長等于(　　) A.　　　 B.　　　 C．2　　　 D. [答案]　C [解析]　如圖．∵二面角α－l－β等于120°， ∴與夾角為60°. 由題設(shè)知，⊥，⊥，||＝||＝||＝1，||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4， ∴||＝2. 7．△ABC中，∠C＝90°，點P在△ABC所在平

7、面外，PC＝17，點P到AC、BC的距離PE＝PF＝13，則點P到平面ABC的距離等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [答案]　A [解析]　解決本題的關(guān)鍵在于找點P在平面ABC內(nèi)的射影．易知點P在平面ABC內(nèi)的射影在∠C的角平分線上． 8．已知夾在兩平行平面α、β內(nèi)的兩條斜線段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α內(nèi)的射影的比為35，則α、β間的距離為(　　) A.cm B.cm C.cm D.cm [答案]　C [解析]　設(shè)α、β間距離為d，AB、CD在α內(nèi)的射影長分別為3x,5x，由 解得d＝

8、. 二、填空題 9．矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，則P到BC的距離為________． [答案]　5 [解析]　由已知得AB＝20sin30°＝10， 又PA＝5，∴PB＝＝5. 10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，則點B1到平面ABC1的距離為________． [答案] [解析]　解法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)， 則＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)， 設(shè)平面ABC1的法向量為n＝(x，y,1)， 則有，

9、解得n＝， 則d＝＝＝. ∴h＝. 11．在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________． [答案]　 [解析]　由已知AB，AD，AP兩兩垂直． ∴以A為坐標原點建立空間直角坐標系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)． ＝(0,2,0)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，則， ∴n＝(1,0,1)，又AB＝(2,0,0)， ∴d＝＝. 三、解答題 12．三棱柱ABC－A1B1C1

10、是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點． (1)求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1； (2)求點C到平面AB1D的距離． [解析]　(1)證明：取AB1中點M，則＝＋＋，又＝＋＋. ∴2＝＋＝＋.. 2·＝(＋)·＝0,2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0， ∴DM⊥AA1，DM⊥AB.∴DM⊥平面ABB1A1. ∵DM?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1. (2)解：∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D. ∴是平面AB1D的一個法向量． ∴點C到平面AB1D的距離為 d＝＝ ＝＝＝a. 13．如圖所示，AB和CD是兩條異

11、面直線，BD是它們的公垂線，AB＝CD＝a，點M，N分別是BD，AC的中點． (1)求證：MN⊥BD； (2)若AB與CD所成的角為60°，求MN的長． [解析]　(1)證明：由點M，N分別是BD、AC的中點可知，＋＝0， ＝(＋)＝(＋＋＋) ＝(＋)， ∴·＝(＋)· ＝(·＋·)， ∵⊥，⊥，∵·＝0，·＝0. ∵·＝0，∴MN⊥BD. (2)證明：＝(＋)， ∴||2＝(＋)2 ＝(2＋2·＋2) ＝a2＋×2a2cos60°＋a2＝a2. 所以||＝a. 14．如圖所示，已知邊長為4的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點，PA⊥平面ABC，且P

12、A＝2，設(shè)平面α過PF且與AE平行，求AE與平面α間的距離． [解析]　設(shè)、、的單位向量分別為e1、e2、e3，選取{e1，e2，e3}作為空間向量的一組基底，易知 e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0， ＝2e1，＝2e2，＝2e3， ＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3， 設(shè)n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一個法向量，則n⊥，n⊥， ∴ ? ? ?，∴n＝e1＋e3 ∴直線AE與平面α間的距離為 d＝＝＝. 15．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動． (1)證明：D1E⊥A1D； (2)當E

13、為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離； (3)AE等于何值時，二面角D1－EC－D的大小為. [解析]　以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AE＝x，則A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0) (1)因為·＝(1,0,1)·(1，x，－1)＝0，所以⊥. (2)因為E為AB的中點，則E(1,1,0)，從而＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(a，b，c)，則 ，即，∴， 從而n＝(2,1,2)， 所以點E到平面AD1C的距離為 h＝＝＝. (3)設(shè)平面D1EC的法向量n＝(a，b，c) ∴＝(1，x－2,0)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1) 由?， 令b＝1，∴c＝2，a＝2－x，∴n＝(2－x,1,2) 依題意cos＝＝ ?＝， ∴x1＝2＋(不合題意，舍去)，x2＝2－， ∴AE＝2－時，二面角D1－EC－D的大小為.