高中數(shù)學(xué) 2-3-2第2課時(shí) 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.3第2課時(shí) 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 一、選擇題 1．已知雙曲線與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，雙曲線的方程應(yīng)是(　　) A.－＝1　　　　　　 B.－＝1 C．－＋＝1 D．－＋＝1 [答案]　C [解析]　∵橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，±4)， 離心率e＝， ∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0，±4)，離心率為－＝＝2， ∴雙曲線方程為：－＝1. 2．焦點(diǎn)為(0，±6)且與雙曲線－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　B [解析]　與雙曲線－y2＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－y

2、2＝λ(λ≠0)， 又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上， ∴方程可寫為－＝1. 又∵雙曲線方程的焦點(diǎn)為(0，±6)， ∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴雙曲線方程為－＝1. 3．若00. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 4．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

3、 [答案]　D [解析]　∵＝，∴＝＝，∴＝， ∴＝，∴＝. 又∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 5．(2020·四川文，8)已知雙曲線－＝1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則·＝(　　) A．－12　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．4 [答案]　C [解析]　本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)． 由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， 又點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，∴y＝1， ∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝

4、－1＋y＝0，故選C. 6．雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2＝120°，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　B [解析]　設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． ∵△MF1F2為等腰三角形，∠F1MF2＝120°， ∴∠MF1F2＝30°，∴tan30°＝＝，＝， ＝1－()2＝，()2＝，∴e＝. 7．已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0無實(shí)根，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．1

5、D．11，故1

6、P為C的右支上一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于(　　) A．24　　　 B．36　　　 C．48　　　 D．96 [答案]　C [解析]　依題意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面積等于×16×＝48，選C. 10．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m等于(　　) A．－ B．－4 C．4 D. [答案]　A [解析]　雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y2－＝1， 則有：a2＝1，b2＝－， 由題設(shè)條件知，∴2＝， ∴m＝－. [點(diǎn)評]

7、　雙曲線作為圓錐曲線的一種，其幾何性質(zhì)常作為高考命題的熱點(diǎn)問題．但難度一般不大，掌握其實(shí)軸、虛軸、焦距之間的關(guān)系和漸近線方程是解決雙曲線問題的突破口． 二、填空題 11．若雙曲線＋＝1的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________． [答案]　(，0)(－，0) [解析]　由雙曲線方程得出其漸近線方程為y＝±x，∴m＝－3，求得雙曲線方程為－＝1，從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)(－，0) 12．(2020·福建文，13)若雙曲線－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±x，則b等于________． [答案]　1 [解析]　本題主要考查雙曲線的漸近線方程． 雙曲線－＝

8、1(b>0)的漸近線方程為y＝±x， ∴＝，即b＝1. 13．已知雙曲線與橢圓x2＋4y2＝64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為x－y＝0，則雙曲線的方程為________． [答案]?。? [解析]　解法一：由于雙曲線的一條漸近線方程為x－y＝0，則另一條為x＋y＝0，可設(shè)雙曲線方程為 x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1 由橢圓方程＋＝1可知 c2＝a2－b2＝64－16＝48 雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，則λ＋＝48 ∴λ＝36. 故所求雙曲線方程為－＝1. 解法二：雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，可設(shè)雙曲線方程為 －＝1 由漸近線方程y＝x可得＝ ∴λ＝28 故所求雙曲線方程為

9、－＝1. 解法三：橢圓＋＝1，c2＝64－16＝48. 設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長，虛半軸長分別為a、b，則由條件知 ，∴， ∴雙曲線方程為－＝1. 14．已知雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則其離心率為________． [答案]　或 [解析]　若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，依題意得，＝4， ∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝. 若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，依題意得，＝4. ∴＝，＝，即＝. ∴e2＝，故e＝， 即雙曲線的離心率是或. 三、解答題 15．雙曲線與圓x2＋y2＝17有公共點(diǎn)A(4，－1)，圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解析]　∵點(diǎn)A

10、與圓心O連線的斜率為－， ∴過A的切線的斜率為4. ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±4x. 設(shè)雙曲線方程為x2－＝λ. ∵點(diǎn)A(4，－1)在雙曲線上，∴16－＝λ，λ＝. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 16．焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線，它的兩條漸近線方程為2x±y＝0，焦點(diǎn)到漸近線的距離為8，求此雙曲線方程． [解析]　因雙曲線的漸近線方程為2x±y＝0， 故設(shè)雙曲線方程為4x2－y2＝λ(λ≠0)． 當(dāng)λ>0時(shí)，a2＝，b2＝λ，∴c2＝a2＋b2＝λ. 即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±λ，0)． 據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有＝8，得λ＝8. 此時(shí)雙曲線方程為－＝1. 當(dāng)λ<0時(shí)，雙曲線方程可化

11、為－＝1. 則a2＝－λ，b2＝－， ∴c2＝a2＋b2＝－λ. 故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±λ)， 據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有＝3，得λ＝－16. 此時(shí)雙曲線方程為－＝1. 故所求雙曲線的方程為－＝1或－＝1. 17．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，焦距為2c，左頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B(0，b)，若·＝3ac，求該雙曲線的離心率． [解析]　由條件知F(c,0)，A(－a,0)， ∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)， ∵·＝3ac，∴－ac＋b2＝3ac， 又b2＝c2－a2，∴c2－a2－4ac＝0， ∵e>1，∴e＝＝2＋. 18．若F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1

12、的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。? [分析]　條件給出了|PF1|·|PF2|＝32，自然聯(lián)想到定義式||PF1|－|PF2||＝2a＝6，欲求∠F1PF2可考慮應(yīng)用余弦定理． [解析]　由雙曲線的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5. 由雙曲線的定義得， ||PF1|－|PF2||＝2a＝6. 上式兩邊平方得， |PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100， 由余弦定理得， cos∠F1PF2＝ ＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°. [點(diǎn)評]　在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，經(jīng)常運(yùn)用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題，解題過程中，常對定義式兩邊平方探求關(guān)系．