高中數(shù)學 2、1-2-1第1課時 幾個常用函數(shù)的導數(shù)同步檢測 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 1.2 第1課時 幾個常用函數(shù)的導數(shù) 一、選擇題 1．下列結(jié)論不正確的是(　　) A．若y＝0，則y′＝0 B．若y＝5x，則y′＝5 C．若y＝x－1，則y′＝－x－2 [答案]　D 2．若函數(shù)f(x)＝，則f′(1)等于(　　) A．0　　　　 B．－　　　　 C．2　　　　 D. [答案]　D [解析]　f′(x)＝()′＝， 所以f′(1)＝＝，故應選D. 3．拋物線y＝x2在點(2,1)處的切線方程是(　　) A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 [答

2、案]　A [解析]　∵f(x)＝x2， ∴f′(2)＝li ＝li ＝1. ∴切線方程為y－1＝x－2.即x－y－1＝0. 4．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝(　　) A．0 B．3x2 C．8 D．12 [答案]　D [解析]　f′(2)＝ ＝ ＝ (6Δx＋12)＝12，故選D. 5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 [答案]　A [解析]　若α＝2，則f(x)＝x2， ∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2適合條件．

3、故應選A. 6．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　∵y＝x3＋x2－x－1 ∴＝ ＝4＋4Δx＋(Δx)2， ∴y′|x＝1＝li ＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4. 故應選D. 7．曲線y＝x2在點P處切線斜率為k，當k＝2時的P點坐標為(　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1) C．(1,1) D. [答案]　C [解析]　設(shè)點P的坐標為(x0，y0)， ∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2， ∴x0＝1，∴

4、y0＝x＝1，即P(1,1)，故應選C. 8．已知f(x)＝f′(1)x2，則f′(0)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　A [解析]　∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故應選A. 9．曲線y＝上的點P(0,0)的切線方程為(　　) A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在 [答案]　B [解析]　∵y＝ ∴Δy＝－ ＝ ＝ ∴＝ ∴曲線在P(0,0)處切線的斜率不存在， ∴切線方程為x＝0. 10．質(zhì)點作直線運動的

5、方程是s＝，則質(zhì)點在t＝3時的速度是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　Δs＝－＝ ＝ ＝ ∴l(xiāng)i ＝＝， ∴s′(3)＝ .故應選A. 二、填空題 11．若y＝x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y′＝1可以解釋為________． [答案]　某物體做瞬時速度為1的勻速運動 [解析]　由導數(shù)的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動． 12．若曲線y＝x2的某一切線與直線y＝4x＋6平行，則切點坐標是________． [答案]　(2,4) [解析]　設(shè)切點坐標為(x0，x)， 因為y′＝2x，所以切線

6、的斜率k＝2x0，又切線與y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切點為(2,4)． 13．過拋物線y＝x2上點A的切線的斜率為______________． [答案]　 [解析]　∵y＝x2，∴y′＝x ∴k＝×2＝. 14．(2020·江蘇，8)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖像在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________． [答案]　21 [解析]　∵y′＝2x，∴過點(ak，a)的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak

7、}是等比數(shù)列，首項a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 三、解答題 15．過點P(－2,0)作曲線y＝的切線，求切線方程． [解析]　因為點P不在曲線y＝上， 故設(shè)切點為Q(x0，)，∵y′＝， ∴過點Q的切線斜率為：＝，∴x0＝2， ∴切線方程為：y－＝(x－2)， 即：x－2y＋2＝0. 16．質(zhì)點的運動方程為s＝，求質(zhì)點在第幾秒的速度為－. [解析]　∵s＝， ∴Δs＝－ ＝＝ ∴l(xiāng)i ＝＝－.∴－＝－，∴t＝4. 即質(zhì)點在第4秒的速度為－. 17．已知曲線y＝. (1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程； (2)求曲線

8、過點Q(1,0)處的切線方程； (3)求滿足斜率為－的曲線的切線方程． [解析]　∵y＝，∴y′＝－. (1)顯然P(1,1)是曲線上的點．所以P為切點，所求切線斜率為函數(shù)y＝在P(1,1)點導數(shù)． 即k＝f′(1)＝－1. 所以曲線在P(1,1)處的切線方程為 y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2. (2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝上． 則可設(shè)過該點的切線的切點為A， 那么該切線斜率為k＝f′(a)＝. 則切線方程為y－＝－(x－a)．① 將Q(1,0)坐標代入方程：0－＝(1－a)． 解得a＝，代回方程①整理可得： 切線方程為y＝－4x＋4. (3)設(shè)切點坐標為A，則切線斜率為k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入點斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切線方程為y＝－x＋或y＝－x－. 18．求曲線y＝與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積． [解析]　兩曲線方程聯(lián)立得解得. ∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2， ∴兩切線方程為x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所圍成的圖形如上圖所示． ∴S＝×1×＝.