《高中數(shù)學(xué) 2-1-2第2課時(shí) 曲線方程的求法同步檢測(cè) 新人教版選修2-1(通用)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2-1-2第2課時(shí) 曲線方程的求法同步檢測(cè) 新人教版選修2-1(通用)(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2.1 第2課時(shí) 曲線方程的求法
一、選擇題
1.已知0≤α≤2π,點(diǎn)P(cosα,sinα)在曲線(x-2)2+y2=3上,則α的值為( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] C
[解析] 將P坐標(biāo)代入曲線方程為(cosα-2)2+sin2α=3,
∴cos2α-4cosα+4+sin2α=3.
∴cosα=.∵0≤α≤2π,∴α=或π.
2.下面所給的方程是圖中曲線的方程的是( )
[答案] D
[解析] A不是,因?yàn)閤2+y2=1表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓,以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都是曲線上的點(diǎn),如(,-)的坐標(biāo)適合方
2、程x2+y2=1,但不在所給曲線上;B不是,理由同上,如點(diǎn)(-1,1)適合x2-y2=0,但不在所給曲線上;C不是,因?yàn)榍€上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程的解,如(-1,-1)在所給曲線上,但不適合方程lgx+lgy=1.
3.平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(3,-1),(2,-3),頂點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上移動(dòng),則頂點(diǎn)B的軌跡方程為( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0
C.3x-y-12=0 D.3x-y-9=0
[答案] A
[解析] 設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O
∵A、C分別為(3,-1)(2,-3)
∴O為(,-2),設(shè)B為(x,y)
3、
∴D為(5-x,-4-y)
∵D在3x-y+1=0上,∴15-3x+4+y+1=0
即3x-y-20=0,選A.
4.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P是拋物線y=2x2+1上任意一點(diǎn),點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)M使得=2,則M的軌跡方程是( )
A.y=6x2- B.y=3x2+
C.y=-3x2-1 D.x=6y2-
[答案] A
[解析] 設(shè)M為(x,y)
∵=2 A(0,-1),
∴P(3x,3y+2)
∵P為y=2x2+1上一點(diǎn),
∴3y+2=2×9x2+1=18x2+1
∴y=6x2-.故選A.
5.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|
4、=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )
A.π B.4π C.8π D.9π
[答案] B
[解析] 設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],∴(x-2)2+y2=4,可知圓面積為4π.
6.曲線y=-與曲線y+|ax|=0(a∈R)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.4個(gè) B.2個(gè)
C.0個(gè) D.與a的取值有關(guān)
[答案] B
[解析] 曲線y=-即x2+y2=1(y≤0),曲線y+|ax|=0(a∈R),即y=-|ax|,兩曲線如圖所示,必有2個(gè)交點(diǎn).故選B.
7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中
5、,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A.線段B1C
B.線段BC1
C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段
D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段
[答案] A
[解析] 設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點(diǎn),則AP1⊥BD1,AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2=A,
∴直線AP1與AP2確定一個(gè)平面α,與面BCC1B1交于直線P1P2,且知BD1⊥平面α,
∴P1P2⊥BD1,
又∵BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1,∴P1P2⊥BC1,而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直,
∴P點(diǎn)的軌跡為B1C.
8.一條線
6、段長(zhǎng)等于10,兩端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),M在線段AB上,且=4,則M的軌跡方程是( )
A.x2+16y2=64 B.16x2+y2=64
C.x2+16y2=8 D.16x2+y2=8
[答案] B
[解析] 設(shè)M(x,y),因?yàn)椋?,且A、B分別在x軸和y軸上,則A(5x,0),B(0,y),又(AB)=10所以(5x2)+(y)2=100,即16x2+y2=64,故選B.
9.已知log2x,log2y,2成等差數(shù)列,則在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(x,y)的軌跡為( )
[答案] A
[解析] 由2log2y=log2x+2得
log2y
7、2=log2x+log24=log24x,
即y2=4x,又x>0,y>0,故選A.
10.(2020·湖北理,9)若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),則b的取值范圍是( )
A.[-1,1+2] B.[1-2,1+2]
C. [1-2,3] D.[1-,3]
[答案] C
[解析] 由y=3-可知其圖像為圓(x-2)2+(y-3)2=4的下半圓,當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)(0,3)時(shí)b=3,當(dāng)直線與圓相切時(shí)=2,解得b=1-2或b=1+2(舍去),故當(dāng)1-2≤b≤3時(shí)直線和半圓有交點(diǎn).
二、填空題
11.由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分
8、別為A、B,∠APB=60°,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______.
[答案] x2+y2=4
[解析] 設(shè)P(x,y),x2+y2=1的圓心為O,
∵∠APB=60°,OB=2,∴x2+y2=4.
12.與點(diǎn)(2,-3)的連線的傾斜角為的點(diǎn)M的軌跡方程是________.
[答案] x+y+3-2=0(x≠2)
13.如圖,已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且·=·,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為________.
[答案] y2=4x
[解析] 設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(-1,y),由·=·得,(x+1,0)·(2,-y)=(x-
9、1,y)·(-2,y),化簡(jiǎn)得C:y2=4x.
14.直線x-3y=0和直線3x-y=0的夾角的角平分線所在直線方程為________.
[答案] x+y=0或x-y=0
[解析] 設(shè)P(x,y)為角平分線上任意一點(diǎn),根據(jù)角平分線的性質(zhì),P到直線x-3y=0和3x-y=0的距離相等,∴=,
∴|x-3y|=|3x-y|,∴x-3y=±(3x-y),
∴x-3y=3x-y或x-3y=-(3x-y),
∴x+y=0或x-y=0
∴所求角平分線方程為x+y=0或x-y=0.
三、解答題
15.設(shè)△ABC的兩頂點(diǎn)分別是B(1,1)、C(3,6),求第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程,使|AB|=
10、|BC|.
[解析] 設(shè)A(x,y)為軌跡上任一點(diǎn),那么
=,
整理,得(x-1)2+(y-1)2=29.
因?yàn)锳點(diǎn)不在直線BC上,雖然點(diǎn)C(3,6)及點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C′(-1,-4)的坐標(biāo)是這個(gè)方程的解,但不在已知曲線上,所以所求軌跡方程為(x-1)2+(y-1)2=29(去掉(3,6)和(-1,-4)點(diǎn)).
16.如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于1,O1O2=4.過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn)),使得PM=PN.試建立平面直角坐標(biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
[解析] 以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則O
11、1(-2,0),O2(2,0).
由已知PM=PN,
∴PM2=2PN2.
又∵兩圓的半徑均為1,
所以PO-1=2(PO-1).設(shè)P(x,y),
則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即(x-6)2+y2=33.
∴所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.
17.已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)且點(diǎn)P使·,·,·成公差小于0的等差數(shù)列.則點(diǎn)P的軌跡是什么曲線?
[解析] 設(shè)P(x,y)由M(-1,0),N(1,0)得
=-=(-1-x,-y)
=-=(1-x,-y),
=-=(2,0),
∴·=2(1+x),·=x2+y2-1,
12、
·=2(1-x)
于是·,·,·是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于
即
∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的右半圓(不含端點(diǎn).)
18.已知點(diǎn)H(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足HP⊥PM, =-.當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
[解析] 設(shè)M(x,y),P(0,b),Q(a,0),其中a>0,則=(x,y-b),=(a-x,-y).
∵=-,即(x,y-b)=-(a-x,-y).
∴y-b=-(-y),b=-.
∴=(-3,),=(x,y).
∵PH⊥PM.
∴·=0,即-3x+·=0,y2=4x.
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x(x>0).