高中數(shù)學 2、1-1-3第3課時 導數(shù)的幾何意義同步檢測 新人教版選修2-2（通用）

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1、選修2-2 1.1 第3課時 導數(shù)的幾何意義 一、選擇題 1．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f′(x0)＞0　　　　　　 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 [答案]　B [解析]　切線x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故應選B. 2．曲線y＝x2－2在點處切線的傾斜角為(　　) A．1 B. C.π D．－ [答案]　B [解析]　∵y′＝li ＝li (x＋Δx)＝x ∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1

2、. ∴切線的傾斜角為，故應選B. 3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為的點是(　　) A．(0,0) B．(2,4) C. D. [答案]　D [解析]　易求y′＝2x，設在點P(x0，x)處切線的傾斜角為，則2x0＝1，∴x0＝，∴P. 4．曲線y＝x3－3x2＋1在點(1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案]　B [解析]　y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3. 由點斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．設f(x)為可導函數(shù)，

3、且滿足 ＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A．2　　　　 B．－1　 　　 C．1　　　　 D．－2 [答案]　B [解析]　 ＝ ＝－1，即y′|x＝1＝－1， 則y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選B. 6．設f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線(　　) A．不存在 B．與x軸平行或重合 C．與x軸垂直 D．與x軸斜交 [答案]　B [解析]　由導數(shù)的幾何意義知B正確，故應選B. 7．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則

4、f(5)及f′(5)分別為(　　) A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1 [答案]　B [解析]　由題意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故應選B. 8．曲線f(x)＝x3＋x－2在P點處的切線平行于直線y＝4x－1，則P點的坐標為(　　) A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1) C．(－1,0) D．(1,4) [答案]　A [解析]　∵f(x)＝x3＋x－2，設xP＝x0， ∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx， ∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2， ∴f′

5、(x0)＝3x＋1，又k＝4， ∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1， 故P(1,0)或(－1，－4)，故應選A. 9．設點P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點，P點處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍為(　　) A.∪ B.∪ C. D. [答案]　A [解析]　設P(x0，y0)， ∵f′(x)＝li ＝3x2－，∴切線的斜率k＝3x－， ∴tanα＝3x－≥－. ∴α∈∪.故應選A. 10．(2020·福州高二期末)設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，]，則點P橫坐標的取值范圍為(　　) A．[－

6、1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D．[，1] [答案]　A [解析]　考查導數(shù)的幾何意義． ∵y′＝2x＋2，且切線傾斜角θ∈[0，]， ∴切線的斜率k滿足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1， ∴－1≤x≤－. 二、填空題 11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________． [答案]　4x－y－1＝0 [解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2 ∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2 ∴＝4＋Δx.∴l(xiāng)i ＝4.即f′(2)＝4. 又切線過(2,7)點，所以f(x)在

7、(2，f(2))處的切線方程為y－7＝4(x－2) 即4x－y－1＝0. 12．若函數(shù)f(x)＝x－，則它與x軸交點處的切線的方程為________． [答案]　y＝2(x－1)或y＝2(x＋1) [解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即與x軸交點坐標為(1,0)或(－1,0)． ∵f′(x)＝li ＝li ＝1＋. ∴切線的斜率k＝1＋＝2. ∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)． 13．曲線C在點P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點有________個． [答案]　至少一 [解析]　由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，

8、但也可能與曲線其他部分有公共點，故雖然相切，但直線與曲線公共點至少一個． 14．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為________． [答案]　3x－y－11＝0 [解析]　設切點P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為，它是x0的函數(shù)，求出其最小值． 設切點為P(x0，y0)，過點P的切線斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.當x0＝－1時k有最小值3，此時P的坐標為(－1，－14)，其切線方程為3x－y－11＝0. 三、解答題 15．求曲線y＝－上一點P處的切線方程． [解析]　∴y′＝ ＝ ＝ ＝－－ . ∴y′|

9、x＝4＝－－＝－， ∴曲線在點P處的切線方程為： y＋＝－(x－4)． 即5x＋16y＋8＝0. 16．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l. (1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程； (2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于點P的直線方程y＝g(x)． [解析]　(1)y′＝li ＝3x2－3. 則過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率 k1＝f′(1)＝0， ∴所求直線方程為y＝－2. (2)設切點坐標為(x0，x－3x0)， 則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3， ∴直線l的方程為y－(x

10、－3x0)＝(3x－3)(x－x0) 又直線l過點P(1，－2)， ∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)， ∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－. 故所求直線斜率k＝3x－3＝－， 于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋. 17．求證：函數(shù)y＝x＋圖象上的各點處的切線斜率小于1. [解析]　y′＝li ＝li ＝li ＝li ＝＝1－＜1， ∴y＝x＋圖象上的各點處的切線斜率小于1. 18．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2. (1)求

11、直線l2的方程； (2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積． [解析]　(1)y′|x＝1 ＝li ＝3， 所以l1的方程為：y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 設l2過曲線y＝x2＋x－2上的點B(b，b2＋b－2)， y′|x＝b＝li ＝2b＋1，所以l2的方程為：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2. 因為l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程為：y＝－x－. (2)由得 即l1與l2的交點坐標為. 又l1，l2與x軸交點坐標分別為(1,0)，. 所以所求三角形面積S＝××＝.