待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式.doc
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______________________________________________________________________________________________________________ 用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式初探 摘要: 本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個遞推數(shù)列的例題,得出適用待定系數(shù)法求其通項公式的七種類型的遞推數(shù)列,用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項問題。 關鍵詞:變形 對應系數(shù) 待定 遞推數(shù)列 數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位,推導通項公式是學習數(shù)列必由之路,特別是根據(jù)遞推公式推導出通項公式,對教師的教學和學生的學習來說都是一大難點,遞推公式千奇百怪,推導方法卻各不相同,靈活多變。對學生的觀察、分析能力要求較高,解題的關鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法。但是對比較復雜的遞推公式,用上述方法難以完成,用待定系數(shù)法將遞推公式進行變形,變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談談如何利用待定系數(shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。 一、 型(為常數(shù),且) 例題1.在數(shù)列中,,,試求其通項公式。 分析:顯然,這不是等差或等比數(shù)列,但如果在的兩邊同時加上1,整理為,此時,把和看作一個整體,或者換元,令,那么,即,,因此,數(shù)列或就是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列 ,或者,進一步求出。 啟示:在這個問題中,容易看出在左右兩邊加上1就構成了新的等比數(shù)列,那不易看出在左右兩邊該加幾后構成新的等比數(shù)列時,該怎么辦呢? 其實,已知,可變形為的形式,然后展開括號、移項后再與相比較,利用待定系數(shù)法可得。 這樣,對于形如(其中為常數(shù),且)的遞推數(shù)列,先變?yōu)榈男问?,展開、移項,利用待定系數(shù)法有 , 即 則數(shù)列首項為等比數(shù)列 因此,形如這一類型的數(shù)列,都可以利用待定系數(shù)法來求解。 那么,若變?yōu)?是關于非零多項式時,該怎么辦呢?是否也能運用待定系數(shù)法呢? 二 型 例題2.在數(shù)列中,,,試求其通項公式。 分析:按照例題1的思路,在兩邊既要加上某一常數(shù)同時也要加上n的倍數(shù),才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)椋归_比較得 進一步 則數(shù)列是的等比數(shù)列,所以 , 同樣,形如的遞推數(shù)列,設展開、移項、整理,比較對應系數(shù)相等,列出方程 解得 即 則數(shù)列是以為首項,以p為公比的等比數(shù)列。于是就可以進一步求出的通項。 同理,若其中是關于n的多項式時,也可以構造新的等比數(shù)列,利用待定系數(shù)法求出其通項。比如當=時,可設 展開根據(jù)對應系數(shù)分別相等求解方程即可。 為n的三次、四次、五次等多項式時也能用同樣的思路和方法進行求解。 而如果當是n的指數(shù)式,即時,遞推公式又將如何變形呢? 三 例題3.在數(shù)列中,,,試求其通項。 分析1:由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式,可以用上面的思路進行變形,在兩邊同時加上變?yōu)榧? 則數(shù)列是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,則 分析2:如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù),兩邊同除 就回到了我們的類型一。進一步也可求出。 例題4.在數(shù)列中,,,試求的通項。 分析:若按例題3的思路2,在兩邊同時除以,雖然產(chǎn)生了、,但是又增加了,與原式并沒有大的變化。所以只能運用思路1,在兩邊同時加上10整理 進一步 則數(shù)列是首項為15,公比為3的等比數(shù)列 即 啟示:已知數(shù)列的首項, 1) 當,即由例題3知,有兩種思路進行變換,利用待定系數(shù)法構造首項和公比已知或可求的等比數(shù)列。 思路一:在兩邊同時除以,將不含的項變?yōu)槌?shù),即 為前面的類型一,再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項。 思路二:在兩邊同時加上的倍數(shù),最終能變形為 對應系數(shù)相等得 ,即 即 求出數(shù)列的通項,進一步求出的通項。 2) 當時,即 由例4可知只能在選擇思路二,兩邊既要加的倍數(shù),也要加常數(shù),最終能變形為 比較得x,y的方程組 于是 求出數(shù)列的通項,進一步求出的通項。 四:其中可以為常數(shù)、n的多項式或指數(shù)式)以=0為例。 例題5.在數(shù)列中,,試求的通項。 分析:這是三項之間遞推數(shù)列,根據(jù)前面的思路,可以把看做常數(shù)進行處理,可變?yōu)椋惹蟪鰯?shù)列的通項 然后利用累加法即可進一步求出的通項。 對于形如的遞推數(shù)列,可以設展開,利用對應系數(shù)相等,列方程 于是數(shù)列就是以為首項,y為公比的等比數(shù)列,不難求出的通項進一步利用相關即可求出。 同理,當為非零多項式或者是指數(shù)式時,也可結合前面的思路進行處理。問題的關鍵在于先變形 然后把看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀? 五:型,為正項數(shù)列 例題6.在數(shù)列中,,試求其通項。 分析:此題和前面的幾種類型沒有相同之處,左邊是一次式,而右邊是二次式,關鍵在于通過變形,使兩邊次數(shù)相同,由于,所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關性質(zhì),對兩邊取對數(shù),即 就是前面的類型一了,即 變形得 對于類似的遞推數(shù)列,由于兩邊次數(shù)不一致,又是正項數(shù)列,所以可以利用對數(shù)性質(zhì),兩邊同時取對數(shù),得 然后就是前面的類型一了,就可以利用待定系數(shù)法進一步構造數(shù)列為已知首項和公比的等比數(shù)列了。求出最終就可以得出的通項。 同樣,如果將中的p換為指數(shù)式時,同樣可以利用相同的方法。即: 兩邊取對數(shù) 變?yōu)轭愋投? 即可進一步得出的通項。 以上是一些整式型的遞推數(shù)列通項公式的求解,接下來再看看比較復雜的分式型遞推數(shù)列。 六: 例題7.在數(shù)列中,,試求其通項。 分析:這是一個分式型數(shù)列,如果去分母變?yōu)楹缶蜔o法進行處理了。兩邊同時取倒數(shù) 就是前面的類型一了。 所以數(shù)列是首項為,公比為2的等比數(shù)列,不難求出 例題8.在數(shù)列中,,試求其通項。 分析:此題比例題7的區(qū)別多了常數(shù)項,兩邊取倒 左右兩邊與并不一致。但可以對照例題7的思路,取倒數(shù)之后分母會具有一致的結構,根據(jù)等式和分式的性質(zhì),我們可在兩邊同時加上某一常數(shù),整理: 此時如果,那么遞推式左邊和右邊分母就一致了。解方程得 因此 此時可選擇其中一個遞推式按照例題7的方式進行處理,這里選擇,兩邊取倒 回到了類型一 根據(jù)類型一的方法易求出: 現(xiàn)在我們將兩式相比: 則數(shù)列是我已知首項和公比的等比數(shù)列,進一步化簡求出。 通過以上兩個例題可知,形如這一類型的遞推數(shù)列,對學生的綜合能力要求較高。 1、如果右邊分子缺常數(shù)項,即,那么直接對兩邊取倒數(shù)即可得: 此時,若,那就是我們熟悉的等差數(shù)列,若,那就是前面的類型一——用待定系數(shù)法求解。 2、 若,就需要先變形,使左邊和右邊分子結構一致。兩邊同時加上某一個常數(shù)() 然后令,解出的值。 而另一種思路是直接設變形之后為 然后展開,根據(jù)對應項系數(shù)相等得二元方程組 求出。 兩種思路都是解的一元二次方程,設其解為。 若時,那就只能利用例題7的方法,兩邊取倒數(shù),部分分式整理即可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋鸵弧? 最終求出。 當時,可以選擇其中的一個按照上面的方式進行求解,但是此時計算量頗大,于是直接將兩式相比得: 所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列。進一步求出。 七: 例題9.在數(shù)列中,,試求其通項。 分析:本題屬于分式非線性遞推式,與類型五又有相似之處,所以我們可以結合類型五、六的思路,進行變換: 兩邊同時加上某個常數(shù),設最終變?yōu)椋? 與原式比較,對應系數(shù)相等,得 解方程得 即有: 對單個式子進行處理,無從下手,兩式相比得 然后,兩邊取對數(shù)得: 則數(shù)列是首項為,公比為2的等比數(shù)列。 進一步解得 顯然,按照例題9的思路,形如這一類型的參數(shù)必須滿足一定的條件,所得方程應有兩個不相等的實根。 現(xiàn)在來探討應該滿足哪些條件? 設,即: 所以 對應系數(shù)相等得 方程要滿足 設方程的兩根為則有 兩式相比得 兩邊取對數(shù)得 數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列。 求出的通項再整理一下就得出了的通項,問題就得以解決了。 本文主要是通過例題的分析講解,并進行歸納總結概括而形成的,是我在平時的學習中,通過平時自己的一些積累和參考其他作者的思路,對用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的初步探討和認識。例題的深度層層深入,前面的類型是后面的基礎,特別是第一種類型,是學習其他幾種類型的充分依據(jù),其他的類型最終都會轉(zhuǎn)變?yōu)榈谝环N類型之后再進行求解。 參考文獻 [1]李春雷 用不動點法探究遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2006.05期 [2]用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2007.07期 [3]例析待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2009.07期 -可編輯修改-- 配套講稿:
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