【高考前三個月復習數(shù)學理科集合與常用邏輯用語】第2練

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第2練　用好邏輯用語、突破充要條件 [題型分析高考展望]　邏輯用語是高考?？純热?，充分、必要條件是重點考查內容，題型基本都是選擇題、填空題，題目難度以低、中檔為主．在二輪復習中，本部分應該重點掌握四種命題的真假判斷、否命題與命題的否定的區(qū)別、含有量詞的命題的否定的求法、充分必要條件的判定與應用．這些知識被考查的概率都較高，特別是充分、必要條件幾乎每年都有考查． ?？碱}型精析 題型一　命題及其真假判斷 常用結論： (1)原命題與逆否命題等價，同一個命題的逆命題、否命題等價；(2)四個命題中，真命題的個數(shù)為偶數(shù)；(3)只有p、q都假，p∨q假，否則為真，只有p、q都真，p∧q真，否則為假；(4)全稱命題的否定為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題，一個命題與其否定不會同真假． 例1　(1)(2015安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 (2)(2014湖南)已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關系不確定，A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，α，β不平行，但α內能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯；對于D，若假設m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正確． (2)當x>y時，－x<－y，故命題p為真命題，從而綈p為假命題． 當x>y時，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題． 由真值表知，①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③p∧(綈q)為真命題；④(綈p)∨q為假命題．故選C. 點評　利用等價命題判斷命題的真假，是判斷命題真假快捷有效的方法．在解答時要有意識地去練習． 變式訓練1　(2014重慶)已知命題： p：對任意x∈R，總有2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件． 則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q) 答案　D 解析　因為指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，所以對任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；因為當x>1時，x>2不一定成立，反之當x>2時，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q為假命題，則p∧q、綈p為假命題，綈q為真命題，(綈p)∧(綈q)、(綈p)∧q為假命題，p∧(綈q)為真命題，故選D. 題型二　充分條件與必要條件 例2　(1)(2015北京)設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　m?α，m∥β?/ α∥β，但m?α，α∥β?m∥β， 所以m∥β是α∥β的必要而不充分條件． (2)給出下列命題： ①若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ②a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ③在△ABC中，sin A>sin B的充要條件為A>B； ④在△ABC中，設命題p：△ABC是等邊三角形，命題q：a∶b∶c＝sin B∶sin C∶sin A，那么命題p是命題q的充分不必要條件． 其中正確的命題為________．(把你認為正確的命題序號都填上) 答案?、佗? 解析?、僬_．因為＝， 所以||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此＝. ②不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ③正確．由正弦定理知sin A＝，sin B＝，當sin A>sin B成立時，得a>b，則A>B；當A>B時，則有a>b，則sin A>sin B，故命題正確． ④不正確．若△ABC是等邊三角形，則a＝b＝c，sin B＝sin C＝sin A，即命題p是命題q的充分條件；若a∶b∶c＝sin B∶sin C∶sin A，則＝，又由正弦定理得＝，即＝，所以＝，即c2＝ab，同理得a2＝bc，b2＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是等邊三角形．因此命題p是命題q的充要條件． 綜上所述，正確命題的序號是①③. 點評　判斷充分、必要條件時應注意的問題 (1)先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. (2)舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明． (3)準確轉化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件． 變式訓練2　(2015湖北)設a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比數(shù)列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，則(　　) A．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 答案　B 解析　若p成立，設a1，a2，…，an的公比為q，則(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分條件．取a1＝a2＝…＝an＝0，則q成立，而p不成立，故p不是q的必要條件，故選B. 題型三　與命題有關的綜合問題 例3　下列敘述正確的是(　　) A．命題：?x∈R，使x3＋sin x＋2<0的否定為：?x∈R，均有x3＋sin x＋2<0 B．命題：“若x2＝1，則x＝1或x＝－1”的逆否命題為：若x≠1或x≠－1，則x2≠1 C．已知n∈N，則冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調遞減的充分必要條件為n＝1 D．函數(shù)y＝log2的圖象關于點(1,0)中心對稱的充分必要條件為m＝1 答案　C 解析　A：命題：?x∈R，使x3＋sin x＋2<0的否定為：?x∈R，均有x3＋sin x＋2≥0，故A錯誤； B：命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1，故B錯誤； C：因為冪函數(shù)y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上單調遞減， 所以3n－7<0，解得n<，又n∈N， 所以n＝0,1或2；又y＝x3n－7為偶函數(shù)， 所以，n＝1，即冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調遞減的充分必要條件為n＝1，C正確； D：令y＝f(x)＝log2，由其圖象關于點(1,0)中心對稱，得f(x)＋f(2－x)＝0， 即log2＋log2 ＝log2＝0， ＝1. 整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3， 當m＝－3時，＝－1<0，y＝log2無意義， 故m＝1. 所以，函數(shù)y＝log2圖象關于點(1,0)中心對稱的充分必要條件為m＝1，D錯誤． 點評　解決此類問題需要對每一個命題逐一作出判斷，需要有扎實的基礎知識，這是破解此類問題的前提條件．若需證明某命題為真，需要根據有關知識作出邏輯證明，但若需要證明某命題為假，只要舉出一個反例即可，因此，“找反例”是破解此類問題的重要方法之一． 變式訓練3　(2014江西)下列敘述中正確的是(　　) A．若a，b，c∈R，則“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，則“ab2≥cb2”的充要條件是“a>c” C．命題“對任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” D．l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥β 答案　D 解析　由于“若b2－4ac≤0，則ax2＋bx＋c≥0”是假命題，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件不是“b2－4ac≤0”，A錯；∵ab2>cb2，且b2>0，∴a>c.而a>c時，若b2＝0，則ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要條件，B錯；“對任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C錯；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一條直線的兩個平面平行，D正確． 高考題型精練 1．(2015課標全國Ⅰ)設命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 2．(2014課標全國Ⅱ)函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則(　　) A．p是q是充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 3．下列命題中，真命題是(　　) A．?x∈R，x2>0 B．?x∈R，－10，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0 8．下列5個命題中正確命題的個數(shù)是(　　) ①對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1>0； ②m＝3是直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直的充要條件； ③已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，則線性回歸方程為＝1.23x＋0.08； ④若實數(shù)x，y∈[－1,1]，則滿足x2＋y2≥1的概率為； ⑤曲線y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積是S＝?(x－x2)dx. A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知命題p：實數(shù)m滿足m2＋12a2<7am(a>0)，命題q：實數(shù)m滿足方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為________． 10．已知函數(shù)f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命題：“?x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 11．已知下列命題： ①命題“?x0∈R，x＋1>x0＋1”的否定是“?x∈R，x2＋12”是“a>5”的充分不必要條件； ④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題． 其中所有真命題的序號是__________． 12．下面有四個關于充要條件的命題：①“向量b與非零向量a共線”的充要條件是“有且只有一個實數(shù)λ使得b＝λa”；②“函數(shù)y＝x2＋bx＋c為偶函數(shù)”的充要條件是“b＝0”；③“兩個事件為互斥事件”是“這兩個事件為對立事件”的充要條件；④設φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分不必要條件．其中真命題的序號是________．