【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)列】專題5 第22練

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第22練　基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶 [題型分析高考展望]　等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，再加一個(gè)解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時(shí)為中檔題，有時(shí)解答題難度較大.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì). 常考題型精析 題型一　等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例1　已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a10＝2a5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn) (1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本的元素. (2)解題思路：①設(shè)基本量a1和公差d(公比q)； ②列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量. 變式訓(xùn)練1　(1)(2014安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________. (2)(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 題型二　等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2　(1)(2015廣東)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. (2)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A.150 B.－200 C.150或－200 D.400或－50 點(diǎn)評(píng)　等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤(pán)點(diǎn) 類型 等差數(shù)列 等比數(shù)列 項(xiàng)的 性質(zhì) 2ak＝am＋al(m，k，l∈N*且m，k，l成等差數(shù)列) a＝amal(m，k，l∈N*且m，k，l成等差數(shù)列) am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q) aman＝apaq(m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q) 和的 性質(zhì) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Sn＝n 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：＝q(公比) 依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等差數(shù)列 依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠－1) 變式訓(xùn)練2　(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項(xiàng)和為100，則a7a14的最大值是________. (2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 016，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 016的值為_(kāi)_______. 題型三　等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3　(2015陜西)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2. (1)證明：函數(shù)Fn(x)＝fn(x)－2在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為xn)，且xn＝＋x； (2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明. 　 　 點(diǎn)評(píng)　(1)對(duì)數(shù)列{an}，首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量，從而確定an、Sn. (2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，也是解決此類題目的主要方法. 變式訓(xùn)練3　(2015北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？ 高考題型精練 1.(2014重慶)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是(　　) A.a1，a3，a9成等比數(shù)列 B.a2，a3，a6成等比數(shù)列 C.a2，a4，a8成等比數(shù)列 D.a3，a6，a9成等比數(shù)列 2.(2014天津)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 3.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(　　) A.－110 B.－90 C.90 D.110 4.(2014大綱全國(guó))等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 5.(2015北京)設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是(　　) A.若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0 B.若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0 C.若0＜a1＜a2，則a2＞ D.若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0 6.(2015臨沂模擬)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2015北京東城區(qū)模擬)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________. 8.(2014北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大. 9.(2015浙江)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________. 10.(2015蘇州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________. 11.已知數(shù)列{an}滿足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*). (1) 證明：1≤≤2(n∈N*)； (2)設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：≤≤(n∈N*). 　 12.(2015廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)證明：為等比數(shù)列； 　 　 (3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 　 　 　 　 　 　 答案精析 專題5 數(shù)列 第22練　基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶 常考題型精析 例1　解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為T(mén)n， 由T5＝105，a10＝2a5， 得 解得a1＝7，d＝7. 因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*). (2)對(duì)m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1. 因此bm＝72m－1. 所以數(shù)列{bm}是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列， 故Sm＝＝＝ ＝. 變式訓(xùn)練1　(1)1　(2)B 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d， a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝221＝42，故選B. 例2　(1)10　(2)A 解析　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. (2)依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，則S40＝S30＋＝70＋＝150. 變式訓(xùn)練2　(1)25　(2)－2 016 解析　(1)∵S20＝20＝100，∴a1＋a20＝10. ∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10. ∵an>0，∴a7a14≤2＝25. 當(dāng)且僅當(dāng)a7＝a14時(shí)取等號(hào). 故a7a14的最大值為25. (2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)＝a1＝－2 016，公差d＝1，故＝－2 016＋(2 016－1)1＝－1， 所以S2 016＝－2 016. 例3　(1)證明　Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2， 則Fn(1)＝n－1＞0， Fn＝1＋＋2＋…＋n－2 ＝－2＝－＜0， 所以Fn(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn). 又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0(x＞0)， 故Fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增， 所以Fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xn， 因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn)，所以Fn(xn)＝0， 即－2＝0，故xn＝＋x. (2)解　方法一　由題設(shè)，gn(x)＝， 設(shè)h(x)＝fn(x)－gn(x) ＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x＞0. 當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)； 當(dāng)x≠1時(shí)，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－， 若0＜x＜1，h′(x)＞xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－xn－1＝xn－1－xn－1＝0， 若x＞1，h′(x)＜xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－xn－1 ＝xn－1－xn－1＝0， 所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減， 所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)， 綜上所述，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)； 當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)＜gn(x). 方法二　由已知，記等差數(shù)列為{ak}，等比數(shù)列為{bk}，k＝1,2，…，n＋1， 則a1＝b1＝1，an＋1＝bn＋1＝xn， 所以ak＝1＋(k－1)(2≤k≤n)， bk＝xk－1(2≤k≤n)， 令mk(x)＝ak－bk＝1＋－xk－1，x＞0(2≤k≤n)， 當(dāng)x＝1時(shí)，ak＝bk，所以fn(x)＝gn(x)， 當(dāng)x≠1時(shí)，m′k(x)＝nxn－1－(k－1)xk－2 ＝(k－1)xk－2(xx－k＋1－1)， 而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k＋1≥1， 若0＜x＜1，xx－k＋1＜1，m′k(x)＜0； 若x＞1，xx－k＋1＞1，m′k(x)＞0， 從而mk(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增， 所以mk(x)＞mk(1)＝0， 所以當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，ak＞bk(2≤k≤n)， 又a1＝b1，an＋1＝bn＋1， 故fn(x)＜gn(x)， 綜上所述，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)＜gn(x). 變式訓(xùn)練3　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍4－a3＝2，所以d＝2. 又因?yàn)閍1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…). (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝426－1＝128. 由128＝2n＋2，得n＝63， 所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等. 高考題型精練 1.D [設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋剑絨3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列.故選D.] 2.D [因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分別為a1,2a1－1,4a1－6. 因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6).解得a1＝－.] 3.D [∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16， 又∵a7是a3與a9的等比中項(xiàng)， ∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20. ∴S10＝1020＋109(－2)＝110.] 4.C [數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8 ＝lg(a1a2…a8)＝lg(a1a8)4 ＝lg(a4a5)4＝lg(25)4＝4.] 5.C [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2＋a3符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正負(fù)不確定，因而a1＋a2符號(hào)不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；若00，d>0，a2>0，a3>0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，∴a2>，故選項(xiàng)C正確；若a1<0，則(a2－a1)(a2－a3)＝d(－d)＝－d2≤0，故選項(xiàng)D錯(cuò).] 6.D [由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)， 可得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝7＋ (n∈N*)， 故n＝1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù). 即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.] 7.－9 解析　由題意知，數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23，19,37,82}中，說(shuō)明{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的連續(xù)四項(xiàng)為－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9. 8.8 解析　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0. ∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0. ∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n＝8. 9.　－1 解析　因?yàn)閍2，a3，a7成等比數(shù)列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， ∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1. 10.22 解析　根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝a1＋(n－1)(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22. 11.證明　(1)由題意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤. 由an＝(1－an－1)an－1得 an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0. 由0＜an≤得 ＝＝∈(1,2]， 即1≤≤2成立. (2)由題意得a＝an－an＋1， 所以Sn＝a1－an＋1，① 由－＝和1≤≤2得 1≤－≤2， 所以n≤－≤2n， 因此≤an＋1≤(n∈N*).② 由①②得≤≤(n∈N*). 12.(1)解　當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4＋5＝8＋1，解得：a4＝. (2)證明　因?yàn)?Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，因?yàn)?a3＋a1＝4＋1＝6＝4a2， 所以4an＋2＋an＝4an＋1，因?yàn)? ＝＝＝＝， 所以數(shù)列是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. (3)解　由(2)知：數(shù)列是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列， 所以an＋1－an＝n－1，即－＝4， 所以數(shù)列是以＝2為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列， 所以＝2＋(n－1)4＝4n－2， 即an＝(4n－2)n＝(2n－1)n－1， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(2n－1)n－1. 第 16 頁(yè) 共 16 頁(yè)