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第2講 五種策略搞定填空題
[題型解讀] 填空題是高考三大題型之一，主要考查基礎(chǔ)知識、基本方法以及分析問題、解決問題的能力，試題多數(shù)是教材例題、習(xí)題的改編或綜合，體現(xiàn)了對通性通法的考查.該題型的基本特點：(1)具有考查目標(biāo)集中、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈活、答案簡短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結(jié)論等特點；(2)填空題與選擇題有質(zhì)的區(qū)別：①填空題沒有備選項，因此，解答時不受誘誤干擾，但同時也缺乏提示；②填空題的結(jié)構(gòu)往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活；(3)從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系.由于填空題缺少選項的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或填寫給定的數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如命題真假的判斷等.近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇的填空題.
方法一 直接法
對于計算型的試題，多通過直接計算求得結(jié)果，這是解決填空題的基本方法.它是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法.要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題.
例1 (2014福建)在△ABC中，A＝60，AC＝2，BC＝，則AB等于________.
點評 直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵.
變式訓(xùn)練1 已知直線x＝a(0
(a－1)x的解集為A，且A?{x|01－lg x的解集為________.
高考題型精練
1.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________.
2.(2015青島模擬)對于函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常數(shù)M中，我們把M中的最大值稱為函數(shù)f(x)的“下確界”，則函數(shù)f(x)＝的下確界為______.
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝________.
4.(2014福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個關(guān)系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是________.
5.(2015徐州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為________.
6.(2015山東)若“?x∈，tan x≤m”是真命題，則實數(shù)m的最小值為________.
7.設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________.
8.定義區(qū)間[x1，x2] (x12；
④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
17.，，(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是________.
18.已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直線l：y＝x的距離，則實數(shù)a＝________.
19.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝n－a2n，a2n＋1＝an＋1，則a1＋a2＋a3＋…＋a99＝________.
20.(2015石家莊模擬)在△ABC中，∠B＝，O為△ABC的外心，P為劣弧上一動點，且＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的取值范圍為______.
答案精析
第2講 五種策略搞定填空題
典例剖析
例1 1
解析 ∵A＝60，AC＝2，BC＝，設(shè)AB＝x，由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos A，化簡得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.
變式訓(xùn)練1
解析 由題意，知M(a，sin a)，N(a，cos a)，
則MN的中點為P(a，(sin a＋cos a)).
而|MN|＝|sin a－cos a|＝.①
設(shè)sin a＋cos a＝t，②
①②兩式分別平方，相加，
得2＝＋t2，解得t＝.
又00，故t取.
所以線段MN中點的縱坐標(biāo)為＝.故填.
例2 2
解析 由題意可知，＋的值與點P、Q的位置無關(guān)，而當(dāng)直線BC與直線PQ重合時，則有λ＝μ＝1，
所以＋＝2.
變式訓(xùn)練2
解析 方法一 △ABC為等邊三角形時滿足條件，
則S△ABC＝.
方法二 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝6＝.
例3
解析 當(dāng)x∈時，∈[1,3]，∴f＝ln ＝－ln x，∴f(x)＝－ln x，∴f(x)＝－2ln x，∴當(dāng)x∈時，f(x)＝－2ln x.∵函數(shù)g(x)的圖象與x軸有3個不同的交點，
∴函數(shù)f(x)的圖象與y＝ax有3個不同的交點，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，直線y＝ax與y＝ln x相切是一個邊界情況，直線y＝ax過(3，ln 3)時是一個邊界情況，符合題意的直線需要在這2條直線之間，
∵y＝ln x，∴y′＝，∴k＝，∴切線方程為y－ln x0＝(x－x0)，與y＝ax相同，即a＝，當(dāng)y＝ax過點(3，ln 3)時，a＝.綜上可得：≤a<.
變式訓(xùn)練3 [2，＋∞)
解析 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝和函數(shù)y＝(a－1)x的圖象(如圖)，由圖可知斜率a－1≥1，即a≥2.
所以實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞).
例4 π
解析 如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以
CD＝＝2R，所以R＝，
故球O的體積V＝＝π.
變式訓(xùn)練4 a>b>c
解析 令f(x)＝ln x－x (00，∴f(x)為增函數(shù).
又>>，∴a>b>c.
例5 (，1)
解析 當(dāng)P點在G點位置時，λ＝μ＝，
所以λ＋μ＝，
當(dāng)P點位于B點位置時λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，
當(dāng)P點位于C點位置時，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，
綜上，λ＋μ的取值范圍為(，1).
變式訓(xùn)練5 (1，＋∞)
解析 先求x的取值范圍得x≥，
若x>1則>1,1－lg x<1不等式成立.
若≤x≤1，
則≤1－lg x，原不等式不成立.
故正確答案為x>1.
高考題型精練
1.18
解析 把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點為對角線的交點，AC＝6，則＝18.
2.
解析 f(x)＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”.故函數(shù)f(x)＝的下確界為.
3.
解析 令a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC為直角三角形，
且cos A＝，cos C＝0，代入所求式子，得
＝＝，故填.
4.6
解析 由題意知①②③④中有且只有一個正確，其余三個均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)：(1)若①正確，即a＝1，則②，③，④都錯誤，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1與b＝1矛盾，顯然此種情況不存在；
(2)若②正確，即b≠1，則①，③，④都錯誤，即a≠1，c≠2，d＝4，則當(dāng)b＝2時，有a＝3，c＝1；當(dāng)b＝3時，有a＝2，c＝1，此時有2種有序數(shù)組.
(3)若③正確，即c＝2，則①，②，④都錯誤，即a≠1，b＝1，d＝4，則a＝3，即此種情況有1種有序數(shù)組.
(4)若④正確，即d≠4，則①，②，③都錯誤，即a≠1，b＝1，c≠2，則當(dāng)d＝2時，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2種有序數(shù)組；當(dāng)d＝3時，有c＝4，a＝2，僅1種有序數(shù)組.
綜上可得共有2＋1＋2＋1＝6(種)有序數(shù)組.
5.[－1，＋∞)
解析 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞).
6.1
解析 ∵函數(shù)y＝tan x在上是增函數(shù)，∴ymax＝tan ＝1.依題意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值為1.
7.－
解析 ∵tan＝，∴tan θ＝－，
即又θ為第二象限角，
解得sin θ＝，cos θ＝－.
∴sin θ＋cos θ＝－.
8.3
解析 如圖，f(1)＝0，f＝f(4)＝2，(b－a)max＝4－＝，
(b－a)min＝1－＝，則－＝3.
9.
解析 由平面向量基本定理及點P為ABCD內(nèi)部或邊界上任意一點，可知0≤x≤1且0≤y≤1，又滿足條件的x，y滿足0≤x≤，0≤y≤，所以P(A)＝＝.
10.
解析 數(shù)形結(jié)合法，可看作是過點P(x，y)與M(1,0)的直線的斜率，其中點P在圓(x－3)2＋y2＝3上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時，即直線y＝k(x－1)，斜率的最大值為.
11.
解析 特殊值法.題目中“求值”二字提供了這樣信息，答案為一定值，于是不妨令α＝0，得結(jié)果為.
12.0
解析 構(gòu)造法.
構(gòu)造函數(shù)f(t)＝t5＋t，
則已知變?yōu)?3x＋y)5＋3x＋y＝－(x5＋x)，
即f(3x＋y)＝－f(x)，
根據(jù)函數(shù)f(t)是奇函數(shù)且單調(diào)遞增可得
f(3x＋y)＝f(－x)，于是3x＋y＝－x，即4x＋y＝0.
13.DM⊥PC
解析 易得BD⊥PC.
∴當(dāng)DM⊥PC時，即有PC⊥平面MBD.
而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
14.m<0
解析 由00，∴b<－2或b>2，①③正確，②錯誤.所有正確條件為①③④⑤.
17.<<
解析 由于＝，＝，＝，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)
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高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 快速解答選擇、填空題
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快速解答選擇、填空題】第一篇
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