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第8練 突難點(diǎn)——抽象函數(shù)與函數(shù)圖象
[題型分析高考展望] 抽象函數(shù)即沒有函數(shù)關(guān)系式，通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的描述，對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查，此類題目難度較大，也是近幾年來高考命題的熱點(diǎn).對(duì)函數(shù)圖象問題，以基本函數(shù)為主、由基本函數(shù)進(jìn)行簡單的圖象變換，主要是平行變換和對(duì)稱變換，這樣的題目都離不開函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.
?？碱}型精析
題型一 與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的簡單的抽象函數(shù)問題
例1 (1)(2014湖南)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)等于( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
(2)(2014課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
點(diǎn)評(píng) 抽象函數(shù)的條件具有一般性，對(duì)待選擇題、填空題可用特例法、特值法或賦值法.也可由函數(shù)一般性質(zhì)進(jìn)行推理.
變式訓(xùn)練1 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的( )
A.既不充分也不必要條件
B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件
D.充要條件
題型二 與抽象函數(shù)有關(guān)的綜合性問題
例2 (2014遼寧)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足：
①f(0)＝f(1)＝0；
②對(duì)所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若對(duì)所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|
0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)等于( )
A.2 B.－2
C.8 D.－8
3.對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.(2015課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(－∞，－1)∪(0,1)
B.(－1,0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1,0)
D.(0,1)∪(1，＋∞)
5.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是( )
A.f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)
B.f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)
C.|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)
D.|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)
6.函數(shù)y＝的圖象大致是( )
7.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，且在[－3，－2]上是減函數(shù)，α，β是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則下列不等式中正確的是( )
A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)f(cos β)
8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時(shí)總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù).例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù).下列命題：
①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；
②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b∈B，它至多有一個(gè)原象；
④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù).
其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號(hào))
9.已知g(x)＝－x2－4，f(x)為二次函數(shù)，滿足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值為7，則f(x)的解析式為________________________.
10.方程＋＝－1的曲線即為函數(shù)y＝f(x)的圖象，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，有如下結(jié)論：①f(x)在R上單調(diào)遞減；②函數(shù)F(x)＝4f(x)＋3x不存在零點(diǎn)；③函數(shù)y＝f(x)的值域是R；④f(x)的圖象不經(jīng)過第一象限.其中正確的有________.
11.函數(shù)y＝f(x)為定義在R上的減函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，x，y滿足不等式f(x2－2x)＋f(2y－y2)≤0，M(1,2)，N(x，y)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)1≤x≤4時(shí)，的取值范圍為____________.
12.已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x).當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，f(x)＝log2(x－1)，給出以下4個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)成中心對(duì)稱；
②函數(shù)y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)；
③當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)＝－log2(1－x)；
④函數(shù)y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上單調(diào)遞增，則正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
答案精析
第8練 突難點(diǎn)——抽象函數(shù)與函數(shù)圖象
常考題型精析
例1 (1)C (2)C
解析 (1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
(2)A：令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò).
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò).
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確.
D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò).
變式訓(xùn)練1 D [①∵f(x)在R上是偶函數(shù)，
∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
∵f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，
∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù).
又∵f(x)的周期為2，
∴f(x)為區(qū)間[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的減函數(shù).
②∵f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，
∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù).
又∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(x)為[0,1]上的增函數(shù).
由①②知“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件.]
例2 B [取y＝0，則|f(x)－f(0)|<|x－0|，
即|f(x)|0時(shí)，－10.
故g(x)0或－10，可排除選項(xiàng)B；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，但從選項(xiàng)D的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項(xiàng)D.故選C.]
7.B [因?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，
又f(2－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)以2為周期，
因?yàn)閒(x)在[－3，－2]上是減函數(shù)，
所以f(x)在[－1,0]上也是減函數(shù)，
故f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，
因?yàn)棣粒率氢g角三角形的兩個(gè)銳角，
所以α＋β<，α<－β，
則0
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高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3
第8練
考前
三個(gè)月
復(fù)習(xí)
數(shù)學(xué)
理科
函數(shù)
導(dǎo)數(shù)
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