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1、
學(xué)而思高中完整講義:直線與圓錐曲線.板塊一.直線與橢圓(1).學(xué)生版
1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓.
這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
①,焦點是,,且.
②,焦點是,,且.
3.橢圓的幾何性質(zhì)(用標(biāo)準(zhǔn)方程研究):
⑴范圍:,;
⑵對稱性:以軸、軸為對稱軸,以坐標(biāo)原點為對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心;
⑶橢圓的頂點:橢圓與它的對稱軸的四個交點,如圖中的;
⑷長軸與短軸:焦點所在的對稱軸上,兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸,如圖中線段的;另一對頂點間的線段叫做
2、橢圓的短軸,如圖中的線段.
⑸橢圓的離心率:,焦距與長軸長之比,,越趨近于,橢圓越扁;
反之,越趨近于,橢圓越趨近于圓.
4.直線:與圓錐曲線:的位置關(guān)系:
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離.對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切.這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:
設(shè)直線:,圓錐曲線:,由
消去(或消去)得:.
若,,相交;相離;相切.
若,得到一個一次方程:①為雙曲線,則與雙曲線的漸近線平行;②為拋物線,則與拋物線的對稱軸平行.
因此直線與拋物線、雙曲線有一
3、個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件.
5.連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.
求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標(biāo),然后運用兩點間的距離公式來求;
另外一種求法是如果直線的斜率為,被圓錐曲線截得弦兩端點坐標(biāo)分別為,則弦長公式為.
兩根差公式:
如果滿足一元二次方程:,
則().
6.直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有:
①從方程的觀點出發(fā),利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論,這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ).要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算,并同時注意在適當(dāng)時利用圖形的平面幾何性質(zhì).
②以向量為工具,利用向量的
4、坐標(biāo)運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題.
典例分析
【例1】 設(shè)橢圓過點,且左焦點為
⑴求橢圓的方程;
⑵當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時,在線段上取點,滿足,證明:點總在某定直線上.
【例2】 已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.
⑴求橢圓的方程;
⑵設(shè),,是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點,連結(jié)交橢圓于另一點,證明直線與軸相交于定點;
⑶在⑵的條件下,過點的直線與橢圓交于,兩點,求的取值范圍.
【例3】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為.
⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
5、;
⑵若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
【例4】 在直角坐標(biāo)系中,點到點,的距離之和是,點的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點,不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和.
⑴求軌跡的方程;
⑵當(dāng)時,求與的關(guān)系,并證明直線過定點.
【例5】 在直角坐標(biāo)系中,點到點,的距離之和是,點的軌跡是,直線與軌跡交于不同的兩點和.
⑴求軌跡的方程;
⑵是否存在常數(shù),?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【例6】 設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合,分別是橢圓的左、右焦點,且離心率,且過橢圓右焦點的直線
6、與橢圓交于兩點.
⑴求橢圓的方程;
⑵是否存在直線,使得.若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
⑶若是橢圓經(jīng)過原點的弦,,求證:為定值.
【例7】 已知橢圓的左、右焦點分別為、,短軸兩個端點為、,且四邊形是邊長為的正方形.
⑴求橢圓的方程;
⑵若、分別是橢圓長軸的左、右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點.
證明:為定值.
⑶在⑵的條件下,試問軸上是否存在異于點的定點,使得以為直徑的圓恒過直線、的交點,若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【例8】 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,焦點在軸上,斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點,與共線.
⑴求橢圓的離心率;
⑵設(shè)為橢圓上任意一點,且,證明為定值.
【例9】 已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,經(jīng)過點且離心率.過定點的直線與橢圓相交于,兩點.
⑴求橢圓的方程;
⑵在軸上是否存在點,使為常數(shù)?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.