2020版高考數(shù)學(xué) 3年高考2年模擬 第12章 極限

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1、第十五章 極限第一部分 五年高考薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.（重慶理. 3）已知，則 （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6 答案 D 二、填空題 2.（上海文. 2）計(jì)算= 答案 3. 在等差數(shù)列中，，則__________ 答案 74 三、簡答題 4.（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足 （Ⅰ）若成等比數(shù)列，求和； （Ⅱ）求證：對有 解：（Ⅰ）由題意，因?yàn)樗裕?/p>

2、 由； （Ⅱ）易見，所以 ； 從而時(shí)有： 因?yàn)?，且，所以? 要證，只要證， 即證此式顯然成立， 所以時(shí)有。 最后證，若不然，，又，故 即，矛盾，所以（）。 2020年高考題 一、選擇題: 1.(2020年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科7）如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓， 又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設(shè)為前個(gè) 圓的面積之和，則 A． B. C. D. 【答案】C 2．（2020年高考四川卷理

3、科2）下列四個(gè)圖像所表示的函數(shù)，在點(diǎn)處連續(xù)的是 （A） （B） （C） （D） 解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，D正確. 答案：D 3．（2020年高考四川卷理科8）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 T a2＝2a1 故{an}是公比為2的等比數(shù)列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2

4、n－1)a1 則 答案：B 4．（2020年高考江西卷理科4） A． B． C． D．不存在 【答案】B 5.(2010年高考重慶市理科3)＝ （A） －1 （B） － （C） （D） 1 【答案】B 解析：=. 二、填空題： 1．（2020年高考上海市理科11）將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 。 【答案】1 2． （2020年上海市春季高考14) 答案：。 解析：不妨取，…… 故 故，故答案為1. 三、解答題： 1．(2020年高考全國2卷理數(shù)18）（本小題滿分12

5、分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）證明：． 【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力. 【參考答案】 【點(diǎn)評】2020年高考數(shù)學(xué)全國I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心. 估計(jì)以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).

6、 2020年高考題 一、選擇題 1、（09重慶理8）已知，其中，則的值為 （ ） A.6 B. C. D. 【解析】 答案 D 2、（09湖北理6）設(shè)， 則 （ ） A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時(shí) 令時(shí) 兩式相加得： 兩式相減得： 代入極限式可得，故選B 答案 B 二、填空題 3、（09陜西理13）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 答案 1 第二部分 兩年模擬題 2020屆高三模擬題 題組

7、一 一、選擇題 1．（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） （A）（0，1） （B）（1，10） （C）（10，100） （D）（100，+∞） 答案 B. 2. （廣西北海二中2020屆高三12月月考試題理）已知等比數(shù)列中，公比，且 為數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于 （ ） A6 B C D 答案 B. 3．（黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚? 設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則（

8、 ） 答案 B. 4．（浙江省杭州市高級中學(xué)2020屆高三上學(xué)期第三次月考理）已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且對函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于 ( ) A． B．0 C．1 D．2 答案 A. 二、填空題 5．（浙江省杭州二中2020屆高三11月月考試題文）若函數(shù)在處取極值，則___________． 答案：3. 6．（重慶市重慶八中2020屆高三第四次月考理）已知函數(shù)，在點(diǎn)處

9、連續(xù)，則 答案 . 7．（重慶市南開中學(xué)高2020級高三1月月考理） 若= 。 答案 –1. 三、簡答題 8．（浙江省溫州市嘯秋中學(xué)2020學(xué)年第一學(xué)期高三會(huì)考模擬試卷）已知函數(shù)在處取得極值． (1)求常數(shù)k的值； (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值； 答案 解：(1)，由于在處取得極值， ∴可求得． ………2分 (2)由(1)可知，， 隨的變化情況如下表： 0 + 0 - 0 + 極大值 極小值 ∴當(dāng)為增函數(shù)，為減函數(shù)； ………2分

10、∴極大值為極小值為 ………2分 9．（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分14分）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （3）求證. 答案 9.解：（Ⅰ）因?yàn)椋?x >0，則，…………1分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)在處取得極大值. …………3分 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值， 所以 解得.…………5

11、分 （Ⅱ）不等式即為 記 所以…………7分 令，則， ， 在上單調(diào)遞增， ，從而， 故在上也單調(diào)遞增， 所以，所以 . …………9分 （3）由（2）知：恒成立，即， 令，則 所以 , ， ，… … ， …………12分 疊加得： . 則，所以 …………14分 10．（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求證：

12、 答案10 11.（黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚ū绢}12分） 設(shè)函數(shù) （Ⅰ）若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求的范圍； （Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求的范圍； （Ⅲ）若對任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 答案 11. 解：（1）當(dāng)時(shí)， 因?yàn)橛腥齻€(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以， 即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根。 令，則。 因?yàn)樵诤途鶠闇p函數(shù)，在為增函數(shù)， 的取值范圍 -----------------------------------4分 （2）由題可知，方程在上沒有實(shí)數(shù)根， 因?yàn)?，所?-------------------4分 （3

13、）∵，且， ∴函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和； 當(dāng)時(shí)，又， ∴而 ∴， 又∵在上恒成立， ∴，即，即在恒成立。 ∵的最小值為 ∴---------------------------------4分 12.（黑龍江省哈爾濱市第162中學(xué)2020屆高三第三次模擬理）（12分）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。 （Ⅰ）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）、設(shè)，。若存在使得 成立，求的取值范圍。 答案 12.設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。 （Ⅰ）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。 點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的

14、應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 則 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 當(dāng)a<－4時(shí)，x2>3＝x1，則 在區(qū)間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)； 在區(qū)間（3，

15、―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)； 在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù)。 當(dāng)a>－4時(shí)，x2<3＝x1，則 在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)； 在區(qū)間（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)； 在區(qū)間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù)。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f

16、 (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]， 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只須僅須 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0

17、B．線段AB和CD C．線段AD和BC D．線段AC和BD 答案 A. 2．（江西省2020屆理） 若的最小值為（ ） A．2 B． C． D．3 答案 C. 3. （江西省2020屆理）函數(shù) 的定義域是 （ ） A B D 答案 D. 4.（江蘇省2020屆數(shù)學(xué)理）右圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 （ ） A B

18、 D 答案 B. 5. （廣西桂林中學(xué)2020屆高三理）已知函數(shù)連續(xù)，則 ( ) Ａ. 　　 Ｂ.　 　 　Ｃ. 　 ?。? 答案 B. 7．(廣東省河源市龍川一中2020屆高三文） 直線與圓相交于M,N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是 A. B. C. D. 答案 A. 8．(河南信陽市2020屆高三理）設(shè)函數(shù)是定義在R上的以5為周期的奇函數(shù)，若，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 答案 A. 二 填空題 1．（江蘇泰興市重點(diǎn)中學(xué)2020屆

19、理）若的最大值為m，且f（x）為偶函數(shù)，則m+u=________________． 答案 1. 2、（江西省2020屆高三文）函數(shù)的定義域，值域都是區(qū)間[a,b]，則的值為 答案 4. 3、（江西省2020屆高三文）下列結(jié)論： ①； ②； ③成立的充分不必要條件； ④。 其中正確結(jié)論的序號為 答案 ②③ 4．（江西省2020屆高三理）函數(shù)y＝x2－2x在區(qū)間[a，b]上的值域是[－1，3]，則點(diǎn)(a，b)的軌跡是圖中的 A．線段AB和線段AD B．線段AB和線段CD C．線段AD和線段BC D．線段AC和線段BD 答案 A. 5.（

20、江西省2020屆高三理）若是偶函數(shù)，則的遞增區(qū)間為______________ 答案 （0，1] 。 6.（江蘇省2020屆高三理）定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)， 答案 。 7.（江蘇省2020屆高三理）若定義運(yùn)算 ，則函數(shù)的值域是 答案 3. 8.（江蘇省2020屆高三理）已知，若函數(shù)在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案 9．(廣西桂林中學(xué)2020屆高三理)若() =9， 則實(shí)數(shù)= . 答案 10、（江西省上高二中2020屆高三文）下列結(jié)論： ①； ②； ③成立的充分不

21、必要條件； ④。 其中正確結(jié)論的序號為 答案 、②③[ 三 解答題 1．（江蘇泰興市重點(diǎn)中學(xué)2020屆理）（本小題滿分16分） 如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點(diǎn)。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設(shè)（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。 答案 1．由于則AM＝

22、 故SAMPN＝AN?AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因?yàn)閤 >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 （2）令y＝，則y′＝ ………… 10分 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，y′< 0，所以函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)， 從而當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米， 此時(shí)AN＝3米，AM=9米 …………15 2．（江蘇泰興市重點(diǎn)中學(xué)2020屆理）（本題滿分16分） 已知函數(shù)，． （1）當(dāng)時(shí)，若上單調(diào)遞減，求a的取值范圍； （2）求滿足下列條件

23、的所有整數(shù)對：存在，使得的最大值， 的最小值； （3）對滿足（II）中的條件的整數(shù)對，試構(gòu)造一個(gè)定義在且 上的函數(shù)：使，且當(dāng)時(shí)，． 答案2．1）當(dāng)時(shí)，，…………………………………………………1分 若，，則在上單調(diào)遞減，符合題意；………3分 若，要使在上單調(diào)遞減， 必須滿足 ……………………………………………………………………5分 ∴．綜上所述，a的取值范圍是 …………………………………6分 （2）若，，則無最大值，………………………7分 故，∴為二次函數(shù)， 要使有最大值，必須滿足即且，…8分 此時(shí)，時(shí)，有最大值．……………………………………

24、…分 又取最小值時(shí)，，………………………………………………………分 依題意，有，則，…………分 ∵且，∴，得，………………分 此時(shí)或． ∴滿足條件的整數(shù)對是．……………………………12分 （3）當(dāng)整數(shù)對是時(shí)， ，是以2為周期的周期函數(shù)，………………………分 又當(dāng)時(shí)，,構(gòu)造如下：當(dāng)，則， ， 故… 3．（江蘇省2020屆數(shù)學(xué)理）函數(shù)的定義域?yàn)?0，1]（為實(shí)數(shù)）． ⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； ⑵若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍； ⑶求函數(shù)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)的值． 答案 3、解：（1）顯然函數(shù)的值域?yàn)椋?

25、（2）若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則任取且都有 成立， 即 只要即可，由，故，所以， 故的取值范圍是； （3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增，無最小值，當(dāng)時(shí)取得最大值； 由（2）得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，無最大值 當(dāng)x＝1時(shí)取得最小值2－a； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，無最大值， 當(dāng) 時(shí)取得最小值． 4.（江蘇省2020屆高三理）已知函數(shù) （1） 當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域； （2） 若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值 答案 4.（本題滿分14分） 解（1） 由得，∴函數(shù)的定義域是…………（3分） ∵，∴是奇函數(shù) ∴＝0…………………

26、……………………（3分） （若直接代入計(jì)算也給分 （2） ∵對恒成立 ∴在上是減函數(shù)………………………………（5分） ∴…………………………（3分） 5．（江蘇泰興2020屆高三理）（本小題滿分16分） 如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點(diǎn)。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設(shè)（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。 答案 5．由于則

27、AM＝ 故SAMPN＝AN?AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因?yàn)閤 >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 （2）令y＝，則y′＝ ………… 10分 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，y′< 0，所以函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)， 從而當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米， 此時(shí)AN＝3米，AM=9米 …………15 6．（福建省福州八中2020屆高三理）（本小題15分） 已知函數(shù)f (x)=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值. （Ⅰ）

28、求函數(shù)f (x)的解析式； 　 （Ⅱ）求證：對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，對于任意一個(gè)正實(shí)數(shù)a都有|f (x1)－f (x2)|≤； （Ⅲ）若過點(diǎn)A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 答案 6. （本小題15分）解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0， 即…………………………………………1分 解得a=1，b=0. ∴f (x)=x3－3x.……………………………………………………3分 （II）∵f(x)=x3

29、－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， 利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)在區(qū)間[－3，2]上的最大值和最小值分別為： fmax(x)=f(－1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=－18………………………………4分 ∵對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2， 都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)| |f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－18)=20………………………………6分 由條件可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即恒成立，∴對于任意一個(gè)正實(shí)數(shù)a都有|f (x1)－f (x2)|≤.………8分

30、 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上. 設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足 因，故切線的斜率為， 整理得. ∵過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線， ∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.……………………10分 設(shè)g(x0)= ，則g′(x0)=6， 由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減. ∴函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1………………12分 ∴關(guān)于x0方程=0有

31、三個(gè)實(shí)根的充要條件是 ，解得－3

32、考/資*源*網(wǎng) ∴實(shí)數(shù)的值－2 …………………………3分 （II）由得或 …………………………4分 ①當(dāng)時(shí)， 由得 由得 ∴函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為 …………6分 ②當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 ………………………………8分 （II）假設(shè)存在滿足要求的兩點(diǎn)A，B，即在點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，則即解得或 ∴A,B 又線段AB與x軸有公共點(diǎn)，∴， …………………………1

33、0分 即 又，解得 所以當(dāng)時(shí)，存在滿足要求的點(diǎn)A、B. …………………………13分 題組三 一、選擇題： 1.（四川省成都市2020屆高三第三次診斷理科）計(jì)算的結(jié)果是( ) (A) (B)3 (C) (D)2 【答案】B 【解析】因?yàn)? 所以＝3 2. (四川省綿陽市2020年4月高三三診理科試題)=（ C ） （A）- （B）-5 （C） （D）0 3. （四川省雅安市2020屆高三第三次診斷性考試?yán)砜疲┮阎瘮?shù)在上連續(xù)，則( A ) A．2 B．1 C．0 D．1 4．（四川省自貢市2020屆高三

34、三診理科試題）設(shè)要使在 內(nèi)連續(xù)，則的值為（ C ） A．6 B． C． D．[ (x≤1) (x＞1) 5．（四川省南充高中2020屆高三4月月考理科試題）已知函數(shù) 在點(diǎn)x＝1處連續(xù)，則f－1(3)＝（ C ） A．13 B．1 C． D． 6.（四川省眉山市2020年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲┖瘮?shù)在處不連續(xù)，且存在，則的值等于（ D ） A． B． C． D． 7．（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┑闹档扔冢?C ） A． B． C

35、． D． 二、填空題： M(x,y) ρ θ 0 x y 8. （四川省成都市2020屆高三第三次診斷文科）在平面直角坐標(biāo)系中定義另一種坐標(biāo)(“∠坐標(biāo)”)如下：在平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)M(原點(diǎn)除外)，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以射線Ox為始邊，射線OM為終邊的角，我們把有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)稱為點(diǎn)M的“∠坐標(biāo)”. 有下列命題： ①“∠坐標(biāo)”為(5，)，(5，)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中不重合； ②若點(diǎn)M的“∠坐標(biāo)”為(2，)，則點(diǎn)M的平面直角坐標(biāo)為(1，)； ③一直圓M在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，則該圓上的

36、點(diǎn)P的“∠坐標(biāo)”滿足ρ2－4ρcosθ＋3＝0； ④點(diǎn)M的“∠坐標(biāo)”滿足ρ2sinθ＝ρ2cosθ＋(θ∈(0,))，則點(diǎn)M到x軸的最短距離為2。 其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是___________________. 【答案】①②③ 【解析】根據(jù)“∠坐標(biāo)”的定義，我們可以得到“∠坐標(biāo)”(ρ,θ)與直角坐標(biāo)系中普通坐標(biāo)(x,y)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 或 利用這兩個(gè)轉(zhuǎn)換公式逐一檢驗(yàn)即可知，①②③正確，④錯(cuò)誤。 注：本題中的“∠坐標(biāo)”實(shí)質(zhì)上就是新教材中的“極坐標(biāo)”。 9．（四川省資陽市2020學(xué)年度高三第三次高考模擬理）已知，點(diǎn)表示原點(diǎn)，點(diǎn)（），是向量與向量的夾角， ，設(shè)，則____

37、_____． 10．（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┰谄矫嫔先《ㄒ稽c(diǎn)，從出發(fā)引一條射線，再取定一個(gè)長度單位及計(jì)算角的正方向，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系。這樣，平面上任一點(diǎn)的位置就可以用線段的長度以及從到的角度來確定，有序數(shù)對稱為點(diǎn)的極坐標(biāo)，稱為點(diǎn)的極徑，稱為點(diǎn)的極角。在一個(gè)極坐標(biāo)系下，給出下列命題： ①點(diǎn)的極徑為4，極角為；②有序數(shù)對與表示兩 個(gè)不同點(diǎn)； ③點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 ④圓心在，半徑的圓的極坐標(biāo)方程為； ⑤過點(diǎn)垂直極軸的直線方程為。其中真命題序號是 . ①③④ 11．(四川省成都市石室中學(xué)2020屆高三三診模擬理科)若，則a+b= 3 。