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1、學(xué)而思高中完整講義:排列與組合.版塊四.排列數(shù)組合數(shù)的計算與證明.學(xué)生版
知識內(nèi)容
1.基本計數(shù)原理
⑴加法原理
分類計數(shù)原理:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種方法,……,在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱加法原理.
⑵乘法原理
分步計數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個子步驟,做第一個步驟有種不同的方法,做第二個步驟有種不同方法,……,做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱乘法原理.
⑶加法原理與乘法原理的綜合運用
如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計
2、算完成這件事的方法數(shù)時,使用分類計數(shù)原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步計數(shù)原理.
分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ),也是求解排列、組合問題的基本思想方法,這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好,并正確地靈活加以應(yīng)用.
2. 排列與組合
⑴排列:一般地,從個不同的元素中任取個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素)
排列數(shù):從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示.
排列數(shù)公
3、式:,,并且.
全排列:一般地,個不同元素全部取出的一個排列,叫做個不同元素的一個全排列.
的階乘:正整數(shù)由到的連乘積,叫作的階乘,用表示.規(guī)定:.
⑵組合:一般地,從個不同元素中,任意取出個元素并成一組,叫做從個元素中任取個元素的一個組合.
組合數(shù):從個不同元素中,任意取出個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中,任意取出個元素的組合數(shù),用符號表示.
組合數(shù)公式:,,并且.
組合數(shù)的兩個性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:.(規(guī)定)
⑶排列組合綜合問題
解排列組合問題,首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時要掌握一些常見類型的排列組合問題
4、的解法:
1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法
元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素;
位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置;
2.分類分步法:對于較復(fù)雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏.
3.排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.
4.捆綁法:某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素,與其它元素進(jìn)行排列,然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列.
5.插空法:某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空.
6.插板法:個相同元素,分成組,每組至少一個
5、的分組問題——把個元素排成一排,從個空中選個空,各插一個隔板,有.
7.分組、分配法:分組問題(分成幾堆,無序).有等分、不等分、部分等分之別.一般地平均分成堆(組),必須除以!,如果有堆(組)元素個數(shù)相等,必須除以!
8.錯位法:編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里,每個盒子放一個小球,要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列,特別當(dāng),3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題.
1.排列與組合應(yīng)用題,主要考查有附加條件的應(yīng)用問題,解決此類問題通常有三種途徑:
①元素分析法:
6、以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;
②位置分析法:以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置;
③間接法:先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).
求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理;然后分析題目條件,避免“選取”時重復(fù)和遺漏;最后列出式子計算作答.
2.具體的解題策略有:
①對特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排;
②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類,分類后要驗證是否不重不漏;
③對于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復(fù);
④對于元素相鄰的條件,采取捆綁
7、法;對于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法;
⑤順序固定的問題用除法處理;分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理;
⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題,可以考慮反面.
⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型.
典例分析
排列數(shù)組合數(shù)的簡單計算
【例1】 對于滿足的正整數(shù),( )
A. B. C. D.
【例2】 計算______.
【例3】 計算,;
【例4】 計算______,_______.
【例5】 計算,;
【例6】 計算,,,,.
8、
【例7】 已知,求的值.
【例8】 解不等式
【例9】 證明:.
【例10】 解方程.
【例11】 解不等式.
【例12】 解方程:
【例13】 解不等式:.
【例14】 設(shè)表示不超過的最大整數(shù)(如,),對于給定的,定義,,則當(dāng)時,函數(shù)的值域是( )
A. B.
C. D.
【例15】 組合數(shù)恒等于( )
A. B. C. D.
9、
【例16】 已知,求、的值.
排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用
【例17】 已知,求的值.
【例18】 若,則_______
【例19】 若,則
【例20】 證明:
【例21】 證明:.
【例22】 求證: .
【例23】 證明:.
【例24】 證明:.
【例25】 求證:;
【例26】 計算:,
【例27】 證明:.(其中)
【例28】 解方程
【例29】 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【例30】 規(guī)定,其中,為正整數(shù),且,這是排列數(shù)(是正整數(shù),且)的一種推廣.
⑴求的值;
⑵排列數(shù)的兩個性質(zhì):①,②(其中是正整數(shù)).是否都能推廣到(,是正整數(shù))的情形?若能推廣,寫出推廣的形式并給予證明;若不能,則說明理由.