高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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1、§3 函數(shù)的單調(diào)性 1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義. 2.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性. 3.能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間. 1.增函數(shù) (1)定義:在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上,如果對(duì)于任意兩數(shù)x1,x2∈A,當(dāng)x1<x2時(shí),都有________,那么,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是增加的,有時(shí)也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是遞增的. 設(shè)x1,x2∈A,x1≠x2,f(x)在A上是增加的(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>0. (2)幾何意義:函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是__________

2、__的. (3)圖示:如圖所示. 【做一做1】 下列命題正確的是( ). A.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),如果存在x1,x2∈(a,b),使得x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù) B.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),如果有無窮多對(duì)x1,x2∈(a,b),使得x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù) C.如果f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù),在區(qū)間I2上也為增函數(shù),那么f(x)在I1∪I2上也一定為增函數(shù) D.如果f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),那么x1<x2

3、 2.減函數(shù) (1)定義:在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上,如果對(duì)于任意兩數(shù)x1,x2∈A,當(dāng)x1<x2時(shí),都有________,那么,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是減少的,有時(shí)也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是遞減的. 設(shè)x1,x2∈A,x1≠x2,f(x)在A上是減少的(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0<0. (2)幾何意義:函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是__________的. (3)圖示:如圖所示. 【做一做2-1】 設(shè)函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),則有( ). A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)≤ C.a(chǎn)>

4、- D.a(chǎn)< 【做一做2-2】 函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則有( ). A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5) 3.單調(diào)性 (1)定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域的某個(gè)子集上是______或是______,那么就稱函數(shù)y=f(x)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性.如果函數(shù)y=f(x)在__________內(nèi)是增加的或是減少的,我們分別稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

5、 (2)幾何意義:函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是____或____的. 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“∪”而應(yīng)該用“和”來表示.如函數(shù)y=,其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),不能說函數(shù)在(-∞,0)∪(0,+∞)上遞減,而只能說函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)上遞減. 書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),區(qū)間端點(diǎn)的開或閉沒有嚴(yán)格規(guī)定,習(xí)慣上,若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處有定義,則寫成閉區(qū)間,當(dāng)然寫成開區(qū)間也可以;若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處沒有定義,則必須寫成開區(qū)間. 【做一做3-1】 函數(shù)y=-x2的單調(diào)增區(qū)間為( ). A.(-∞,0]

6、 B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,+∞) 【做一做3-2】 已知函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則它的單調(diào)減區(qū)間為__________. 4.最大值和最小值 (1)定義:一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),其定義域?yàn)镈,如果存在x0∈D,f(x0)=M,使得對(duì)于任意的x∈D,都有f(x)≤M[或f(x)≥M],那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大(小)值,即當(dāng)x=x0時(shí),f(x0)是函數(shù)y=f(x)的最大(小)值,記作ymax=f(x0)

7、[或ymin=f(x0)]. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最大(小)值是其圖像上最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo). 【做一做4】 函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值分別是( ). A.6,3 B.5,2 C.9,3 D.7,4 答案:1.(1)f(x1)<f(x2) (2)上升 【做一做1】 D A,B項(xiàng)中的x1,x2不具有任意性,C項(xiàng)中f(x)在I1和I2上均為增函數(shù),但在I1∪I2上的單調(diào)性無法判定. 2.(1)f(x1)>f(x2) (2)下降 【做一做2-1】 D ∵f(x)

8、是R上的減函數(shù), ∴2a-1<0,即a<. 【做一做2-2】 C ∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),3<5, ∴f(3)>f(5). 3.(1)增加的 減少的 整個(gè)定義域 (2)上升 下降 【做一做3-1】 A 【做一做3-2】 和 【做一做4】 B 函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間[3,6]上是增加的,則當(dāng)3≤x≤6時(shí),f(3)≤f(x)≤f(6),即2≤f(x)≤5,所以最大值和最小值分別是5,2. 理解函數(shù)的單調(diào)性 剖析:函數(shù)的單調(diào)性刻畫了函數(shù)的圖像特征,它反映了函數(shù)圖像的變化趨勢(當(dāng)自變量增大時(shí),函數(shù)值是增大還是減小,圖像是上升還是下降);函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

9、(減函數(shù)),等價(jià)于對(duì)于D中任意的兩個(gè)自變量x1,x2且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)〔f(x1)>f(x2)〕,其中“任意”二字是關(guān)鍵,不能用具體的兩個(gè)自變量代替,否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.比如函數(shù)f(x)=,取x1=-1<x2=1,f(x1)=-1,f(x2)=1,f(x1)<f(x2),如果由此推出f(x)=是增函數(shù)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤,原因就在于x1,x2是定值,不具有任意性. 另一方面,從反面考慮,由于存在x1=-1<x2=1,f(x1)=-1,f(x2)=1,f(x1)<f(x2),我們可以下這樣的結(jié)論:f(x)=在整個(gè)定義域上肯定不是減函數(shù);由定義還可以看出,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)

10、區(qū)間上的性質(zhì),因此它是一個(gè)局部的性質(zhì),并且在考察單調(diào)性時(shí),必須先看函數(shù)的定義域,如果一個(gè)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間,這些增(減)區(qū)間應(yīng)該用逗號(hào)隔開(即“局部”),而不能用并集的符號(hào)連接(并完之后就成了“整體”).例如f(x)=的單調(diào)減區(qū)間可以寫成(0,+∞),(-∞,0)〔或者寫成(0,+∞)和(-∞,0)〕,但不能寫成(0,+∞)∪(-∞,0);由于函數(shù)的單調(diào)性是反映函數(shù)圖像變化趨勢的,所以在一點(diǎn)處沒法討論函數(shù)的單調(diào)性,比如函數(shù)y=x2的單調(diào)增區(qū)間可以寫成(0,+∞),也可以寫成[0,+∞),但是如果定義域中不包含這個(gè)點(diǎn),則必須使用開區(qū)間表示;如果要證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,要嚴(yán)格按照定義進(jìn)行,

11、步驟如下: (1)取值:在指定區(qū)間上任意取兩個(gè)自變量x1,x2且x1<x2; (2)變形:主要是配方或分解因式、通分等; (3)定號(hào):判斷f(x1)-f(x2)的符號(hào); (4)結(jié)論:由定義給出結(jié)論. 題型一 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 【例1】 證明函數(shù)f(x)=x+在(0,1)上是減少的. 分析:在(0,1)上任取x1,x2,且x1<x2,只需證明f(x1)>f(x2)即可. 反思:證明函數(shù)單調(diào)性,主要有2種方法. (1)定義法.其步驟是:①在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2,通常令x1<x2;②比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時(shí)比較它們

12、大小的步驟是作差、變形、看符號(hào);③再歸納結(jié)論. (2)圖像法.借助圖像,依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義來判斷.此法適合客觀題(選擇題和填空題). 題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【例2】 畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖像,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 分析:只需畫出函數(shù)的圖像,看曲線在哪些區(qū)間是上升的,在哪些區(qū)間是下降的,即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 反思:利用函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,具體做法是:先化簡函數(shù)解析式,然后再畫出它的草圖,最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 題型三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 【例3】 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),試比較f(a2-

13、a+1)與f的大?。? 分析:要比較兩函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小. 反思:利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小,一方面是正向應(yīng)用,即若y=f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù),當(dāng)x1<x2時(shí),f(x1)<f(x2),當(dāng)x1>x2時(shí),f(x1)>f(x2);另一方面是逆向應(yīng)用,即若y=f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù),當(dāng)f(x1)<f(x2)時(shí),x1<x2,當(dāng)f(x1)>f(x2)時(shí),x1>x2. 當(dāng)y=f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時(shí),同理可得相應(yīng)的結(jié)論. 【例4】 已知f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范圍. 分析:欲求x的取值范圍,需由f(x-2)<

14、f(1-x)得出x-2與1-x的大小關(guān)系,同時(shí)要注意函數(shù)的定義域. 反思:解答此類問題的關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的單調(diào)性,將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系,即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求解. 題型四 單調(diào)性與最值的綜合運(yùn)用 【例5】 已知函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-. (1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大、最小值. 分析:抽象函數(shù)的性質(zhì)要緊扣定義,并同時(shí)注意特殊值的應(yīng)用. 反思:證明函數(shù)的單調(diào)性,必須用定義嚴(yán)格證明,不能用特殊值去檢驗(yàn),判斷函數(shù)的最

15、值,往往從單調(diào)性入手. 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)兩個(gè)概念理解錯(cuò)誤 【例6】 若函數(shù)y=|x-a|在區(qū)間(-∞,4]上是減少的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 錯(cuò)解:函數(shù)y=|x-a|的圖像如圖所示,由于函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上是減少的,因此a=4. 錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中把函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上是減少的誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,4].若把原題目改為:函數(shù)y=|x-a|的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,4],則a=4符合題意. 答案:【例1】 證明:設(shè)0<x1<x2<1,則 f(x1)-f(x2)=- =(x1-x2)+=(x1-x2) =.

16、 ∵0<x1<x2<1,∴x1x2-1<0,x1-x2<0. 則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴f(x)=x+在(0,1)上是減少的. 【例2】 解:y=-x2+2|x|+3 = 函數(shù)圖像如圖所示. 函數(shù)在(-∞,-1]和[0,1]上是增加的; 函數(shù)在[-1,0]和[1,+∞)上是減少的. 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1]和[0,1],單調(diào)減區(qū)間是[-1,0]和[1,+∞). 【例3】 解:∵a2-a+1=2+≥, ∴與a2-a+1都是區(qū)間(0,+∞)上的值. 又∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù), ∴f≥f(a2-a+1).

17、【例4】 解:由題意可知解得1≤x≤2. ∵f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),且f(x-2)<f(1-x), ∴x-2<1-x.∴x<. ∴1≤x<為滿足題設(shè)條件的x的取值范圍. 【例5】 解:(1)令x=y(tǒng)=0,可得f(0)=0, 令y=-x可得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0. 又∵x>0時(shí),f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1). 由定義可知f(x) 在R上為單調(diào)遞減函數(shù). (2)∵f(x)在R上是減函數(shù), ∴f(x

18、)在[-3,3]上是減少的. ∴f(-3)最大,f(3)最?。? f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×=-2. ∴f(-3)=-f(3)=2,即f(x)在[-3,3]上的最大值為2,最小值為-2. 【例6】 正解:函數(shù)y=|x-a|的圖像如圖所示,所以只要a=4或a在4的右側(cè),都能保證函數(shù)y=|x-a|在區(qū)間(-∞,4]上是減少的,因此a≥4. 1 函數(shù)y=x2-6x+10在區(qū)間(2,4)上是( ). A.遞減函數(shù) B.遞增函數(shù) C.先遞增再遞減

19、 D.先遞減再遞增 2 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ). A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0),(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 3 下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上增加的是( ). A.y=3-x B.y=x2+1 C.y=-x2 D.y=x2-2x-3 4 函數(shù)f(x)=x2-|x|的單調(diào)遞減

20、區(qū)間是__________. 5 求證:函數(shù)f(x)=在(-1,+∞)上是減少的. 答案:1.D 由函數(shù)圖像可知,函數(shù)y=x2-6x+10在區(qū)間(2,4)上先遞減再遞增,選D. 2.C 由y=的圖像知,選C. 3.B (排除法)選項(xiàng)A,y=3-x在R上是減函數(shù);選項(xiàng)C,y=-x2在(0,+∞)上是減少的;選項(xiàng)D,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,當(dāng)x≤1時(shí),y是x的減函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),y是x的增函數(shù),而在(0,2)上并不嚴(yán)格單調(diào),故選B. 4.和 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-x,f(x)的單調(diào)減區(qū)間是, 當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+x,f(x)的單調(diào)減區(qū)間是. 5.證明:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 則f(x1)-f(x2)=. ∵x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, ∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0. ∴f(x1)-f(x2)=>0. ∴f(x)=在(-1,+∞)上是減少的.

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