（廣東專用）2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章第四節(jié) 課時跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時知能訓(xùn)練 一、選擇題 1．(2020·清遠質(zhì)檢)已知直線l：y＝k(x－1)－與圓x2＋y2＝1相切，則直線l的傾斜角為(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D.π 【解析】　由題意知，＝1，∴k＝－， ∴直線l的傾斜角為π. 【答案】　D 2．過點(1,1)的直線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 【解析】　由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(1,1)為弦AB的中點時，|AB|的值最小，此時|AB|＝2＝2＝4. 【答案】　B 3．過點(－4,0)作直線

2、l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B兩點，如果|AB|＝8，則直線l的方程為(　　) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 【解析】　圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圓心(－1,2)到直線l的距離d＝3，當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝－4時，符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 則有＝3，∴k＝－，此時直線l的方程為5x＋12y＋20＝0. 【答案】　B 4．設(shè)O為坐標原點

3、，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·＝0，則＝(　　) A. B.或－ C. D.或－ 【解析】　∵·＝0， ∴OM⊥CM，∴OM是圓的切線． 設(shè)OM的方程為y＝kx， 由＝，得k＝±，即＝±. 【答案】　D 5．(2020·廣州模擬)若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)始終平分圓M：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的周長，則＋的最小值為(　　) A．8 B．16 C．1 D．20 【解析】　由圓M化為(x＋4)2＋(y＋1)2＝16， ∴圓M的圓心M(－4，－1)． 依題意，直線l過圓心M(－4，－1)， ∴－4a－

4、b＋1＝0，即4a＋b＝1， 從而(＋)＝(＋)(4a＋b) ＝8＋＋≥8＋2＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝，a＝時，取等號， ∴＋的最小值為16. 【答案】　B 二、填空題 6．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點C為(－2,3)，則直線l的方程為________． 【解析】　(1)圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a. 由圓的幾何性質(zhì)可知圓心(－1,2)與點C(－2,3)的連線必垂直于l， 又kAB＝－＝1，∴l(xiāng)的方程為x－y＋5＝0. 【答案】　x－y＋5＝0 7．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6

5、＝0(a＞0)的公共弦長為2，則a＝________. 【解析】　公共弦所在的直線方程為y＝，由已知得，圓心(0,0)到公共弦的距離為1，∴＝1，∴a＝1. 【答案】　1 8．已知圓O的方程為x2＋y2＝2，圓M的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝1，過圓M上任一點P作圓O的切線PA，若直線PA與圓M的另一交點為Q，則當(dāng)弦PQ的長度最大時，直線PA的斜率是________． 【解析】　由題意知直線PQ過圓M的圓心(1,3)，故設(shè)PQ方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，由PQ與圓O相切得， ＝，即k2＋6k－7＝0，解得k＝1或k＝－7. 【答案】　1或－7 三、解

6、答題 9．已知曲線C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. (1)求證：不論m取何實數(shù)，曲線C恒過一定點； (2)求證：當(dāng)m≠2時，曲線C是一個圓，且圓心在一條定直線上． 【證明】　(1)曲線C的方程為x2＋y2－20＋m(－4x＋2y＋20)＝0， 故其經(jīng)過圓x2＋y2－20＝0與直線－4x＋2y＋20＝0的交點． 又因為直線－4x＋2y＋20＝0與圓x2＋y2－20＝0相切于點(4，－2)， 所以不論m取何實數(shù)，曲線C恒過定點(4，－2)． (2)曲線C的方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5m2－20m＋20＝5(m－2)2. 當(dāng)m≠2時，5(m－2)2>

7、0. 所以曲線C表示一個圓，且圓心P(2m，－m)在定直線x＋2y＝0上． 10．(2020·揭陽調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y＝x相切于坐標原點O. (1)求圓C的方程； (2)試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【解】　(1)設(shè)圓心為C(a，b)，由OC與直線y＝x垂直，知O，C兩點的斜率kOC＝＝－1，故b＝－a， 則|OC|＝2，即＝2， 可解得或， 結(jié)合點C(a，b)位于第二象限知. 故圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

8、 (2)假設(shè)存在Q(m，n)符合題意， 則，解得. 故圓C上存在異于原點的點Q(，)符合題意． 11．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為Q，過點P(0,2)，且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B. (1)求k的取值范圍； (2)是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由． 【解】　(1)圓的方程可寫成(x－6)2＋y2＝4，所以圓心為Q(6,0)．過P(0,2)且斜率為k的直線方程為y＝kx＋2，代入圓的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.① 直線與圓交于兩個不同的點A、B等價于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范圍為(－，0)． (2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③ 因P(0,2)、Q(6,0)，＝(6，－2)．所以＋與共線等價于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝－.而由(1)知k∈(－，0)，故沒有符合題意的常數(shù)k.