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1、??汲P碌臄?shù)列求和問(wèn)題
524500 廣東省吳川市第一中學(xué) 柯厚寶
數(shù)列求和問(wèn)題是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之,也常是高考的“壓軸”之作.解決這類問(wèn)題已有一套較為成熟的常規(guī)方法,但如何才能從常規(guī)中考出新意?是每年命題專家要思考的問(wèn)題,而我們的問(wèn)題是,如何抓住命題者的出新思路,尋求更對(duì)應(yīng)有效的解決方法?本文試探之.
一、一般數(shù)列,設(shè)計(jì)出新,歸納對(duì)之
例1(2009 江西)數(shù)列的通項(xiàng),其前項(xiàng)和為,則
為( )
A.470 B.490 C.495 D.510
分析:可得,依次取值周期為3,重組合并得解.
解:由于,依
2、次取值以3 為周期,故
=
=,故選A.
點(diǎn)評(píng):本題以歸納為入口,用(其他項(xiàng)同理)拆項(xiàng)、再重組運(yùn)用公式求和,其中隱含的“歸納法”、“拆項(xiàng)求和法”和“公式法”,是常用的求和方法.
跟蹤練習(xí)(2009 重慶改編):設(shè),,,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則= .(答案:)
二、基本數(shù)列,思路出新,整體決之
例2(2009 寧夏)等差數(shù)列前項(xiàng)和為.已知+-=0,=38,則m=_______
分析:由,求出即可得.
解:由得,而,∴或(舍去),于是,∴.
點(diǎn)評(píng):由基本數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)的性質(zhì)結(jié)合整體運(yùn)算,回避了繁雜的“基本量”思路整體的解決了問(wèn)題.平時(shí)多總結(jié)一些“中間
3、”解題結(jié)論,可以有效提高解題效率.
跟蹤練習(xí)(2009 遼寧)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若=3 ,則=
(答案:)
三、綜合問(wèn)題,包裝出新,拆裝為本
例3(2009 遼寧)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w
(1)求的值;
(2)當(dāng)b=2時(shí),記求數(shù)列的前項(xiàng)和.
分析:由“點(diǎn)在曲線上”,建立與的關(guān)系,再由“與法”求,也合適得;接著求,用“錯(cuò)位相減法”可求得.
解:(1)∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.∴,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以;
(2)當(dāng)b=2時(shí),,,
則
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4、
相減,得
=
所以.
點(diǎn)評(píng):本題經(jīng)拆裝后,問(wèn)題回歸到我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題,用上常用的“錯(cuò)位相減法”即可求其和.
跟蹤練習(xí):已知為二次函數(shù),不等式的解集為,且對(duì)任意,,恒有,.數(shù)列滿足,
.設(shè).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(答案:(1);.
提示:由題意得,令,
出現(xiàn),確定的值,從關(guān)于的方程變形得關(guān)于的方程,可得,進(jìn)而得與)
專題小訓(xùn)練
一、選擇題
1.若數(shù)列滿足,則數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且,則的最大值是 ( )
A.10 B.100 C.200
5、 D.400
2.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,若成等差數(shù)列,則的值為( )
A. B.2 C. D.
3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn<-5成立的自然數(shù)n有( )
A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31
4.在等差數(shù)列中,設(shè)為其前項(xiàng)和,已知,則等于 ( )
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,是等比數(shù)列的充要條件是 ( )
A. B.
6、 C. D.
6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,+
則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空題
7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且則
8.已知在等差數(shù)列中,若,則n的最小值為 .
9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=10,S5=55,則過(guò)點(diǎn)P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的斜率為 .
10.對(duì)于集合N={1,2,3,…, n}的每一個(gè)非空子集,定義一個(gè)“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該
7、子集,然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和為5.當(dāng)集合N中的n =2時(shí),集合N={1,2}的所有非空子集為{1},{2},{1,2},則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4,則當(dāng)時(shí),= ______________;
根據(jù)、、,猜想集合N ={1,2,3,…,n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和= .
三、解答題
11.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且(c是常數(shù),N*),.
(1)求c的值及的通項(xiàng)公式;
(2)證明:.
12.已知數(shù)列中,,令.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(
8、2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為,求使成立的正整數(shù)的最小值.
13.已知且,數(shù)列的前項(xiàng)的和,數(shù)列滿足
,.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若對(duì)于區(qū)間上的任意實(shí)數(shù),總存在不小于2的自然數(shù),當(dāng)時(shí),
恒成立,求的最小值.
14.在平面上有一系列的點(diǎn), 對(duì)于正整數(shù),點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上,以點(diǎn)為圓心的與軸相切,且與又彼此外切,若,且
(1)則數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)的面積為,比較與的大小.
參考答案
1.B ∵為“調(diào)和數(shù)列”,∴,即為等差數(shù)列,有,
∴,得.
2.D由題意,得,即,故,
即.
3.A ,
由,得,∴.
4.C 可得,∴.
9、5.D 是等比數(shù)列,得,
,公比,由,∴.反之也成立.
6.A 的單調(diào)性,易得它在R上為單調(diào)遞增函數(shù),且為奇函數(shù).
由條件知,,有,
從而;∴.
又,在R上單調(diào)遞增,∴,得.故選A.
7. ,∵,
得.
8.62 由已知得,解得.
9.4 由,得,消去得,∴,
∴.
10.12; 當(dāng)時(shí),所有非空子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},
;同理得,
,∴.
11.(1)解:因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,解得,
當(dāng)時(shí),,即,解得,
所以,解得;則,數(shù)列的公差,
所以.
(2)因?yàn)?
.
因?yàn)?所以.
12.(1)證明:由,得
10、,兩式相減有,
而,∴,又.
∴是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)得,即,
∴==.
得,∴
=.
令 ①,則 ②.
①-②得=
∴,于是.
由,得,即.
∵當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,.
∴正整數(shù)的最小值為5.
13.解:(1)當(dāng)時(shí),,得.
由,得,∴恒有,從而,
故數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.
(2)由(1)得,,
∴
.
由,得恒成立,其中.
令,由,知,有.
結(jié)合一次函數(shù)的圖象有,解得或,又,∴.
綜上所述,自然的最小值為4.
14.解:(1)的半徑為,的半徑為,和兩圓相外切,
則即
整理,得又所以
即故數(shù)列是等差數(shù)
列,∴=;
(2)由(1)得,又∴
∴
8