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1、章章 末末 歸歸 納納 整整 合合知識網(wǎng)絡(luò)知識網(wǎng)絡(luò)1不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)是不等式理論的基礎(chǔ)，在應(yīng)用不不等式的性質(zhì)是不等式理論的基礎(chǔ)，在應(yīng)用不等式性質(zhì)進(jìn)行論證時，要注意每一個性質(zhì)的條件，等式性質(zhì)進(jìn)行論證時，要注意每一個性質(zhì)的條件，不要盲目亂用或錯用性質(zhì)，特別是乘法性質(zhì)容易用不要盲目亂用或錯用性質(zhì)，特別是乘法性質(zhì)容易用錯，要在記憶基礎(chǔ)上加強訓(xùn)練，提高應(yīng)用的靈活錯，要在記憶基礎(chǔ)上加強訓(xùn)練，提高應(yīng)用的靈活性性2一元二次不等式的解法及其應(yīng)用一元二次不等式的解法及其應(yīng)用要點歸納要點歸納一元二次不等式的解集可以通過兩種方法求解，一元二次不等式的解集可以通過兩種方法求解，第一種方法是結(jié)
2、合該一元二次不等式所對應(yīng)的二次第一種方法是結(jié)合該一元二次不等式所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象給出，第二種方法是將原不等式轉(zhuǎn)化求與函數(shù)圖象給出，第二種方法是將原不等式轉(zhuǎn)化求與它同解的一元一次不等式組的交集去解決它同解的一元一次不等式組的交集去解決第一種方法意在讓我們通過函數(shù)圖象了解一元第一種方法意在讓我們通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)、一元二次方程二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系，充分注重數(shù)形結(jié)合，得出一般的一元二次的聯(lián)系，充分注重數(shù)形結(jié)合，得出一般的一元二次不等式解集，它適用于任何一元二次不等式對于不等式解集，它適用于任何一元二次不等式對于這種方法一定要有深刻的認(rèn)識
3、與體會，要從圖象上這種方法一定要有深刻的認(rèn)識與體會，要從圖象上真正把握其內(nèi)在的本質(zhì)，自己找出不等式解所對應(yīng)真正把握其內(nèi)在的本質(zhì)，自己找出不等式解所對應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間(2)最大最大(小小)值定理：兩個正數(shù)的和為定值時積值定理：兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值有最大值，積為定值時和有最小值要通過自己的思考與嘗試加深對均值不等式最要通過自己的思考與嘗試加深對均值不等式最大大(小小)值定理的正確理解，在使用均值不等式與最大值定理的正確理解，在使用均值不等式與最大(小小)值定理求某些函數(shù)的最值時，要特別注意定理成值定理求某些函數(shù)的最值時，要特別注意定理成立的條件是否具備，如均值不等式中
4、的三個條件立的條件是否具備，如均值不等式中的三個條件“一一正，二定，三相等正，二定，三相等”缺一不可缺一不可(3)利用基本不等式求實際問題中最值的一般步利用基本不等式求實際問題中最值的一般步驟驟認(rèn)真分析理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般認(rèn)真分析理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；函數(shù)的最大值或最小值問題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值(有有時還需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、分析變量、配置系時還需要
5、進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、分析變量、配置系?shù)，湊出數(shù)，湊出“正數(shù)正數(shù)”、“定值定值”、“相等相等”三個條件三個條件)；給出問題的答案給出問題的答案4二元一次不等式二元一次不等式(組組)表示平面的區(qū)域與線性表示平面的區(qū)域與線性規(guī)劃規(guī)劃(1)二元一次不等式二元一次不等式AxByC0在平面直角坐在平面直角坐標(biāo)系中表示直線標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點組成的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域不包含邊界直線平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線畫成虛線)AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域是包含在平面直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線邊界直線且要把邊界直線(畫成實線畫成實線)(2)確
6、定二元一次不等式確定二元一次不等式AxByC0在平面直在平面直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域的判斷方法：角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域的判斷方法：由于在直線由于在直線AxByC0同一側(cè)的所有點同一側(cè)的所有點(x，y)來說，把它的坐標(biāo)來說，把它的坐標(biāo)(x，y)代入代入AxByC，所得的，所得的實數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線某一側(cè)取一實數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線某一側(cè)取一個特殊點個特殊點(x0，y0)，以，以Ax0By0C的正負(fù)情況便可的正負(fù)情況便可判斷判斷AxByC0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)特殊地，當(dāng)C0時，常把原點作為此特殊點時，常把原點作為此特
7、殊點(3)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，就是這二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，就是這個不等式組的各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共個不等式組的各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分這是代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)部分這是代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題的基礎(chǔ)建模方法解決實際問題的基礎(chǔ)(4)解決線性規(guī)劃問題最大的困難是不會將實際解決線性規(guī)劃問題最大的困難是不會將實際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會建模主要障礙有三問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會建模主要障礙有三類：不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；類：不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問
8、題的本不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；孤立地考慮單個的問題質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移針對這些情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移針對這些障礙及題目本身文字過長等因素，解題時要認(rèn)真分障礙及題目本身文字過長等因素，解題時要認(rèn)真分析理解題意，能夠抓住問題本質(zhì)特征，要根據(jù)實際析理解題意，能夠抓住問題本質(zhì)特征，要根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題，然后利用而將實際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題，然后利用圖解法求出最優(yōu)解，作為突破這個難點的關(guān)鍵
9、對圖解法求出最優(yōu)解，作為突破這個難點的關(guān)鍵對于尋找整點最優(yōu)解的問題，還可以利用計算機輔助于尋找整點最優(yōu)解的問題，還可以利用計算機輔助解決解決題型一一元二次不等式的解法題型一一元二次不等式的解法解一元二次不等式一定要注意，二次函數(shù)、二解一元二次不等式一定要注意，二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與次方程、二次不等式之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根，二次函數(shù)軸的交點橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根，二次函數(shù)圖象在圖象在x軸上方，表示函數(shù)值大于軸上方，表示函數(shù)值大于0，這時，這時x的范圍就的范圍就是不等式是不等式ax2bxc0的解集；二次函數(shù)圖象在的解集；
10、二次函數(shù)圖象在x軸軸下方，表示函數(shù)值小于下方，表示函數(shù)值小于0，這時，這時x的范圍就是的范圍就是ax2bxc0的解，解不等式是應(yīng)該把二次函數(shù)圖象畫出來，的解，解不等式是應(yīng)該把二次函數(shù)圖象畫出來，用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題要點整合要點整合【例例1】 解不等式解不等式10，所以，所以x0；由得由得(x3)(x1)0, 所以所以3x1.方法點評方法點評：(1)本例中端點值能否取到易搞本例中端點值能否取到易搞錯，錯，“”號易漏掉號易漏掉(2)利用轉(zhuǎn)化思想及數(shù)軸可利用轉(zhuǎn)化思想及數(shù)軸可以準(zhǔn)確地找出不等式的解集以準(zhǔn)確地找出不等式的解集題型二簡單線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用題型二簡單線性規(guī)
11、劃在實際問題中的應(yīng)用(1)解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是畫圖，所以作解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是畫圖，所以作圖要盡可能地準(zhǔn)確，圖上操作盡可能的規(guī)范圖要盡可能地準(zhǔn)確，圖上操作盡可能的規(guī)范(2)因因為作圖存在誤差，若圖上的最優(yōu)點并不明顯易辨，為作圖存在誤差，若圖上的最優(yōu)點并不明顯易辨，可求出可能是最優(yōu)解的點的坐標(biāo)，然后逐一檢查、可求出可能是最優(yōu)解的點的坐標(biāo)，然后逐一檢查、確定最優(yōu)解確定最優(yōu)解在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大
12、；這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這二是給定一項任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小【例例2】 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為分別為45個與個與55個，所用原料為個，所用原料為A，B兩種規(guī)格金屬兩種規(guī)格金屬板，每張面積分別為板，每張面積分別為2 m2與與3 m2.用用A種規(guī)格金屬板可種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品造甲種產(chǎn)品3個，乙種產(chǎn)品個，乙種產(chǎn)品5個；用個；用B種規(guī)格金屬板可種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個問個問A，B兩種規(guī)格
13、金屬板兩種規(guī)格金屬板各取多少張，才能完成計劃，并使總的用料面積最各取多少張，才能完成計劃，并使總的用料面積最??？??？作直線作直線l：2x3y0，把直線向右上方平移，把直線向右上方平移，答答：兩種金屬板各?。簝煞N金屬板各取5張時，用料面積最省張時，用料面積最省方法點評方法點評：本題屬于給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)：本題屬于給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排才能使完成這項任務(wù)的人力、物力資源量最籌安排才能使完成這項任務(wù)的人力、物力資源量最小的題型解答這類問題的方法是：根據(jù)題意列出小的題型解答這類問題的方法是：根據(jù)題意列出不等式組不等式組(約束條件約束條件)，確定目標(biāo)函數(shù)，然后由約束條，確定目標(biāo)函數(shù)，然后由約束
14、條件找出可行域，最后利用目標(biāo)函數(shù)的平移，在可行件找出可行域，最后利用目標(biāo)函數(shù)的平移，在可行域內(nèi)求出使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值的點，從而求出問題域內(nèi)求出使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值的點，從而求出問題的最優(yōu)解的最優(yōu)解題型三基本不等式與最值題型三基本不等式與最值應(yīng)用基本不等式求最大應(yīng)用基本不等式求最大(小小)值，關(guān)鍵在于值，關(guān)鍵在于“一正一正二定三相等二定三相等”也就是：也就是：(1)一正：各項必須為正一正：各項必須為正(2)二定：要求積的最大值，則其和必須是定值；要求二定：要求積的最大值，則其和必須是定值；要求和的最小值，則其積必須是定值和的最小值，則其積必須是定值(3)三相等：必須三相等：必須驗證等號是否成立驗證
15、等號是否成立【例例3】 已知：已知：3a22b25，試求：，試求：y(2a21)(b22)的最大值的最大值【例例4】 某農(nóng)場有一廢棄的豬圈，留有一面舊某農(nóng)場有一廢棄的豬圈，留有一面舊墻長墻長12 m，現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建一個豬圈平面，現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建一個豬圈平面圖為矩形，面積為圖為矩形，面積為112 m2，預(yù)計：，預(yù)計：(1)修復(fù)修復(fù)1 m舊墻的舊墻的費用是建造費用是建造1 m新墻費用的新墻費用的25%，(2)拆去拆去1 m舊墻用舊墻用以改造建成以改造建成1 m新墻的費用是建新墻的費用是建1 m新墻的新墻的50%，(3)為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1 m
16、的空缺試的空缺試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最小所需的總費用最小設(shè)建造設(shè)建造1 m新墻需新墻需a元，則這里建造圍墻的總造元，則這里建造圍墻的總造價價因此修復(fù)的舊墻約為因此修復(fù)的舊墻約為11.3 m，拆除改建成新墻，拆除改建成新墻的舊墻約為的舊墻約為0.7 m，這樣建造的總造價最小，這樣建造的總造價最小方法點評方法點評：在使用極值定理求函數(shù)的最大或最：在使用極值定理求函數(shù)的最大或最小值時，要注意以下幾點：小值時，要注意以下幾點：x，y都是正數(shù)；積都是正數(shù)；積xy(或和或和xy)為定值；為定值；x與與y必須能夠相等，特別情必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足(積積)(或和或和)為定值為定值
不等式 (2)
