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1、找規(guī)律(一)
這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。
按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，
(1) 1，2，3，4，5，6，?
(2) 1，2，4，8，16，32；
(3) 1，0，0，1，0，0，1，?
(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n 個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n 項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3 項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3 項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n 項(xiàng)記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列
2、(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n 項(xiàng)an＝n。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)×2。數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常見(jiàn)的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：
第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。
第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。
第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形
3、稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4 來(lái)作一些說(shuō)明。
例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：
(1)4，7，10，13，( )； (2)84，72，60，( )，( )；
(3)2，6，18，( )，( )， (4)625，125，25，( )，( )；
(5)1，4，9，16，( )， (6)2，6，12，20，( )，( )，
解：通過(guò)對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)
(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。
(2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48，36。
(3)的規(guī)律是：前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。所以
4、應(yīng)填54，162。
(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5，1。
(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，
所以應(yīng)填5×5=25。
(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，
所以，應(yīng)填 5×6=30， 6×7=42。
例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通過(guò)對(duì)各數(shù)
5、列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。
(1)把數(shù)列每?jī)身?xiàng)分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個(gè)數(shù)加1 得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。
(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7 的次序知，應(yīng)填8，4。
(3) 這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是： 前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)， 故應(yīng)填(17+27=)44。
(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(8×32=)256。
例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，
6、26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說(shuō)明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2，4，6，?其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)? 后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，?按此規(guī)律，8 后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1，所以a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=
7、191。
例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：
(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。
解：(1)數(shù)列的第1，3，5，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12，17， 22，?其規(guī)律是“依次加5”，22 后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2，4，6，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15，30，45，?其規(guī)律是“依次加15”，45 后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27，60。
(2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2，5，8，?中，8 后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8，6，4，? 中，4 后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。
練
8、習(xí)5
按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。
1.56，49，42，35，( )。
2.11， 15， 19， 23，( )，?
3.3，6，12，24，( )。
4.2，3，5，9，17，( )，?
5.1，3，4，7，11，( )。
6.1，3，7，13，21，( )。
7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。
8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。
9.2，5，10，17，26，( )。
10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。
11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？
(2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？
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