數(shù)學(xué)題型題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類型一 倍長(zhǎng)中線

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1、例例 1 如圖，在等腰如圖，在等腰RtACB中，中，ACB90，ACBC，在等腰在等腰RtDCE中，中，DCE90，CDCE，點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別分別在邊在邊BC、AC上，連接上，連接AD、BE，點(diǎn)，點(diǎn)N是線段是線段BE的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接CN，CN與與AD交于點(diǎn)交于點(diǎn)G.(1)若若CN8.5，CE8，求，求SBDE；(2)求證：求證：CNAD；(3)把等腰把等腰RtDCE繞點(diǎn)繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至如圖的位置，點(diǎn)轉(zhuǎn)至如圖的位置，點(diǎn)N是線段是線段BE的中點(diǎn)，延長(zhǎng)的中點(diǎn)，延長(zhǎng)NC交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)H，請(qǐng)問(wèn)，請(qǐng)問(wèn)(2)中的結(jié)論還成立嗎？中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由若成立，請(qǐng)給出證明；

2、若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)【思維教練思維教練】要求要求BDE的面積，高的面積，高CE8，還需求出底邊還需求出底邊BD的長(zhǎng)，已知的長(zhǎng)，已知CN，N為為BE中點(diǎn)，中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可得得BE長(zhǎng)，由勾股定理能求長(zhǎng)，由勾股定理能求BC長(zhǎng)，從而長(zhǎng)，從而BD可求；可求；【自主作答自主作答】解：解：ACB90，點(diǎn)，點(diǎn)N是線段是線段BE的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BE2CN17，CE8，BC 15，CDCE8，BDBCCD7，SBDE BDCE 7828.22BECE1212(2)【思維教練思維教練】要證明要證明CNAD，需證明，需證明CGA90，可根

3、，可根據(jù)已知條件推出據(jù)已知條件推出ACD BCE，再由全等三角形的性質(zhì)得到，再由全等三角形的性質(zhì)得到CADCBE，由直角三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)得到CNBN，根據(jù)等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到腰三角形的性質(zhì)得到CBENCD，等量代換得到，等量代換得到NCDCAD，即可得到結(jié)論；，即可得到結(jié)論；【自主作答自主作答】證明：在證明：在ACD與與BCE中，中， ，ACD BCE(SAS)，CADCBE，ACB90，點(diǎn)，點(diǎn)N是線段是線段BE的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CNBN，CBENCD，NCDCAD，NCDNCA90，CAGGCA90，CGA90，CNAD；ACBCACDBCECDCE (3)【思維教

4、練思維教練】假設(shè)結(jié)論成立，則要證假設(shè)結(jié)論成立，則要證CNAD，同，同(2)可考慮可考慮用角的等量代換證明由點(diǎn)用角的等量代換證明由點(diǎn)N是線段是線段BE中點(diǎn)可考慮用倍長(zhǎng)中線中點(diǎn)可考慮用倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)法，延長(zhǎng)CN至點(diǎn)至點(diǎn)F，使，使NFNC，證得，證得ACD CBF，根據(jù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到全等三角形的性質(zhì)得到DACBCF，角的等量代換即可得，角的等量代換即可得到結(jié)論到結(jié)論【自主作答自主作答】解：解：(2)中的結(jié)論還成立，如解圖，延長(zhǎng)中的結(jié)論還成立，如解圖，延長(zhǎng)CN到到F使使FNCN，連，連接接BF，在，在CEN與與FBN中，中， ，ENC BNF(SAS)，CEBF，F(xiàn)ECN.CBF180FBCF，DCA360DCEACBBCE180ECFBCF，CBFDCA，CNFNCNEBNFENBN CECD，BFCD，在在ACD與與CBF中，中， ，ACD CBF(SAS)，DACBCF，BCFACH90，CAHACH90，AHC90，CNAD.CDBFACDCBFACBC 遇到中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線構(gòu)造倍長(zhǎng)中線的基本圖形是常用的輔助線遇到中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線構(gòu)造倍長(zhǎng)中線的基本圖形是常用的輔助線方方 法法點(diǎn)點(diǎn)撥撥