數學第十一章 統計與統計案例 11.3 變量間的相關關系、統計案例

11.3變量間的相關關系、統計案例第十一章統計與統計案例基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.兩個變量的線性相關兩個變量的線性相關(1)正相關在散點圖中，點散布在從 到 的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.(2)負相關在散點圖中，點散布在從 到 的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關.(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在 ，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.知識梳理左下角右上角左上角右下角一條直線附近2.回歸方程回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數據的點到它的 的方法叫做最小二乘法.距離的平方和最小(2)回歸方程3.回歸分析回歸分析(1)定義：對具有 的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中 稱為樣本點的中心.相關關系(3)相關系數當r0時，表明兩個變量 ；當r0時，正相關；r0時，負相關.思維升華思維升華典例典例 (2016全國)右圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.注：年份代碼17分別對應年份20082014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；解答題型二線性回歸分析師生共研師生共研解解由折線圖中數據和附注中參考數據得40.1749.322.89，因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：解答所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程思維升華思維升華待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數.(2)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數，求函數值.(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.跟蹤訓練跟蹤訓練 某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1,2，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.(1)根據散點圖判斷，yabx與yc哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)解答(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；解答(3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z0.2yx.根據(2)的結果回答下列問題：年宣傳費x49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？解答解解由(2)知，當x49時，年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？解答解解根據(2)的結果知，年利潤z的預報值故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.典例典例(2017全國)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：題型三獨立性檢驗師生共研師生共研(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”，估計A的概率；解答解解記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”.由題意知，P(A)P(BC)P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估計值為0.66.因此，事件A的概率估計值為0.620.660.409 2.(2)填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：解答箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 解解根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表如下：箱產量6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01).附：解答P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解解因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.0040.0200.044)50.340.5，故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值為(1)比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關聯的可能性越大.通過計算|adbc|的大小判斷：|adbc|越大，兩變量有關聯的可能性越大.(2)獨立性檢驗的一般步驟根據樣本數據制成22列聯表.思維升華思維升華比較k與臨界值的大小關系，作統計推斷.跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017石家莊質檢)微信是現代生活進行信息交流的重要工具，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內的有60人，其余的員工每天使用微信的時間在一小時以上，若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段，那么使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信，那么經常使用微信的員工中有 是青年人.(1)若要調查該公司使用微信的員工經常使用微信與年齡的關系，列出22列聯表：解答青年人中年人合計經常使用微信 不經常使用微信 合計 解解由已知可得，該公司員工中使用微信的有20090%180(人).經常使用微信的有18060120(人)，使用微信的人中青年人有18075%135(人)，故22列聯表如下：青年人中年人合計經常使用微信8040120不經常使用微信55560合計13545180由于13.33310.828，所以有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”.(2)根據22列表中的數據利用獨立性檢驗的方法判斷是否有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”？解答P(K2k0)0.0100.001k06.63510.828解解將列聯表中數據代入公式可得：思想方法指導思想方法指導回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；(2)根據一組觀測值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程.求線性回歸方程的方法技巧思想方法思想方法典例典例(12分)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統計數據：年份20062008201020122014需求量/萬噸236246257276286(2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預測該地2018年的糧食需求量.思想方法指導規(guī)范解答規(guī)范解答規(guī)范解答解解(1)由所給數據看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來求線性回歸方程，先將數據處理如下表.年份201042024需求257211101929由上述計算結果，知所求線性回歸方程為(2)利用所求得的線性回歸方程，可預測2018年的糧食需求量大約為6.5(20182010)260.26.58260.2312.2(萬噸). 12分課時作業(yè)1.根據如下樣本數據：基礎保分練解析答案x345678y4.02.50.50.50.40.1123456789101112131415162.(2017江西南城一中、高安中學等九校聯考)隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表.12345678910111213141516非一線一線總計愿生452065不愿生132235總計5842100參照下表，P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828正確的結論是 A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”C.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”D.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”解析答案12345678910111213141516解析解析K29.6166.635，有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”，故選C.解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516A.160 B.163 C.166 D.170123456789101112131415165.(2018湖南永州模擬)已知x與y之間的幾組數據如下表：解析答案12345678910111213141516x123456y02133412345678910111213141516解析解析由兩組數據(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y2x2，b2，a2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數據，6.某地2009年至2015年中，每年的人口總數y(單位：萬)的數據如下表：年份2009201020112012201320142015年份代號t0123456人口總數y888991011A.(3,9) B.(9,3)C.(6,14) D.(4,11)解析答案123456789101112131415167.(2017遵義聯考)某公司為確定明年投入某產品的廣告支出，對近5年的年廣告支出m與年銷售額t(單位：百萬元)進行了初步統計，得到下列表格中的數據：12345678910111213141516年廣告支出m24568年銷售額t3040p507060解析答案8.以下四個命題，其中正確的序號是_.從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每20分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；解析答案12345678910111213141516對分類變量X與Y的統計量K2來說，K2越小，“X與Y有關系”的把握程度越大.解析解析是系統抽樣；對于，統計量K2越小，說明兩個相關變量有關系的把握程度越小.9.為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關，現隨機抽取50名學生，得到如圖所示22列聯表：解析答案12345678910111213141516理科文科總計男131023女72027總計20305095%12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516411.某地區(qū)2009年至2015年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數據如下表：解答12345678910111213141516年份2009201020112012201320142015年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸方程；解解由所給數據計算得1234567891011121314151612345678910111213141516(2)利用(1)中的線性回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2018年農村居民家庭人均純收入.解答1234567891011121314151612345678910111213141516故預測該地區(qū)2018年農村居民家庭人均純收入為7.3千元.12.(2017西安質檢)某省會城市地鐵將于2017年6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：解答12345678910111213141516月收入(單位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75贊成定價者人數123534認為價格偏高者人數4812521(1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內的人均月收入，求參與調查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差異是多少(結果保留2位小數)；12345678910111213141516解解“贊成定價者”的月平均收入為“認為價格偏高者”的月平均收入為“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元).P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解答12345678910111213141516(2)由以上統計數據填下面22列聯表，分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.月收入不低于55百元的人數月收入低于55百元的人數總計認為價格偏高者 贊成定價者 總計 沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.12345678910111213141516解解根據條件可得22列聯表如下：月收入不低于55百元的人數月收入低于55百元的人數總計認為價格偏高者32932贊成定價者71118總計104050B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C.用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量y和x之間的相關系數r0.936 2，則變量y與x之間具有線性相 關關系13.(2017通州一模)對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是 技能提升練解析答案12345678910111213141516解析解析R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是模型的擬合效果越好，故選C.14.(2018河北保定模擬)中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調研.人社部從網上年齡在1565的人群中隨機調查100人，調查數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下：12345678910111213141516年齡15,25)25,35)35,45)45,55)55,65支持“延遲退休”的人數155152817(1)由以上統計數據填寫22列聯表，并判斷是否有95%的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；1234567891011121314151645歲以下45歲及45歲以上合計支持 不支持 合計 解答解解22列聯表如下：1234567891011121314151645歲以下45歲及45歲以上合計支持354580不支持15520合計5050100所以有95%的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.(2)若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休年齡政策”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現從這8人中隨機抽2人，求至少有1人是45歲及45歲以上的概率.參考數據：12345678910111213141516解答P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解解從不支持“延遲退休年齡政策”的人中抽取8人，則45歲以下的應抽6人，45歲及45歲以上的應抽2人.12345678910111213141516拓展沖刺練答案解析12345678910111213141516P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.8281212345678910111213141516解析解析設男生人數為x，由題意可得列聯表如下：若有95%的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則k3.841，12345678910111213141516解得x10.243.16.(2017包頭一模)如圖是某企業(yè)2010年至2016年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖.注：年份代碼17分別對應年份20102016.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關系，請用相關系數加以說明；12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解由折線圖中的數據得，因為y與t的相關系數近似為0.935，說明y與t的線性相關程度相當大，所以可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(2)建立y關于t的回歸方程，預測2017年該企業(yè)的污水凈化量；12345678910111213141516解答所以預測2017年該企業(yè)污水凈化量約為57噸.(3)請用數據說明回歸方程預報的效果.1234567891011121314151612345678910111213141516解答12345678910111213141516所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明回歸方程預報的效果是良好的.