2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第4章 方程組試題1 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習第一篇代數(shù)第4章方程組試題1新 人教版 4.1.1★已知關、的方程組 分別求出當為何值時，方程組有唯一一組解；無解；有無窮多組解，解析與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時也要進行討論，一般是通過消元，歸結為一元一次方程的形式進行討論，但必須特別注意，消元時，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時，這個式子的值不能等于零. 由①式得 ，③ 將③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)④ 當，即且時， 方程④有唯一解，將此值代入③有 ， 因而原方程組有唯一一組解． 當，且時，即時，方程④無解，因此原方程

2、組無解. 當且時，即時，方程④有無窮多個解，因此原方程組有 無窮多組解． 評注對于二元一次方程組，(、、、為已知數(shù)，且與，與中都至少有一個不為零)． (1) 當時，方程組有唯一的解 bc-bc x二li- ab-ab <1221 ac-ac y二 ab-ab 1221 (2) 當時，原方程組有無窮多組解． (3) 當時，原方程組無解． 4.1.2★對、的哪些值，方程組至少有一組解？解析由原方程可得．即 (1) 當時，方程有唯一解，從而原方程組有唯一解． (2) 當，時，方程有無窮多個解，從而原方程組也有無窮多組解．綜上所述，當且為任意數(shù)，或且時，方程組至少有一

3、組解． 4.1.3★已知關于、的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0. 當每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解． 解析1根據(jù)題意，可分別令，代入原方程得到一個方程組： 解之得 將，代入原方程得 (a-1).3+(a+2)-(-1)+5-2a=0. 所以對任何值 都是原方程的解． 評注取為的是使方程中，方程無項，可直接求出值；取的道理類似解析2可將原方程變形為 a(x+y—2)—(x—2y—5)=0. 由于公共解與無關，故有解之得公共解為 4．1．4★★已知，且，，求的值． 解析已知代數(shù)式中含有、、三個字母，而等式只有

4、2個，在一般情況下是不可能求出、、的具體值來的．因此，可以把已知條件中的視為常數(shù)，得到關于、的方程組，從而找出、與的關系，由此可求出其值．把已知等式視作關于、的方程，視作常數(shù)，得關于、的方程組解得因為，所以，于是 x2+6y2—10z2 3x2—4yz+5z2 (2z)2+6—-z—10z2I2丿 3-(2z)2—4—-z2+5z2k2丿 4．1．5★若、的值滿足方程組求的值． 解析由①+②得，即 ．③ 由③得：.④ 把④代入①得：解得，把代人④得:，所以方程組解為 原式=24+4x22x12+5x14=37. 4.1.6★★當取何值時，關于、的方程組有正整數(shù)解． 2—

5、a x=2+ 解析解方程組得］所以，是被3除余2的整數(shù). _a+1 y=a+2+. 〔3 -2—a、“ 2+三1, 由］3“得.所以，， a+1 a+2+三1 3 4.1.7★為何值時，方程組 （1）當，即時，原方程組有唯一解 （2）當，即時，原方程組無窮多組解； （3）由于，故方程組不可能無解. 4.1.8★若方程組的解滿足，求的值.解析將代入原方程組，得 所以，，. 4.1.9★甲、乙二人同時求的整數(shù)解.甲求出一組解為而乙把中的7錯看成1，求得一組解為求、的值. 解析把，代入，得.把，代入，得. 解方程組得 4.1.10★甲、乙兩人解方程組

6、由于甲看錯了方程①中的以而得到方程組的解為乙看錯了方程②中的而得到的解為假如按正確的、計算，求出原方程組的解. 解析因為甲只看錯了方程①中的，所以甲所得到的解應滿足無的正確的方程②，即.② 同理，應滿足正確的方程①，即 .④ 解由③、④聯(lián)立的方程組得 所以原方程組應為 解之得 4.1.11^★已知方程組無解,、是絕對值小于10的整數(shù)，求、的值.解析因為方程組無解的條件是參照這個條件問題便可解決.原方程組可化為因為方程組無解，所以有 ， 所以，且，因為，所以，，又因為是整數(shù)，所以， ，，0，1，2，3，相應地，-6，-3，0，3，6，9.所以，當時，原方程組無解. 4.1.

7、12★已知關于和的方程組 3x+4y=-5, 5x+6y=-9, （n-8m）x-8y=10, 5x+（10m+2n）y=-9 有解，求的值.解析首先解方程組 得到，，代入原方程組中后兩個方程，得到 ① 再解上面關于和的方程組，得到，，. 4.4.13★已知，，求的值.解析根據(jù)題意有 a+b_1 ab2' a+c1 <_—, ac5 b+c_1 be4 -+-_& ab2 <-+1_②ac5 -+-=-?③bc4 （①+②+③），得 .④ ④①得④②得 3160 ④③得 所以a+b+c_晉+晉+(-40)_ 4.1.14★如果方程組的解是正整

8、數(shù)，求整數(shù)的值. 解析解方程組得 x_ y= 11一3m① 2， .② 2 因為、都是正整數(shù)，所以 11—3m> <2一， '5m-H三1. I2 解得. 因為是整數(shù)，所以.將代入①和②式,、的值均為正整數(shù). 故. 4.1.15*★解方程組解析因為表示兩個方程，即和，或者和，或者和，所以原方程組實際上是由三個方程組成的三元一次 方程組，將原方程組改寫為 2 x+3y-4z=-7,① 3 =2,② 3 直仝=2?③ 2 由方程②得，代入①化簡得 ．④ 由③得．⑤ ④⑤得所以，． 將代入⑤，得.將代入②， 得．所以 x=2,

9、 、z=2 為原方程組的解． 評注本題解法中，由①、②消去時，采用了代入消元法；解④、⑤組成的方程組時，若用代入法消元,無論消去還是消去，都會出現(xiàn)分數(shù)系數(shù)，計算較繁，而利用兩個方程中的系數(shù)是一正一負，且系數(shù)的絕對值較小這一特征，采用加減消元法較簡單． 4.1.16★已知 f123 一+―+一 xyz 1-6-5 =0,① =0.② xyz 求的值. 解析①-②消去得，即.①②消去得，即.①②消去得，即.所以，即為所求. 4.1.17^解方程組 fx-y-z=5,①

10、. 由④+②得，.由④+③得，.所以，原方程組的解為 x=7,y=5,z=-3,x+y+z=1,①y-z+u=2,② 4.1.18*解方程組

11、 -4,① =11,② xyx 5?③ xy 解析①②得 ，④ 由③得，⑤代入④得，代入⑤得. 再把，代入①得，所以 x=5, 10 z=■ 33 為原方程組的解. 解析2令，，，則原方程化為 A+B+2C=-4,

12、方程組 x(y+z—x)=39—2x2,①

13、為 2a+b—c 14 2b+c—a 14 2c+a—b 14 4.1.22*★解方程組 x+2y=5,y+2z=&z+2u=11, u+2x=6. x=5-2y,① 解析有原方程得r=8—2z,② z=11-2u,③ u=6一2x.④ 所以x=5—x—2y=5—2(8—2z) =—11+4z=—11+4(11—2u) 即，解之得，將代入④得?將代入③得?將代入②得.所以原方程組解為 x=1, y=2, z=3, u=4. 4.1.23^★解方程組 r111 —+—=二, xy+z2 111 <_+=；, yz+x3 111 —+=—.

14、 、zx+y4解析先把各方程左邊通分，再對每個方程兩邊取倒數(shù)，并設，則原方程可化為rxy+xz=2k,①

15、 1 1 —+ x y+1 2' 1 1 1 —+ x z+2 3' 1 1 1 + — — [y+ 1z +2 4 解得，，.所以，方程組的解為 24 19 z=22. 4.1.25*★解方程組 x+y+zx=,① 2 1 y+z+xy=2,② 1 z+x+yz=.③ 2 解析①③得，則． 把式④代入①、②，整理分別得 3y+2y2+x+2xy2一2x2y=1，⑤ ．⑥ ⑤⑥得． 若，由式⑤得解得． 將代入式④，得.若，同理，． 將，代入式①得

16、分解因式得 故（，，）為（，2，）、（2，，）（，，2）綜上，共有5組解 ‘-1+V6-2+V6一2+V6' 222 '一2-V6一2-V6-2-晁' 222 ，2，）（2，，） （，，2）． 4.1.26*解方程組 \2x2+4xy-2x-y+2=0,① [3x2+6xy-x+3y=0.②解析②①得 解方程組得 4.1.27*解方程組 \2x2-4xy+y2+2x-y+2=0,①]x2—2xy—y2+x—2y+4=0.（② 解析②①得 所以，. 解方程組 Iy=i,[x2-2xy-y2+x-2y+4=0 與Iy=一2,[x2一2xy一y2+x一2y

17、+4=0, 得原方程組的解 4.1.28*解方程組 解析由②得 ，所以或.因此，原方程組可化為兩個方程組 與解兩個方程組得原方程組的解為 評注方程組至少有一個方程可以分解為一次方程時，可用因式分解法解4.1.29*解方程組 解析由①②得 ，即，所以或.所以或.分別解下列兩個方程組 得原方程組的解為 x=—-J13,x=713, 313 < 413 y=—J713;y=-—^/13. 〔313〔413 評注如果兩個方程都沒有一次項，可用加減消元法消去常數(shù)項，再用因式分解法求解 4.1.30*解方程組 解析原方程組可變形為①②得 (x+y)2+2(x+y)

18、=10+6\：2. 令，則所以，即或. 當時，代入①得?解方程組 可得，；，． 當時，代入①得. 而方程組無實數(shù)解．綜上所述，方程組的解為評注由于一般的二元對稱式總可以用基本對稱式和表示，因此在解二元對稱方程組時，一定可以用和作為新的未知數(shù)，通過換元轉化為基本對稱方程組． 4.1.31*★解方程組 解析本題是一個對稱方程組的形式，觀察知它可轉化為基本對稱方程組的形式 由①得 .③ 將②代入③，得，所以 .④ 由②、④可得基本對稱方程組于是可得方程組的解為4.1.32*解方程組解析本題屬于二元輪換對稱方程組類型，通?？梢园褍蓚€方程相減，因為這樣總能得到一個方程，從

19、而使方程降次化簡. ①②，再因式分解得所以或.解下列兩個方程組得原方程組的四組解為 10 10 4.1.33^★★解方程組解析1用換元法.設則有 3 2 1 丄J5A-9+7B=6,2 < Va+1J5B-9=6,〔2 即 ③④并平方得 =4A+5B-9+4pA(5B-9), 整理得 A-B=4C5AB-9A—5AB-9B), 所以 4r_4(5AB-9A-5AB+9B) ^5AB-9A+45AB-9B， 化得 0， (A-B)C5AB-9A5AB-9B+36)= 因為v5AB-9A+<5AB-9B+36>0, 因此． 解方程組 得

20、經(jīng)檢驗，適合方程③、④，由此得原方程的解是解析2①②得 <5x+4-\：4x+5=、：5y+4-^4y+5， 己-1=丄-1 \5x+4+\4x+5\；5y+4+J4y+5 所以與同號或同為零．由方程①得 C5x+4-3)+C4y+5-3)=0, 5(x-1)4(y-1) 5x+4+34y+5+3 所以與不能同正，也不能同負．從而由此解得經(jīng)檢驗，，是方程組的解． 4.1.34*★★解方程組: 2x=x+——, 21x 1 32 2x=x+, x 2 2x=x nn-1 2 +, x n-1 2x=x+ 1nx n 解析本例各方程中，未知數(shù)

21、的出現(xiàn)是循環(huán)對稱的．若用消元法求解將十分困難．故而采用不等式求解． 顯然方程組的解，，，都同號，且若，，，是方程組的解，則，，，也是方程組的解．故不妨先設． 因為2x=x+-三2,'x-—=2込，所以.同理，，，. 1nx\nx n 把方程組的所有方程相加，整理，得 2 2 2 x+x+…+x —— ++? ?-+- 12n x x x 1 2 n 但 .① 222 ++…+—W xxx 12n 因此要等式①成立，只能容易檢驗，確實原方程組的解.因此，原方程組有兩組解，它們是4.1.35*★★解方程組: 2x21-=

22、x, 1+x22 1 2x2L=x, 1+x23 2 2x2 n-1=x, 1+x2n n-1 2x2 n—x. 1+x21 解析1首先有.再由（為實數(shù)）得，，，， ；所以xWxWxW???￡xWxWx.只能.進而求得本題的兩組解或. 1nn-1321 解析2若，，，中有一個為零，則由方程組可推出其余個未知數(shù)都是零，則是原方程組的解.下設都不是零，則 1+X21 2x2x2 1 1+X21 2x2x3 2 112 +1=, x2x2 1 112 +1=, x2x3 2 n-1 2x2 n-1 x n 1+X21 ; x

23、 1 2X2 n 112+1=, x n x2 n-1 112 +1=； x2x n1 將所有方程相加，并整理、配方，得 >2 P-1+二-1+???+丄-1 IX1丿 X2丿 因為，所以只能 ——1=——1=?…=——1=0, xxx 12n 易知它確實原方程組的解?因此，原方程組的解由兩組：，或 4.1.36^^★★已知原方程組： aX + aX +ax二 0, 111 122 133 aX + aX +aX =0, 211 222 233 aX + aX +aX =0. 31

24、1 322 333 它的系數(shù)滿足下列條件： （1）、、都是正數(shù)； （2）所有其他系數(shù)都是負數(shù)； （3）每一方程中系數(shù)之和是正數(shù). 求證：是已知方程組的唯一解. 解析本例是一個三元線性齊次方程組，，顯然是它的解，因而只要證明已知方程組不存在不全為零的解集即可. 用反證法.若方程組有不全為零的解，，，由對稱性不設防、、中以為最大，則.于是由，，，，得 面的不等式顯然是矛盾的.故已知方程組只有唯一解：4.1.37*★解方程組 a2二a+b—2c+2d+e—8, b2二—a—2b—c+2d+2e—6, vc2=3a+2b+c+2d+2e—31, d2=2a+b+c+2d+2e—2, e2二a+2b+3c+2d+e—8. 解析將這個5個方程相加，得 a2—6a+b2—4b+c2—2c+d2 ， 所以（a—3）2+（b一2）2+（c—1）2+（d—5）2+（e一4）2=0, 故（，，，，）（3，2，1，5，4）． 經(jīng)檢驗知，（，，，，）（3，2，1，5，4）是方程組的解．