2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第18章 整數(shù)幾何試題 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第18章整 數(shù)幾何試題新人教版 18.1.1★已知的兩條高長分別是5、15,第三條高的長數(shù)，求這條高之長的所有可能值.解析由面積知，三條高的倒數(shù)可組成三角形三邊，這是它們的全部條件．設(shè)第三條高為，則 11 +-h15 111 1515h 解得，可取4、5、6、7這四個值． 18.1.2★已知的三邊長分別為,，，且邊上的高的長為，其中為正整數(shù)，且，問：滿足上述條件的三角形有幾個？ 解析注意為之最長邊，故，設(shè)，，則，而可正可負(fù)． 由，及y2-z2=(n+3x)2-(n+x)2=(2n+4x)?2x，得,，由勾

2、股定理，知，展開得，由及為 正整數(shù)，知，2，-，12,這樣的三角形有12個. 18.1.3★已知一個直角三角形的三條邊均為正整數(shù)，其中一條直角邊不超過20,其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為，求此三角形周長的最大值． 解析設(shè)該直角三角形直角邊長為、，斜邊為，則外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，不妨設(shè)． 由條件知，，平方， +b2+2ab)=49(a2+b2 于是，，，或，，，周長為，為正整數(shù)．的最大值為6，此時各邊為18、24、30，周長最大值為 18.1.4★為不等邊三角形,，，其他兩邊長均為整數(shù)，求的面積. 解析設(shè)，，則由余弦定理，有 由條件，不妨設(shè)，則為之最小邊，只能取值

3、1、2、3、4、5、6，分別代入，發(fā)現(xiàn)當(dāng)或5時，其余情形均無整數(shù)解． 于是或． 18.1.5^^一點與半徑為15的圓的圓心距離是9,求經(jīng)過且長為整數(shù)的弦的條數(shù). 解析如圖，半徑為，，過的弦長為整數(shù)，為直徑，，，則，因此 ST=SP+TP三2\SP■TP=24. 又,故這樣的弦共有條,其中與垂直的弦及各一條,其余的弦每種長度有兩條（關(guān)于對稱）． 18.1.6*★在直角三角形中，各邊長都是整數(shù),，為邊上的高，為垂足，且（奇素數(shù)）求的值（用表示）. 解析由知，故設(shè)（為正整數(shù)），則，又由勾股定理，知，故.設(shè)，代入得，易知只能有，，解得，，于是. 18.1.7

4、*★設(shè)正三角形，、分別在、上,，兩端延長，交外接圓于、，若、、長均為正整數(shù)，求的最小值. 解析如圖，易知也是整數(shù).設(shè)，，，則，于是由相交弦定理，得，. 設(shè)，，，，，則，由于，故，要使達(dá)到最小，得取，于是.由于，，知.當(dāng)，時取到最小值3，此時. 18.1.8*★已知凸四邊形的四邊長是兩兩不相等的整數(shù),對邊乘積之和等于四邊形面積的兩倍，且，求該四邊形面積、對角線長度. 解析不妨設(shè)，，，，與交于，則 AC-BD-sinZAOB=2S=ac+bd三AC-BD，于是由托勒密定理，知、、、必共圓，且滿 ABCD 足.又由已知條件，，.經(jīng)搜索知250表為平方和只有兩組：和.由對稱性，不妨設(shè)

5、，，，則 SabcD2AC-BD=呼=96. 由余弦定理，因，得52+92—BD2+132+152一BD2=0，得，于是. 45195 18.1.9*★是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的？證明你的結(jié)論． 解析存在滿足條件的三角形．當(dāng)?shù)娜呴L分別為，，時，． 如圖，當(dāng)時，延長至點，使．連結(jié)，為等腰三角形． 因為為的一個外角，所以．由已知，，所以．所以為等腰三角形．又為與的一個公共角，有，于是，即，所以．而，所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形． 評注滿足條件的三角形是唯一的．若，可得．有如下三種情形： (i) 當(dāng)時，設(shè),

6、，(為大于1的正整數(shù))，代入，得，解得，有,，； (ii) 當(dāng)時，設(shè),，(為大于1的正整數(shù))，代入，得.解得，有,，，此時不能構(gòu)成三角形； (iii) 當(dāng)時，設(shè),，(為大于1的正整數(shù))，代入，得，即，此方程無整數(shù)解. 所以，三邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍的三角形存在而且只有三邊長分別為4、5、6構(gòu)成的三角形滿足條件． 18.1.10^★三邊長為連續(xù)整數(shù)、周長不大于100、且面積是有理數(shù)的三角形共有多少個？解析設(shè)三角形三邊依次為、、，則， S^=Jp(p-a)(p-b)(p-c) 于是是平方數(shù)，令，得，則，，．又不可能是奇數(shù)，否則，得，則，，． 又不

7、可能是奇數(shù)，否則，將，4，6，8，10，12，14，16，18代入，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)，8時滿足要求．因此這樣的三角形共有兩個，三邊長依次為3、4、5與13、14、15． 18.1.11^★某直角三角形邊長均為整數(shù)，一直角邊比斜邊小1575，求其周長的最小值.解析設(shè)直角三角形直角邊長、，斜邊為，則 由于，設(shè)，則，設(shè)，則，于是的最小值為17，此時，，，．此時的最小周長為3808 18.1.12^★已知，是角平分線,，，也是整數(shù)，求所有可取的值. 解析如圖，作，在上，則易知． 又，故 AD

8、可取的值為1,17. 18.1.13★面積為的正方形內(nèi)接于面積為1的正三角形，其中、是整數(shù)，且不能被任何質(zhì)婁的平方整除，求的值. 解析設(shè)正方形的邊長為，正三角形的邊長為，則，由，可得 m-x 2 m 2 解得.于是 x2=（2v3-3）m2=28^3-48. 由題意得，，，所以17.1.14*★如圖，是的高，四邊形是的內(nèi)接正方形，若（即兩位數(shù)），，且、、恰為從小到大的4個連續(xù)正整數(shù)，求的所有可能值. 解析易知竺=空=1-CR=1-空，于是有，或，移項，得，或，解得或5?于是有 BCACACAD 兩解： 'BC=12,

9、=56, SR=7, AD=8. 易知這兩組數(shù)據(jù)都符合要求，故或． 18.1.15*★已知中，是銳角.從頂點向邊或其延長線作垂線，垂足為；從頂點向邊或其延長線作垂線，垂足為．當(dāng)和均為正整數(shù)時，是什么三角形？并證明你的結(jié)論． 解析設(shè)，，、均為正整數(shù)，則 =4cos2B<4 BDBE mn=4--- ABBC 所以，，2，3． （1）當(dāng)時，，，此時．所以垂直平分，垂直平分，于是是等邊三角形． （2）當(dāng)時，，，此時，，或，所以點與點重合，或點與點重合．故，或，于是是等腰直角三角形． （3）時，，，此時，，或，．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是是頂角為的等腰

10、三角形． 18.1.6*★某直角三角形兩直角邊長均為整數(shù)，周長是面積的整數(shù)倍（就數(shù)字上講），問問這樣的直角三角形有多少個？ 解析設(shè)直角邊分別為、，則斜邊，由條件知它是有理數(shù)，故必定是整數(shù)．設(shè)，為正整數(shù)，于是由于也是正整數(shù)，故它只能為1、2或4，記作． 由，得，，時無解；時，有，｛，｝=｛3，4｝；時，，｛，｝=｛5，12｝或｛6，8｝，所以這樣的直角三角形共有3個． 18.1.17*★在等腰中，已知，這里為大于1的自然數(shù)，點、依次在、上，且，與相交于，求使為有理數(shù)的最小自然數(shù)． DEADAB-BC1 解析如圖，連結(jié)，貝y,——===i-， BCABABk 由于四邊形為等腰梯

11、形，貝由托勒密定理（或過、作垂線亦可）， k-12k-1 CD2=CD?BE=DE-BC+DB-CE=BC2+BC=BC,2又，于是，由于與互質(zhì), kk 由題設(shè)知其必須均為平方數(shù)，，適合，這是滿足要求的最小自然數(shù)． 18.1.18*★★對于某些正整數(shù)來說，只有一組解（不計順序），這里,、是正整數(shù)且可構(gòu)成三角形的三邊長，這樣的共有多少個？ 解析顯然，當(dāng)（素數(shù)）時無解；當(dāng)或時只有一組解（1，，）或（1，1，1）；當(dāng)（、為不同素數(shù)）時無解；當(dāng)（為大于3的素數(shù)）時也無解．剩下的數(shù)為8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64

12、，66，70，72，75，78，80，81， 84，88，90，96，98，99，100． 易驗證，無解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99； 唯一解的有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96， 98； 不止一組解的有：36，60，64，72，100． 注意：判定無解的主要依據(jù)是，，時無解，困為． 因此，有解的共有23個． 18.1.19*★面積為整數(shù)的直角三角形周長為正整數(shù)，求的最小值，并求此時這個直角三角形的兩條直角邊的可取值（如不止一組解，只需舉了一組即可）． 解析設(shè)該直角三角形的

13、直角三角形周長分別為、，貝V，,,k=a+b+冷a2+b2三141+2, 故． 下令，，如有解，貝可． 平方得 a2+b2=25一10(a+b)+a2+b2+2ab. 取，得 因此、為方程的根，解得、為與，故的最小值是5. 18.1.20*★若的三邊長、、均為整數(shù)，且，求內(nèi)切圓半徑.解析不妨設(shè)，于是. 又，故，得. 于是只可能為7或10. 時，，只可能，，，內(nèi)切圓半徑 r= (p-a)(p-b)(p-c)<6 P2 時，，沒有滿足要求的解. 18.1.21*★證明：若、是一組勾股數(shù)，則存在正整數(shù)、、使得，而,；或， 解析，設(shè)（，，），貝，，，.易知、、兩兩互質(zhì)；

14、與不可能同偶，否貝，，；與也不會同奇，否貝，矛盾.于是與必一奇一偶，不妨設(shè)奇而偶，于是為奇數(shù). 從而，與必互質(zhì)，否貝有一奇素數(shù)，，得，，故（，），與（，）=1矛盾.于是可設(shè)，，（，）=1，且、均為奇數(shù)，解得，，，令，，即得結(jié)論. 18.1.22*★★如圖，、在的邊、上，的延長線與的延長線交于，求證:、、、、、、的長度不可能是1?8的排列. 解析如果，貝，得，矛盾，故，同理、、、、都不等于1. 因此1只可能等于或之長，不失對稱性，設(shè)，則 ，，作，在上，四邊形乃一等腰梯形，于是為正整數(shù)． 又，故，但為等腰三角形的底角，，ZEGC=180。-ZBFD>90。，為的最大內(nèi)角，，矛盾，因

15、此結(jié)論證畢． 18.1.23*★★已知梯形中，，、分別在、上，，，如果、、均為正整數(shù)，稱該梯形為“整數(shù)梯形”.現(xiàn)對于正整數(shù)，有正整數(shù)'〈'〈，‘+'=，且、為一“整數(shù)梯形”的上、下底， 為另一“整數(shù)梯形”的上、下底，求的最小值. 解析如圖，由,，得，得，于是問題變?yōu)榍笞钚〉?，使與‘‘均為平方數(shù). 、'‘不可能都為4故至少有一組三9,顯然另一組也不可能為4,于是，‘‘29.如果或貝V.若或‘‘=9或16,則或.于是的最小值為10,,‘=2,'=8,=9. 18.1.24^★★求證：存在無窮多個每邊及對角線長均為不同整數(shù)的、兩兩不相似的凸四邊形. D 解析如圖，作圓內(nèi)

16、接四邊形，與垂直于，設(shè)為一整數(shù)，，，，則，，，由此知，而由，知，，.同時乘以系數(shù)，得，，，，，. 易知上述6個多項式無二者恒等，于是任兩者相等只能得有限個，但正整數(shù)有無限個，因此有無限個，使6個多項式兩兩不等，又當(dāng)時，，因此有無限個這樣的凸四邊形兩兩不相似. 18.1.25^★★已知、為圓的切線，割線過，與圓交于、與交于，若、、、均為正整數(shù)，求的最小值. 解析如圖，易知有（調(diào)和點列）． 設(shè)，，，則，， 從而PA=>PM-PN= fa(a+b+c)= :a+b~a\'a-b 設(shè)，，（，），則（，）=1，，，．易見（，）=1，則、一奇一偶．于是由（，）=1，得，且由為整數(shù)知

17、，、為奇數(shù)．因為，于是的最小值為，，當(dāng)1,2,3,4時，無解（即不是整數(shù)），故，又，，于是215，當(dāng)5,4,36時取到． 若（，）=2，此時、同奇，的最小值為，此時，，，，當(dāng)，3時，無使為整數(shù)，于是，又，所以，，．當(dāng)，，時取到10． 綜上，的最小值是10． 18.1.26^^★一圓內(nèi)接四邊形的四邊長及對角線長都是整數(shù)，求這類四邊形中周長最小者.解析顯然長與寬為4、3的矩形滿足要求，其周長=14．若等腰梯形上、下底分別為3、4，腰為2,則由托勒密定理，對角線長為4,滿足要求，此時周長為11.故最小周長W11.顯然對圓內(nèi)接凸四邊形，無邊長為1.否則若設(shè)，，得，同理，于是、均在中垂線上，構(gòu)不成

18、凸四邊形.因此最小周長22X4=8. 四邊均為2，得正方形，對角線為，不合要求；三邊為2，另一邊為3，得等腰梯形，對角線長為，亦不合要求.故最小周長210. 當(dāng)周長為10時，顯然至少有兩邊為2.若是2、2、2、4，則對角線為，不合；于是只能為2、2、3、3，四邊形為矩形或箏形，總有對角線長為，亦不合. 故最小周長為11. 18.1.27^★★在中，，是高，已知的三邊長都是整數(shù)，且，求與的周長之比. 解析設(shè)的三邊長分別為、、.由題設(shè)知 ，故. 于是設(shè)，得由勾股定理得是整數(shù)，所以是完全平方數(shù)，設(shè)為，則，. 由于，所以解得于是，. 因為，所以它們的周長比等于它們的相似比，即.

19、 18.1.28^★★已知銳角三角形中，是高，矩形的面積是的1/3，其頂點、在上,、分別在、上，且、及矩形的周長均為有理數(shù)，求的最小值. 解析如圖，設(shè)的三邊長依次為、、，，，，則，及.由條件，知、、均為有理數(shù). C 由，得，，，因此只能有． 若過作的平行線，再作關(guān)于的對稱點，貝y‘‘=，于是的最小值為，僅當(dāng)時取到. 18.1.29**★★整數(shù)邊三角形中，，是斜邊上的高，也是整數(shù).若對同一個能長度，有兩個不全等的直角整數(shù)邊三角形滿足要求，求的最小值． 解析不妨設(shè)的三邊長為、、，，，首先為有理數(shù)，又為整數(shù)，因此也是整數(shù)．又為整數(shù)，故也是整數(shù)．又,故． 因此，只需正整數(shù)、滿足及

20、，這樣的整數(shù)邊三角形就存在．因為此時是有理數(shù)，而為整數(shù)從而為整數(shù)．易知由可得． 設(shè)，、為正整數(shù)，且無平方因子，于是由及知，．設(shè)，，代入得，又由，得，今對的任一素因子，其在的指數(shù)不會比的指數(shù)高，否貝，而最多為1，于是，這是不可能的．于是，同理．又令，，代入得． 于是對有兩組不同的、滿足．經(jīng)計算，故．當(dāng)時，確實有滿足要求的兩組解：，，，和，，．故的最小值是64． 18.1.30**★★試找一不等邊三角形，使及邊上的中線、角平分線、高的長度都是整數(shù)，可以是多少（此時的中線、角平分線、高的長度分別為多少）?若要求不是整數(shù)，但是整數(shù)，貝可為多少（此時中線、角平分線、高的長度分別為多少）? 解析首

21、先處理為整數(shù)的問題，我們選擇的是直角三角形，對應(yīng)邊為、，中線，角平分線，高，，，又，得，故，于是為偶數(shù)，，而，，這個方程有解，，，得，，．乘以一個系數(shù)20，即得直角三角形，它的斜邊為200，斜邊上的中線為100，角平分線為35，高為28． 下面處理為無理數(shù)、為整數(shù)的情形，如圖，延長，與交于，此處．易知、、共圓（是外接圓弧之中點）． 今從基本勾股數(shù)出發(fā)構(gòu)造． 取，，，貝，，，，． 易知，于是 BP2=卩。卩人=52x￥=6084，BC2=4BM2=4 -MP2)=4 (6084482) 3024 2525丿 再乘以系數(shù)5，得所求三角形的高，角平分線，中線，邊是無理數(shù)，但． 18.1.31*★作圓外切凸五邊形，現(xiàn)知該五邊形每邊長均為整數(shù),，又圓與切于，求. 解析如圖，設(shè)、、、分別與圓切于、、、．則為整數(shù)，于是由題設(shè)，亦為整數(shù)，而．于是為整數(shù)，由于，故，，． E C P D