北師大新版八年級上冊《第1章勾股定理》單元測試卷3含答案解析

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1、北師大新版八年級數(shù)學(xué)上冊《第 1章 勾股定理》單元測試卷 2 一、選擇題(每小題 3分,共30分) 1.如圖,陰影部分是一個矩形,它的面積是 ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1,則正方形 ACEF的面積為( 3 .三角形的三邊長為 a, b, c,且滿足(a+b) 2=c2+2ab,則這個三角形是() A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形 3: 4,則較短直角邊的長為( 4 .已知直角三角形的斜邊長為10,兩直角邊的比為 A. 3 B. 6 C. 8 D. 5 5. "BC中,加,出,工的對邊分別記為 a, b, c,由下列條

2、件不能判定 小BC為直角三 角形的是() A. a+BZCB. A 出 ?1: 2: 3 C. a2=c2 - b2 d . a: b: c=3: 4: 6 6 .若直角三角形的三邊長為6, 8, m,則m2的值為() A. 10 B. 100 c. 28 D. 100 或 28 7 .在RtABC中,ZC=90°, AC=9 , BC=12 ,則點C到斜邊 AB的距離是() 3&門2 A.B- -T C- 9D. 6 5b 8 .如圖,在 Rt^ABC中,ZB=90 °,以AC為直徑的圓恰好過點 B, AB=8 , BC=6 ,則陰影 部分的面積是() C. 25 l

3、 24 D. 25 l 48 A. IOOtt- 24B. IOOtt— 48 9 .如圖所示為一種 羊頭”形圖案,其作法是:從正方形 ① 開始,以它的一邊為斜邊,向外 作等腰直角三角形,然后再以其直角邊為邊,分別向外作正方形②和②,…,依此類推, 若正方形①的面積為64,則正方形⑤的面積為() A. 2 B, 4 C, 8 D. 16 10 .勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有 若勾三,股四, 則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系 驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的, 也AC=90

4、°, AB=3 , AC=4,點D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的邊上,則矩形 KLMJ的面積為() A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二、填空題(每小題 4分,共20分) 11 .如圖字母B所代表的正方形的面積是: 12 .等腰 ABC的腰長AB為10cm,底邊BC為16cm,則底邊上的高為 13 .一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行,另一艘輪船同時離開港口以 30km/h 的速度向東南方向航行,它們離開港口半小時后相距 km. 14 .如圖是一個圓柱形飲料罐,底面半徑是5,高是12,

5、上底面中心有一個小圓孔,則一條 到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是 15 .如圖,長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4 個側(cè)面爬行一圈到達 Q點,則螞蟻爬行的最短路徑長為cm. 三、解答題(共50分) 16.如圖所示, 出=8AF=90 °, BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求圖中半圓的面積. 17 .如圖,在 Rt"BC 中,&=90°,AC=8,在必BE 中,DE 是 AB 邊上的高,DE=12 , SXbe=60 , 求BC的長

6、. 18 .如圖所示的一塊地,AD=12m , CD=9m,必DC=90 °, AB=39m , BC=36m ,求這塊地的 19 .如圖,一艘貨輪在 B處向正東方向航行,船速為 25n mile/h,此時,一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A處,以65n mile/h的速度要將一批貨物送到貨輪上,問快艇最快需要 多少時間? 20 .如圖,將長方形 ABCD沿著對角線BD折疊,使點C落在C處,BC交AD于點E. (1)試判斷ZBDE的形狀,并說明理由; (2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面積. 21 .如圖,必BC

7、是直角三角形, 出AC=90。,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC 邊上的點,且DE組F. (1)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; 2 )如圖2,若AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求 △DEF 的面積. 北師大新版八年級數(shù)學(xué)上冊《第 1旗 勾股定理》單元測 試卷 、選擇題(每小題 3分,共30分) 1.如圖,陰影部分是一個矩形,它的面積是() A. 5cm2 B. 3cm2 C. 4cm2 D. 6cm2 【考點】幾何體的表面積;勾股定理. 【分析】根據(jù)勾股定理先求出斜邊的長度, 再根據(jù)長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積

8、. 【解答】解:Qi率2=5厘米, /帶陰影的矢I形面積=5M=5平方厘米. 故選A . 【點評】本題考查了勾股定理和長方形的面積公式. 2.如圖,正方形 ABCD的邊長為1,則正方形 ACEF的面積為( A. 2 B, 3 C. 4 D, 5 【考點】算術(shù)平方根. 【分析】根據(jù)勾股定理,可得 AC的長,再根據(jù)乘方運算,可得答案. AC= ^AB^4-BcM12+12=V2, 【解答】解:由勾股定理,得 乘方,得(血)2=2, 故選:A. 【點評】 本題考查了算術(shù)平方根,先求出 AC的長,再求出正方形的面積. 3.三角形的三邊長為 a,

9、b, c,且滿足(a+b) 2=c2+2ab,則這個三角形是() A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形 【考點】勾股定理的逆定理. 【分析】對等式進行整理,再判斷其形狀. 【解答】解:化簡(a+b) 2=c2+2ab,得,a2+b2=c2所以三角形是直角三角形, 故選:C. 本題考查了直角三角形的判定:可用勾股定理的逆定理判定. 4.已知直角三角形的斜邊長為10 ,兩直角邊的比為3: 4,則較短直角邊的長為 () A . 3 B . 6 C. 8 D . 5 【考點】勾股定理. 【分析】根據(jù)兩邊的比值設(shè)出未知數(shù)列出方程組解之即可. 【解答】解:設(shè)兩直角

10、邊分別為3x , 4x. 由勾股定理得( 3x) 2+ (4x) 2=100. 解得 x=2 ,則 3x=3 >2=6, 4x=4 >2=8 . △ 直角三角形的兩直角邊的長分別為6 , 8. 較短直角邊的長為 6. 故選: B. 【點評】 本題考查了勾股定理的應(yīng)用. 勾股定理: 在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方. 5. z^ABC中,zA,加,ZC的對邊分別記為a, b, c,由下列條件不能判定 第BC為直角三 角形的是 () A,必+也=3B.旭:&=1: 2: 3 C. a2=c2 - b2 D. a: b: c=3: 4: 6 【考點】勾股定理的

11、逆定理;三角形內(nèi)角和定理. 【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可. 【解答】 解:A、必+ZB=ZC,又ZA+ZB+ZC=180°,則3=90 °,是直角三角形; B、必:ZB: ZC=1: 2: 3,又 A+ZB+H=180°,則&=90°,是直角三角形; C、由a2=c2- b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形; D、32+42幫2,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形. 故選 D . 【點評】 本題考查了直角三角形的判定, 注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時, 應(yīng)先認真分析所 給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗證兩條較小邊的平方和與

12、最大邊的平方之間的關(guān)系, 進而作出判斷. 6.若直角三角形的三邊長為6, 8, m ,則m2 的值為() A. 10 B. 100 C. 28 D. 100或 28 【考點】勾股定理. 【專題】分類討論. 【分析】 分情況考慮:當(dāng)8是直角邊時,根據(jù)勾股定理求得m2=62+82;當(dāng)較大的數(shù)8是斜 邊時,根據(jù)勾股定理求得m2=82- 62. 【解答】 解: ① 當(dāng)邊長為 8 的邊是直角邊時,m2=62+82=100; ②當(dāng)邊長為8的邊是斜邊時,m2=82- 62=28; 綜上所述,則m2 的值為100或 28. 故選: D . 【點評】 本題利用了勾股定理求解, 解答本題的

13、關(guān)鍵是注意要分邊長為 8 的邊是否為斜邊來 討論. 7.在 Rt^ABC 中,ZC=90°, AC=9 , BC=12 ,則點 C 到斜邊 AB 的距離是 ( A. 3& 【考點】 【分析】 B. — C, 9 D. 6 5 勾股定理. 設(shè)點C到斜邊AB的距離是h,根據(jù)勾股定理求出 AB的長,再根據(jù)三角形的面積 公式即可得出結(jié)論. 【解答】解:設(shè)點C到斜邊AB的距離是h, * Rt^ABC 中,3=90°, AC=9 , BC=12, 9B=〃於十鏟二15, Zh= 12乂工3& 15 =~ 兩條直角邊長的平方之和 【點評】本題考

14、查的是勾股定理,熟知在任何一個直角三角形中, 定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵. 8.如圖,在RtMBC中,ZB=90 °,以AC為直徑的圓恰好過點 B, AB=8 , BC=6 ,則陰影 部分的面積是() A. 1OOTT- 24B. 1OO ?!?8 C. 25 ?!?4 D. 25 兀—48 【考點】勾股定理. 【專題】計算題. 【分析】先根據(jù)勾股定理求出 AC的長,進而可得出以 AC為直徑的圓的面積,再根據(jù) S陰 影=S圓-S&BC即可得出結(jié)論. 【解答】 解: 于tZABC中旭=90°, AB=8 , BC=6, MC=蟲上二=;..-'=10, 必C為直徑的

15、圓的半徑為 5, secCL…? £S 陰影=S 圓—Szabc=25 兀一弓 >6 >8=25 ?!?4. £ 故選C. 【點評】本題考查的是勾股定理,熟知在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和 一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵. 9 .如圖所示為一種 羊頭”形圖案,其作法是:從正方形 ① 開始,以它的一邊為斜邊,向外 作等腰直角三角形,然后再以其直角邊為邊,分別向外作正方形②和②,…,依此類推, 若正方形①的面積為64,則正方形⑤的面積為() A. 2 B. 4C. 8 D. 16 【考點】勾股定理. 【專題】規(guī)律型. 【分析】根據(jù)題意可知第一個

16、正方形的面積是64,則第二個正方形的面積是 32,…,進而 可找出規(guī)律得出第 n個正方形的面積,即可得出結(jié)果. 【解答】解:第一個正方形的面積是64; 第二個正方形的面積是 32; 第三個正方形的面積是 16; 54 第n個正方形的面積是 嚴―1, 公正方形⑤的面積是4. 故選:B. 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理.解題的關(guān)鍵是找出 第n個正方形的面積. 10 .勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有 若勾三,股四, 則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系 驗證勾股定理.圖2

17、是由圖1放入矩形內(nèi)得到的, 也AC=90 °, AB=3 , AC=4,點D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的邊上,則矩形 KLMJ的面積為() A. 90 B, 100 C, 110 D. 121 【考點】勾股定理的證明. 【專題】 常規(guī)題型;壓軸題. 【分析】延長AB交KF于點O,延長AC交GM于點P,可得四邊形 AOLP是正方形,然 后求出正方形的邊長,再求出矩形 KLMJ的長與寬,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即 可得解. 【解答】 解:如圖,延長 AB交KF于點O,延長AC交GM于點P, 所以四邊形AOLP是正方形, 邊長 AO=AB+AC=3+4

18、=7 , 所以 KL=3+7=10 , LM=4+7=11 , 因此矩形 KLMJ的面積為10 M1=110. 故選:C. 【點評】 本題考查了勾股定理的證明,作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵. 二、填空題(每小題 4分,共20分) 11 .如圖字母B所代表的正方形的面積是:144. 【分析】在本題中,外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方,實際上是求另一直角邊 的平方,用勾股定理即可解答. 【解答】 解:如圖,根據(jù)勾股定理我們可以得出: a2+b2=c2 a2=25, c2=169 b2=169 - 25=144 因此B的面積是144.

19、【點評】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用.只要搞清楚直角三角形的斜 邊和直角邊本題就容易多了. 12 .等腰 ABC的腰長AB為10cm,底邊BC為16cm,則底邊上的高為 Bcm. 【考點】勾股定理;等腰三角形的性質(zhì). 【專題】計算題. 【分析】根據(jù)題意畫出圖形,利用三線合一得到BD的長,在直角三角形 ABD中,利用勾 股定理即可求出 AD的長. 【解答】 解:如圖所示,AAB=AC=10cm AD nBC z2BD=CD= 在RtZABD中,根據(jù)勾股定理得: =6cm. 故答案為:6cm 熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵. 【點評】此

20、題考查了勾股定理,以及等腰三角形的性質(zhì), 13 .一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行,另一艘輪船同時離開港口以30km/h 的速度向東南方向航行,它們離開港口半小時后相距17 km. 【考點】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)題意,畫出圖形,且東北和東南的夾角為90。,根據(jù)題目中給出的半小時后和 速度可以計算 AC, BC的長度,在直角 "BC中,已知AC, BC可以求得AB的長. 【解答】 解:作出圖形,因為東北和東南的夾角為90。,所以ZABC為直角三角形. 在 Rt至BC 中,AC=16 >0.5km=8km , BC=30 >0.5km=15km . 則

21、AB= . , , ' " 'km=17km 故答案為17. 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用,本題中確定"BC為直角三角形,并且 根據(jù)勾股定理計算 AB是解題的關(guān)鍵. 14.如圖是一個圓柱形飲料罐,底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔,則一條 到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是 12QW3. 【考點】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】如圖,當(dāng)吸管底部在 O點時吸管在罐內(nèi)部分 a最短,此時a就是圓柱形的高;當(dāng) 吸管底部在A點時吸管在罐內(nèi)部分 a最長,此時a可以利用勾股定理在 Rt?BO中即可求 出. 【解

22、答】解:如圖, 當(dāng)吸管底部在 O點時吸管在罐內(nèi)部分 a最短, 此時a就是圓柱形的高, 即 a=12; 當(dāng)吸管底部在 A點時吸管在罐內(nèi)部分 a最長, 即線段AB的長, 在Rt9BO中,AB="E詬常 =.?『二 二13, MBa=13, 所以12Q得3. 故答案為:12Q司3. 【點評】 本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息,正確理解題意是解題的關(guān)鍵. 15.如圖,長方體的底面邊長分別為 2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從 P點開始經(jīng)過4 個側(cè)面爬行一圈到達 Q點,則螞蟻爬行的最短路徑長為13cm. 【考點】平面展開-最短路徑問題.

23、 【專題】 幾何圖形問題;壓軸題. 【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑,最直接的作法,就是將長方體展開, 然后利用 兩點之間線段最短解答. 【解答】解: ZPA=2X (4+2) =12, QA=5 ZPQ=13. 故答案為:13. ,以及如何把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形. 三、解答題(共50分) ,BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求圖中半圓的面積. 16.如圖所示, 出=8AF=90 【考點】勾股定理. 【分析】 首先,在直角9BO中,利用勾股定理求得 AO=5cm;然后在直角 AFO中,由勾 股定理求得斜邊 FO的長度;最后根據(jù)圓形的面積公式進

24、行解答. 【解答】 解:如圖,至直角 ABO中,出=90 °, BO=3cm , AB=4cm , &O= VB02+AB2=5cm - /圖中半圓的面積 x( \17 '69=169 九 C cm2). 答:圖中半圓的面積是 1697T 則在直角 AFO中,由勾股定理得到:FO=7A02MF2=13cm, 【點評】 本題考查了勾股定理和圓的面積的計算.注意,勾股定理應(yīng)用于直角三角形中. 17.如圖,在 Rt^ABC 中,&=90°,AC=8 ,在必BE 中,DE 是 AB 邊上的高,DE=12 , S&be=60 , 求BC的長. 【考點】勾股定理;三角形

25、的面積. 【分析】利用面積法求得斜邊 AB的長度,然后在 Rt+BC中,利用勾股定理來求線段BC 的長度. 【解答】 解:如圖, M^BE中,DE是AB邊上的高,DE=12, SXbe=60, ?ED=60,即 *AB M2=60, 解得AB=10 . 又沖 RtABC 中,ZC=90°, AC=8 , 生C=MAB。_ he r ]心二產(chǎn)=6 ? 答:線段BC的長度是6. 【點評】 本題考查了勾股定理、三角形的面積.注意,勾股定理應(yīng)用于直角三角形中. 18.如圖所示的一塊地, AD=12m , CD=9m, 面積. 必DC=90 °, AB=39m , BC=3

26、6m ,求這塊地的 【考點】勾股定理的應(yīng)用;三角形的面積;勾股定理的逆定理. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】連接AC,運用勾股定理逆定理可證 ACD , "BC為直角三角形,可求出兩直角 三角形的面積,此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差. 【解答】 解:連接AC,則在Rt^ADC中, AC2=CD 2+AD 2=122+92=225, 必C=15,在叢BC 中,AB 2=1521 , AC2+BC2=152+362=1521 , 必B2=AC2+BC2, △ ACB=90 °, D?CD=±M5X36 - 任ZABC — SZACD=jAC?BC - >12X9=

27、270— 54=216. 答:這塊地的面積是 216平方米. 【點評】解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線使圖形轉(zhuǎn)化成特殊的三角形,可使復(fù)雜的求解過程 變得簡單. 19.如圖,一艘貨輪在 B處向正東方向航行,船速為 25n mile/h,此時,一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A處,以65n mile/h的速度要將一批貨物送到貨輪上,問快艇最快需要 多少時間? 【考點】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】先設(shè)快艇最快需要 x小時,根據(jù)勾股定理列出方程,求出方程的解即可. 【解答】解:設(shè)快艇最快需要 X小時,由題意得, (25x) 2+1202= (65x) 2

28、 解得:x=2或x= - 2 (舍去). 答:快艇最快需要 2小時. 【點評】本題考查了一元二次方程及勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直 角三角形,根據(jù)勾股定理列出方程. 20.如圖,將長方形 ABCD沿著對角線BD折疊,使點C落在C處,BC交AD于點E. (1)試判斷ZBDE的形狀,并說明理由; (2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面積. 【考點】翻折變換(折疊問題). 【分析】(1)由折疊可知,ZCBD=ZEBD,再由ADZBC,得到z2CBD= ^EDB ,即可得到 在BD= ZEDB ,于是得到BE=DE,等腰三角形即可證明; (2

29、)設(shè)DE=x,則BE=x, AE=8 - x,在Rt9BE中,由勾股定理求出 x的值,再由三角形 的面積公式求出面積的值. 【解答】 解:(1) ZBDE是等腰三角形. 由折疊可知,ZCBD= ZEBD , MD ZBC, △ CBD=莊DB , △ EBD=正DB, z2BE=DE , 即出DE是等腰三角形; (2)設(shè) DE=x,貝U BE=x, AE=8 —x, 在 Rt^ABE 中,由勾股定理得:AB2+AE2=BE2 即 42+ (8-x) 2=x2, 解得:x=5 , 所以 S/BDE=—DE >AB=-X5>4=10. 2 工 【點評】本題主要考查翻折變換

30、的知識點,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與 勾股定理的知識,此題難度不大. 21.如圖,9BC是直角三角形, 加AC=90。,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC 邊上的點,且DE組F. (1)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; (2)如圖 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求綃EF 的面積. 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形. 【分析】(1)延長ED至點G,使得EG=DE ,連接FG, CG,易證EF=FG和也DE^CDG, 可得BE=CG, ZDCG=綃BE,即可求得zTCG=90 °,根據(jù)勾股定理即可解

31、題; (2)連接AD,易證至DE=ZCDF,即可證明^ADEACDF,可得AE=CF , BE=AF , S四邊形 AEDFh^S/ABC ,再根據(jù)^DEF的面積h^S&BC — S/AEF,即可解題. 22 【解答】(1)證明:延長 ED至點G,使得DG=DE,連接FG, CG, z2DE=DG , DF^DE, z2DF垂直平分DE, z2EF=FG, ZD是BC中點, z2BD=CD , 在任DE和ZCDG中, "CD ,ZBDE=ZCDG, tDE^DG △ BDEACDG (SAS), z2BE=CG , ZDCG= zDBE , △ ACB+ 垣B

32、E=90 °, △ ACB+ MG=90 °,即 z2FCG=90 °, 222 ZCG +CF =FG , ZBE2+CF2=EF2; (2)解:連接AD , ZAB=AC , D 是 BC 中點, △ BAD= A>45 , AD=BD=CD , △ ADE+ MDF=90 , ZADF+ ZCDF=90 , △ ADE= z2CDF, 在a\DE和ZCDF中, [ NEAD = NC AD=CD , ZADE=ZCDF △ ADE A CDF (ASA ), z^\E=CF , BE=AF , AB=AC=17 , 國四邊形AEDF = 17sxBC , &^ef=』X5M2=30, 1-169 △ DEF 的面積=~S/abc - S2Aef-「? 昌,i 【點評】本題考查了全等三角形的判定, 考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì), 本題中求證 ZBDEACDG ^\DE AGDF是解題的關(guān)鍵.

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