數(shù)學 第二章 函數(shù) 5 簡單的冪函數(shù) 北師大版必修1

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1、 自變量自變量x常量常量yx 核心必知核心必知 原點原點相等相等相反相反f(x)f(x)y軸軸相等相等奇函數(shù)或偶函數(shù)奇函數(shù)或偶函數(shù)(2)偶函數(shù)：一般地，圖像關(guān)于對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)，在偶函數(shù) f(x)中，f(x)和 f(x)的值，即 f(x)；反之，滿足 f(x)的函數(shù) yf(x)一定是偶函數(shù)(3)奇偶性：當函數(shù) f(x)是時，稱函數(shù)具有奇偶性f(x)f(x) 1具有奇偶性的函數(shù)其定義域有何特點？具有奇偶性的函數(shù)其定義域有何特點？ 2既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)不存在，對嗎？既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)不存在，對嗎？提示：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱，由奇函數(shù)的定義可知f(x)f(x

2、)，故變量x，x均在定義域中，同理，對于偶函數(shù)，由f(x)f(x)可知，x，x也均在定義域內(nèi)提示：不對如函數(shù)y0(xR)，其圖像既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)y0(xR)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 3定義在定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)，f(0)的值是多少？的值是多少？提示：f(0)0. 問題思考問題思考 例 1： 已知冪函數(shù) f(x)(m2m1)xm22m3， 當 x(0，)時為減函數(shù)(1)求函數(shù) yf(x)的解析式；(2)用描點法作出 f(x)的圖像；(3)給出 yf(x)的單調(diào)區(qū)間及其值域，并判斷其奇偶性(2)列表：x21 1201212y181 8 不存在8118作圖：(3)

3、由(2)可知 f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0， )及(， 0)， f(x)的值域為(，0)(0，)，f(x)為奇函數(shù)(1)冪函數(shù)冪函數(shù)y=x要滿足三個特征：要滿足三個特征： 冪冪x的系數(shù)為的系數(shù)為1； 底數(shù)只能是自變量底數(shù)只能是自變量x，指數(shù)是常數(shù)；，指數(shù)是常數(shù)； 項數(shù)只有一項項數(shù)只有一項.只有滿足這三個特征，才是冪函數(shù)只有滿足這三個特征，才是冪函數(shù). (2)冪函數(shù)的圖像可用描點法得到，其性質(zhì)可由圖象得到冪函數(shù)的圖像可用描點法得到，其性質(zhì)可由圖象得到.1(1)若函數(shù) f(x)既是冪函數(shù)又是反比例函數(shù)，則 f(x)_；(2)已知冪函數(shù) yf(x)的圖像過點 (2,4)，則 f(1)_.(3)定義域為

4、2,2，任取 x2,2，則x2,2f(x)0f(x)f(x)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)法一：可知函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，設 x0，則x0，f(x)12(x)2112x21f(x)，設 x0，f(x)12(x)2112x21f(x)，f(x)為奇函數(shù)法二：作出函數(shù) f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù) 判斷函數(shù)的奇偶性常用的方法：判斷函數(shù)的奇偶性常用的方法： (1)定義法：若定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非定義法：若定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若關(guān)于原點對稱，則進一步判斷偶函數(shù)；若關(guān)于原點對稱，則進一

5、步判斷f(x)與與f(x)的關(guān)系，的關(guān)系，注意當解析式中含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論注意當解析式中含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論 (2)圖像法：若函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則此函數(shù)為奇函圖像法：若函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則此函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則此函數(shù)為偶函數(shù)軸對稱，則此函數(shù)為偶函數(shù)2判斷下列函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)(1)f(x)3x2；(2)f(x)x32x；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)x22x3，x0，x22x3，x0.解：(1)函數(shù)的定義域為(，)，關(guān)于原點對稱又f(x)3x23x2f(x)，f(x)3x2是偶函數(shù)；(2)定義域為 R，關(guān)

6、于原點對稱，又 f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)，函數(shù) f(x)是奇函數(shù)；(4)法一：可知函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點對稱當 x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；當 x0 時，x0，x122，x0時此函數(shù)為增函數(shù)，又該時此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)3(陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()Ayx1Byx3Cy1xDyx|x|5函數(shù) yf(x)是偶函數(shù)，且在(，0上為增函數(shù)，則f78 與 f(1)的大小關(guān)系為_解：f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(x)f(x)當 x0 時，x0，f(x)f(x)x(1x)當 x0 時，f(0)f(0)，即 f(0)f(0)，f(0)0.函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)x1x，x0，0，x0，x1x，x0.6若若f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，當上的奇函數(shù)，當x0時，時，f(x)x(1x)，求函數(shù)求函數(shù)f(x)的解析式的解析式