高中數(shù)學(xué) 251《平面幾何中的向量方法》課件 新人教A版必修4

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1、第二章第二章 平面向量平面向量 第五節(jié)第五節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例平面向量應(yīng)用舉例 第一課時(shí)第一課時(shí) 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限，如因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限，如果不能運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)果不能運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些來，因此，利

2、用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題問題例例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩模型如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABCDDBABADACABAD，猜想猜想：長(zhǎng)方形對(duì)角線的：長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？何關(guān)系？類比猜想類比猜想：平行四：平行四邊形有相似關(guān)系嗎？邊形有相似關(guān)系嗎？ABCD分析分析：不妨設(shè)：不妨設(shè)ABa，AD b則則ACab，DBabab|AB|2|a|2， |AD|2|b|2遇到有關(guān)長(zhǎng)度的問題時(shí)

3、，我們遇到有關(guān)長(zhǎng)度的問題時(shí)，我們常常需要考慮向量的數(shù)量積常常需要考慮向量的數(shù)量積ABCD解解：ab|AC|2ACAC(ab)(ab) aaabbabb |a|22ab|b|2 同理同理|BD|2|a|22ab|b|2 所以所以 |AC|2 |BD|22(|a|2|b|2) 2(|AB|2|AD|2) 1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；2) 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；離、夾角等

4、問題；3) 把運(yùn)算結(jié)果把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素成幾何元素用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：可簡(jiǎn)單的表述為：可簡(jiǎn)單的表述為： 形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形 例例2：如圖，：如圖，ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別是分別是AD、 DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別與分別與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：猜想：ARRTTCABCDEFRT解：第一步：解：第一步： 形到向量形到向量 設(shè)則設(shè)則ABa，AD b，ARr，AT t，

5、ACab第二步：第二步： 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 由于由于AR與與AC共線，共線，故設(shè)故設(shè)r = n ( a + b )，nR又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋R與與EB共線，共線，所以設(shè)所以設(shè)ERm EBm ( a b )，12ABCDEFRT因?yàn)橐驗(yàn)锳RAEER，所以所以 r b m ( a b )，1212因此因此 n ( a + b ) b m ( a b )，1212 即即(nm)a ( n + )b0m- -12 由于向量由于向量a，b不共線，不共線，nm0n0m-1213解得：解得：nm ABCDEFRT所以所以AR AC，13同理同理TC AC，13于是于是RT AC，13第三步：第三步： 向量和數(shù)

6、到形向量和數(shù)到形 故故ATRTTC已知：已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中線；的三條中線；求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)證明：如圖證明：如圖AD、BE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)DEABCDEGF易知易知GDEGAB，DEAB12所以，所以，BGBE23CGCB+BGCB+BE23CB+ ( CA- - CB)2312 ( CB+CA)13已知：已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中線；的三條中線；求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)因此因此C、G、F三點(diǎn)在同一直線上三點(diǎn)在同一直線上所以，所以，AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)所以所以CG CF，23 ( CBC

7、A)13即即CG又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃F(CBCA)12ABCDEGF已知已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y2)，B(x1，y2)， C(x1，y2)，則重心，則重心G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OGOA AG OA AD23OA( ABAC )13OA( OBOAOCOA)13OAOBOC3解：設(shè)原點(diǎn)為解：設(shè)原點(diǎn)為O，則，則用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)ABCDEHF證明：設(shè)證明：設(shè)H是高線是高線BE、CF的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，且設(shè)且設(shè)ABa，ACb，AHh，則有則有BHha，CHhb，BCba所以所以( ha )b ( h

8、b )a 0化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 h( ab )0AHBC因?yàn)橐驗(yàn)锽HAC，CHAB所以，三角形三條高線交于一點(diǎn)所以，三角形三條高線交于一點(diǎn)已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1，0)，直線，直線l：y=2x6，點(diǎn)，點(diǎn)R是直線是直線l上的一點(diǎn)，若上的一點(diǎn)，若RA2AP，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程解：設(shè)解：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1) 所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 y2x則則RA(1- -x1，- -y1)，AP(x- -1，y)，由由RAAP得得(1- -x1，- -y1) 2(x- -1，y)，即即x1- -2x+ +3，y1- -2y代入直線代入直線l的方程得的方程得 y2xABC中，中，D、E、F分別是分別是AB、BC、CA的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，BF與與CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，設(shè)，設(shè)ABa，ACb(1) 用用a、b表示向量表示向量AO(2) 證明證明A、O、E三點(diǎn)在同一直線上，且有三點(diǎn)在同一直線上，且有2AOOEBOOFCOOD四邊形四邊形ABCD中，中，ABa，BCb，CDh，DAh，且，且abbccdda，試判斷四邊形，試判斷四邊形ABCD的形狀的形狀參考答案：參考答案：四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形