2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 1.4 充分條件與必要條件 1.4.2 充要條件課后課時精練 新人教A版必修第一冊

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1、1.4.2 充要條件 A級：“四基”鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 1．函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案　A 解析　函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是－＝1，即m＝－2，故選A. 2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分條件． 3．若x，y∈R，則“x

2、≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　因為若x，y∈R，x≤1，y≤1，則x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，則可得x≤1且y≤1，所以必要性成立． 4．已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的． 5．如果A是B的必要不充分條件，B

3、是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　根據(jù)題意列出A，B，C，D的關(guān)系如圖， 顯然有D?C?B?A，即D?A；但A D．故選B. 二、填空題 6．下列命題中是真命題的是________(填序號)． ①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要條件； ②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件； ③“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值恒小于0”的充要條件； ④“三角形的三邊滿足勾股定理”的充要條件是“此三角形為直角三角

4、形”． 答案　②④ 解析?、僖驗橛蓌>2且y>3?x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要條件．②因為由x>1?|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件．③因為由b2－4ac<0不能推出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值恒小于0，而由y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值恒小于0?b2－4ac<0，所以“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值恒小于0”的必要不充分條件．④由三角形的三邊滿足勾股定理?此三角形為直角三角形，由三角形為直角三角形?該三角形的三邊滿

5、足勾股定理，故②④是真命題． 7．“－2

6、＝0無實根．故“方程x2－2x－a＝0無實根”的充要條件是a<－1. 三、解答題 9．證明：ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0. 證明　①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0， 即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0. ∴ax2＋bx＋c＝0有一根為1. ②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0. 綜上可知，ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0. 10．已知p：0

7、么條件？ 解　設(shè)x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的兩個根，則方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實數(shù)根等價于 因此，p是q的充要條件． B級：“四能”提升訓(xùn)練 1．求方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個公共實根的充要條件． 解　? ?? 所以兩方程有一公共實根的充要條件為k＝－2. 2．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0. 證明?、俪浞中裕喝绻鹸y≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況， 當(dāng)xy＝0時，不妨設(shè)x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 當(dāng)xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0時． 又當(dāng)x>0，y>0時， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 當(dāng)x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)， ∴等式成立． 總之，當(dāng)xy≥0時， |x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得 |x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 綜上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件． - 4 -