2019-2020學年新教材高中數學 第2章 一元二次函數、方程和不等式 2.2 基本不等式課后課時精練 新人教A版必修第一冊

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1、2.2 基本不等式 A級：“四基”鞏固訓練 一、選擇題 1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等號成立的條件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 答案　C 解析　由基本不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 2．若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 答案　D 解析　根據條件，當a，b均小于0時，B，C不成立；當a＝b時，A不成立；因為ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立． 3．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列

2、各式恒成立的是(　　) A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ 答案　B 解析　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤，∴ab≤.∴≥4.故A不正確，C也不正確． 對于選項D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D不正確． 對于選項B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，當且僅當a＝b＝時，等號成立．故選B. 4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 則x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案　B 解析　解法一：∵x＋2y＋2

3、xy＝8，∴y＝>0.∴0

4、2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 二、填空題 6．已知a＞b＞c，則與的大小關系是________． 答案　≤ 解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0. ∴＝≥，當且僅當a－b＝b－c，即2b＝a＋c時取等號． 7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，則＋的最小值為________． 答案　 解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3， ∴＋＝(a＋2b)×＝ ≥＋ ＝， 當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號， ∴＋的最小值為. 故答案為. 8．如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上取一塊矩形材料AB

5、CD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為________(單位：cm2)． 答案　16 解析　如圖所示，連接OC，設OB＝x(0

6、． ∵x＋y＋z＋2(＋＋)≤3， 即(＋＋)2≤3. ∴＋＋≤. 當且僅當x＝y(tǒng)＝z＝時，等號成立． 10．某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同學，老師打算組織同學們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學，每次的包車費均為40元．若使每名同學游8次，每人最少應交多少元錢？ 解　設買x張游泳卡，總開支為y元，則每批去x名同學，共需去批，總開支又分為：①買卡所需費用240x，②包車所需費用×40. ∴y＝240x＋×40(0

7、3840， 當且僅當x＝，即x＝8時取等號．故每人最少應交＝80(元)． B級：“四能”提升訓練 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 證明　(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. (2)證法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴ ＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9. 證法二：＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，當且僅當a＝b＝時，等號成立． 2．某產品原來的成本為1000元/件，售價為1200

8、元/件，年銷售量為1萬件，由于市場飽和，顧客要求提高，公司計劃投入資金進行產品升級．據市場調查，若投入x萬元，每件產品的成本將降低元，在售價不變的情況下，年銷售量將減少萬件，按上述方式進行產品升級和銷售，扣除產品升級資金后的純利潤記為z(單位：萬元)．(純利潤＝每件的利潤×年銷售量－投入的成本) (1)求z的函數解析式； (2)求z的最大值，以及z取得最大值時x的值． 解　(1)依題意，產品升級后，每件產品的成本為元，每件產品的利潤為元，年銷售量為萬件， 故z＝－x＝198.5－－. (2)z＝198.5－－≤198.5－2× ＝178.5， 當且僅當＝，即x＝40時取到等號，即z的最大值是178.5，當z取得最大值時x的值為40. - 6 -