2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 單元質(zhì)量測評 新人教A版必修第一冊

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1、第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 單元質(zhì)量測評 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列語句是命題的是(　　) A．2x2＋3x－1>0 B．比較兩數(shù)大小 C．?dāng)]起袖子加油干！ D．cos45°＝ 答案　D 解析　A項不能判斷真假，不是命題；B，C兩項不是陳述句，不是命題；D項是命題． 2．下面所給三個命題中真命題的個數(shù)是(　　) ①若ac2>bc2，則a>b； ②若四邊形的對角互

2、補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形； ③若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析?、僭撁}為真命題，由ac2>bc2，得c2>0，則有a>b.②該命題為真命題，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的定義可進行判定．③該命題為假命題，因為當(dāng)b2－4ac<0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，因此二次函數(shù)的圖象與x軸無公共點．綜上所述，故選C. 3．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．?x∈R，|x|＋x2<0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0 C．?x∈R，|x|＋x

3、2<0 D．?x∈R，|x|＋x2≥0 答案　C 解析　“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“?x∈R，|x|＋x2<0”． 4．已知x1，x2∈R，則“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　由x1＞1且x2＞1得x1＋x2＞1＋1＝2，x1x2＞1×1＝1，所以“x1＞1且x2＞1”是“x1＋x2＞2且x1x2＞1”的充分條件；設(shè)x1＝3，x2＝，則x1＋x2＝＞2且x1x2＝＞1，但x2＜1，所以不滿足必要性．故選A. 5．下列命題中，真命題有

4、(　　) ①mx2＋2x－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程；②拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案　A 解析　對于①來說，當(dāng)m＝0時，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程；對于②來說，拋物線y＝ax2＋2x－1對應(yīng)的一元二次方程的判別式Δ＝4＋4a，當(dāng)a<－1時，方程無實數(shù)根，此時拋物線與x軸無交點；③正確，A?B，B?A?A＝B；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故④錯誤． 6．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的(　　) A．充分不必要

5、條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　a2＋(b－1)2＝0?a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0?a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要條件． 7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．6 C．8 D．10 答案　D 解析　當(dāng)x＝5時，y＝1,2,3,4；當(dāng)x＝4時，y＝1,2,3；當(dāng)x＝3時，y＝1,2；當(dāng)x＝2時，y＝1，共10個．故選D. 8．在下列命題中，真命題的個數(shù)是(　　)

6、①?x∈R，x2＋x＋3>0； ②?x∈Q，x2＋1是有理數(shù)； ③關(guān)于x的方程x2＋|x|－6＝0有四個實數(shù)根； ④?x，y∈Z,3x－2y＝10. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?、僦?，x2＋x＋3＝2＋>0，故①是真命題；②中，∵x∈Q，∴x2＋1是有理數(shù)，故②是真命題；③中，由x2＋|x|－6＝0，得|x|＝2，∴x＝±2，方程有兩個實數(shù)根，故③是假命題；④中，當(dāng)x＝4，y＝1時，結(jié)論成立，故④是真命題．由以上可知，正確選項為C. 9．給出下列四個命題： ①設(shè)集合X＝{x|x>－1}，則{0}∈X； ②空集是任何集合的真子集； ③集合A＝

7、{y|y＝}，B＝{x|y＝}表示同一集合； ④集合P＝{a，b}，集合Q＝{b，a}，則P＝Q. 其中正確的命題是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．④ 答案　D 解析?、僦衶0}與X均表示集合，不能用∈來表示集合與集合之間的關(guān)系，①不正確；②中空集是任何非空集合的真子集，②不正確；③中A＝{y|y≥0}，B＝{x|x≥1或x≤－1}，故不是同一集合，③不正確；④中根據(jù)集合中元素的無序性知④正確．故選D. 10．下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是(　　) A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的兩條對角線相等 C．?

8、x∈R，＝x D．正方形是矩形 答案　D 解析　A中的命題是全稱量詞命題，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命題；B中的命題是全稱量詞命題，但是假命題；C中的命題是全稱量詞命題，但＝|x|，故是假命題；D中的命題是全稱量詞命題且是真命題，故選D. 11．設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的(　　) A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 答案　C 解析　 若存在集合C使得A?C，B??UC，則可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由Venn圖可知，

9、存在A＝C，同時滿足A?C，B??UC.故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件． 12．已知△ABC的邊長為a，b，c，定義它的等腰判別式為D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，則“D＝0”是“△ABC為等腰三角形”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　充分性：若“D＝0”，設(shè)c≥b≥a，則D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，∴a＝b或b＝c， 則△ABC一定為等腰三角形，所

10、以充分性成立． 必要性：若△ABC為等腰三角形，設(shè)a＝b，當(dāng)c≠a時，則b－c與c－a中必然有一個為最大值，另一個為最小值，則D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；當(dāng)c＝a時，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故選C. 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上) 13．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的《相思》詩，在這四句詩中，可作為命題的是________________． 答案　紅豆生南國 解析　“紅豆生南國”是陳述句，意思是“紅豆生長在中國南方”，這在唐代是事實，故本語句是命題，且是真命

11、題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題． 14．設(shè)x∈R，則“x>1”是“x3>1”的________條件． 答案　充要 解析　因為x∈R，“x>1”?“x3>1”，所以“x>1”是“x3>1”的充要條件． 15．命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，則命題綈p為________________． 答案　?x∈R，x2＋x＋1＝0 解析　命題p是全稱量詞命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是改量詞，否結(jié)論，則是?x∈R，x2＋x＋1＝0. 16．由命題“?x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命題，求得實數(shù)m的取值范圍是m>a，則實數(shù)a＝_____

12、___. 答案　1 解析　因為命題“?x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命題，所以其否定“?x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命題，等價于方程x2＋2x＋m＝0無實根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因為m的取值范圍是(a，＋∞)，所以實數(shù)a＝1. 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)寫出下列命題的否定，并判斷真假． (1)p1：?x∈R，x2－x＋1≤0； (2)p2：所有的菱形都是平行四邊形； (3)p3：有的梯形是等腰梯形； (4)p4：任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3； (5)p5：有一個素數(shù)含三

13、個正因數(shù)． 解　(1)綈p1：?x∈R，x2－x＋1>0；真命題． (2)綈p2：存在一個菱形，它不是平行四邊形；假命題． (3)綈p3：所有的梯形都不是等腰梯形；假命題． (4)綈p4：存在x∈Z，使x2的個位數(shù)字等于3；假命題． (5)綈p5：所有的素數(shù)都不含三個正因數(shù)；真命題． 18．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?. (1)若“命題p：?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍； (2)若“命題q：?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍． 解　(1)∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2

14、m－1}，且B≠?，“命題p：?x∈B，x∈A”是真命題， ∴B?A，B≠?，∴ 解得2≤m≤3. (2)q為真，則A∩B≠?. ∵B≠?，∴m≥2， ∴∴2≤m≤4. 19．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|－1

15、是p的必要不充分條件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4. 20．(本小題滿分12分)求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0的實數(shù)根中有且只有一個負(fù)實數(shù)根的充要條件． 解　若方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負(fù)實數(shù)根，則：當(dāng)a＝0時，x＝－，符合題意． 當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)根，則Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 當(dāng)a＝1時，方程有且僅有一個負(fù)實數(shù)根x＝－1， 當(dāng)a<1且a≠0時，若方程有且僅有一個負(fù)實數(shù)根，則<0，即a<0.又以上過程均可逆， 所以方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負(fù)實數(shù)根”的充要條件為“a≤0或a＝1”． 21．(本小題滿分1

16、2分)設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 證明　必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ， 則?ξ＝＝. ∴2＋2c·－b2＝0?a2＝b2＋c2， ∴∠A＝90°. 充分性：若∠A＝90°，則a2＝b2＋c2，解方程x2＋2ax＋b2＝0得x＝＝－a±c，解方程x2＋2cx－b2＝0得x＝＝－c±a，得x0＝－a－c是方程的公共根． 綜上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 22．(本小題滿分12分)已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求這兩個方程的根均為整數(shù)的充要條件． 解　∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0. 又另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且兩方程都有實根， ∴ 解得－≤m≤1. ∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也是整數(shù)， ∴∴m為4的約數(shù)． 又－≤m≤1，m≠0，m∈Z，∴m＝－1或1. 當(dāng)m＝－1時，第一個方程x2＋4x－4＝0的根不是整數(shù)； 當(dāng)m＝1時，兩方程的根均為整數(shù)．又以上過程均可逆，∴這兩個方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1. - 7 -