7、2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
答案 B
解析 根據題意，設第n年開始超過200萬元，則130×(1＋12%)n－2020>200，化簡為(n－2020)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，則n－2020>≈3.8，n≥2024.故選B．
11．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
答案 C
解析 ∵log23.4>log22＝1，log43.6b；c＝>1>b，而log23.4>log2>lo
8、g3，∴a>c，故a>c>B．故選C．
12．若f(x)＝是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為( )
A．(1，＋∞) B．(4,8)
C．[4,8) D．(1,8)
答案 C
解析 ∵函數f(x)是R上的單調遞增函數，
∴解得4≤a<8.
故實數a的取值范圍為[4,8)．
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實數根時，取中點x1＝3，則下一個有根區(qū)間是________．
答案 (2,3)
解析 設f(x)＝x3－2x－5，則f(2)＜
9、0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，則下一個有根區(qū)間是(2,3)．
14．已知125x＝12.5y＝1000，則＝________.
答案
解析 因為125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，
＝－＝log1000125－log100012.5＝log1000＝log100010＝.
15．細菌繁殖時，細菌數隨時間成倍增長．若實驗開始時有300個細菌，以后的細菌數如下表所示．
據此表可推測實驗開始前2 h的細菌數為________個．
答案 75
解析 由表中數據觀察可得細菌數y與時間x的函數關系式為y＝
10、300×2x(x∈Z)．當x＝－2時，y＝300×2－2＝＝75.
16．給出函數f(x)＝則f(log23)＝________.
答案
解析 ∵log23<2，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋1＋1)＝f(log23＋1＋1＋1)＝f(log224)．
∵log224>4，∴f(log224)＝log224＝.
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)計算下列各式的值：
(1)－0＋－0.5＋ ；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原
11、式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
18．(本小題滿分12分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2,4]．
(1)設t＝logx，x∈[2,4]，求t的最大值與最小值；
(2)求f(x)的值域．
解 (1)因為函數t＝logx在[2,4]上單調遞減，所以tmax＝log2＝－1，tmin＝log4＝－2.
(2)令t＝logx，則g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]，因此當t＝－2，
12、即x＝4時，f(x)max＝12；當t＝－1，即x＝2時，f(x)min＝7.
因此，函數f(x)的值域為[7,12]．
19．(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x>0時，f(x)＝logx.
(1)求x<0時，函數f(x)的解析式；
(2)若f(x)≤1，求實數x的取值范圍．
解 (1)設x<0，則－x>0，從而f(－x)＝log (－x)．
∵f(x)是奇函數，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log (－x)．
即x<0時，f(x)的解析式為f(x)＝－log (－x)．
當x>0時，由f(x)≤1得logx≤1，解得x≥；
當x＝0時，f(x)
13、≤1顯然成立；
當x<0時，由f(x)≤1得－log (－x)≤1，
解得－2≤x<0.
綜上可知，x的取值范圍為－2≤x≤0或x≥.
20．(本小題滿分12分)某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經搶修，排氣扇恢復正常．排氣4 min后，測得車庫內的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續(xù)排氣4 min，又測得濃度為32 ppm，經檢測知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(min)存在函數關系：y＝cmt(c，m為常數)．
(1)求c，m的值；
(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧
14、化碳含量才能達到正常狀態(tài)？
解 (1)由題意，可得方程組
解得
所以至少排氣32 min，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)．
21．(本小題滿分12分)某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．
(1)寫出服藥后y與t之間的函數關系式y(tǒng)＝f(t)；
(2)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時藥物對治療疾病有效．求服藥一次治療疾病的有效時間．
解 (1)當t∈[0,1]時，函數的解析式為y＝kt，
將M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又當t
15、∈(1，＋∞)時，函數的解析式為y＝t－a，
將點(3,1)代入得a＝3.
∴y＝t－3.
綜上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服藥一次治療疾病的有效時間為
5－＝個小時．
22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝lg .
(1)求證：f(x)是奇函數；
(2)求證：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
解 (1)證明：由函數f(x)＝lg ，可得＞0，即＜0，解得－1＜x＜1，故函數的定義域為(－1,1)，關于原點對稱．再根據f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，可得f(x)是奇函數．
(2)證明：f(x)＋f(y)＝lg ＋lg ＝lg ，
而f＝lg
＝lg ＝lg ，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)若f＝1，f＝2，
則由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.
- 10 -
2019-2020學年新教材高中數學 第4章 指數函數與對數函數 單元質量測評 新人教A版必修第一冊
