專題2.5 圓錐曲線 （解析版）.docx

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1、專題2.5錐曲線 題組一、圓錐曲線中的直線問題1、（2022?江蘇南京市高淳高級中學(xué)高三10月月考）如圖，在平面直角坐標系尤Qy中，橢圓E： ^ + p- = l（€Z>Z?>0）的離心率為奪，上頂點A到右焦點的距離為.過點研o,m） （m"0）作不垂直 于尤軸，y軸的直線/,交橢圓E于P, Q兩點，C為線段PQ的中點，且AC1OC. D （1） 求橢圓E的方程; (2) 求實數(shù)秫的取值范圍; S 8(3) (3) 延長AC交橢圓E于點3,記破與AAOC的面積分別為52,若矽=§，求直線/的方程. 【解析】 【分析】（1）由橢圓的離心率可得q = J赤

2、，由上頂點A到右焦點的距離為扼可得。值，從而可求得橢圓方程; ?= (1 -2m) (2/71 -2),由 x()2>0 即可求得 m （2）利用點差法及直線垂直的關(guān)系，即可求得此=2”- 1, &的取值范圍; 4xoyo⑶設(shè)3點坐標，代入橢圓方程，根據(jù)直線的斜率公式即可求得根據(jù)三角形的面積公式, 即可求得m的值，從而可得直線AB的方程;【詳解】（1）由橢圓的離心率e 【詳解】（1）由橢圓的離心率e ,則由上頂點A到右焦點的距離為J萬, a 2 r2即。逐，"* = 1,則橢圓的標準方程：疽喜1； /4、 3 1+ ~~2 \好+T 2+3好 40儂2

3、+1)4(號+ 2) 16寸(號+ 2) 16壽 號+ 2 ]6也 所以 \AB[\EF\2= 2 + 3 好?妙+1 因為厚仁[0, +00),所以\AB[\EF^,1 綜上，\AB[\EF^，1 N = 1（q〉5〉0）上，點刀在第一象限, 1- 3、（2022 ?江蘇如皋中學(xué)高三10月月考）己知點4 8在橢圓% +CC 。為坐標原點，且OA±AB. （1）若a = Rb = \,直線04的方程為工―3y = 0,求直線QB的斜率; （2）若△Q4B是等腰三角形（點。，A, 8按順時針排列），求° 最大值. a 【解析】r2 ⑴由得橢圓方

4、程為亍牛. 9 x~ 21 耳r，得， x-3y = 0, [3 尤=— 2 I y = 一 I 2 或， 3 x=-p 1 y = 一一? 2 (3 1) 因為點刀在第一象限，所以A . <2 2/ XOAA.AB, XOAA.AB, 所以直線方程為y—5 = —3 所以直線方程為y—5 = —3 3) x — 2J A B x 『+寸=1,得. 3x + y — 5 = 0, 『+寸=1,得. 3x + y — 5 = 0, 12 1或< ^12 7> 1 所以直線OB的斜率為加g =-j^- = - —?T

5、 （2）法1：設(shè)直線Q4的斜率為k（k>0）,則直線AB的斜率為-L. k因為△OAB是等腰直角三角形（點O, A, 8按順時針排列）， 所以設(shè)24（工］,凹）,8（花,、2），（茶>°，乂 >°，茶 <花）. 又OA = AB,所以+ * 得 M = 所以y{ =x2-x},即氣=羽+ Vi?又由。曲AB,得*xW = T所以力FF 22=1上, =1上, 因為點人（氣，乂），3（工1+乂，乂 一為）在橢圓； cT b」22 旦+ J / b2 ， （M + yj2 +（乂—而）2 22 旦+ J / b2 ， （M + yj2 +（乂—而）2

6、 a2 b2 =1, k _ （玉 +M）2 （乂一叫）2 十屏 +^F- h2 整理得屏 2 _2（疽_屏 所以△ = 4—人2 ） — 4。％2 0 ,即（疽 _ 屏 + 瀝）（口2 —屏 _ 瀝）..0 . 因為疽項+汕〉。,（A A2b H1” 0， a 所以疽—屏_。如0,艮|J -"當 k=^=- 當 k=^=- d=P=T時,'取最大值婦 2b2 法2：設(shè)直線Q4的斜率為k（k>0）,傾斜角為6>（0°<6?<90°）. 因為是等腰直角三角形（點O, A, 8按順時針排列），且OA1AB,所以直線QB的斜率為灼=tan （。-

7、 45。）或kOB = tan （。+135。）. 設(shè)A（m，m）, 8（花況），3>。雙>。,茶〈工2）. 由〈土得"? [a2 b2由〈 k-\y =x, 1 +上X2尸 信 屏+疽 a2b22Z?2(1 + C)2+q2(i 一幻2 怎—1V 又OB = ^iOA，所以2OA2 = OB2,得2(1 + V)x12 = (k — 1a2b2(l + k)2 + k) b2(l + k)2+a2(k-l)2 ?整理得以2 +2（屏一疽）# +。2 = 0, 所以△ = 4 (屏—/ )2 — 4以2.. 0

8、,即("—屏)2 _ a2b2 ° , 所以(q~ — Z?~ + ?/?) (q~ — b~ — cib^.. 0. 因 ^Ja2-b2+ah>0, < a>2 b 所以a2-b2-ab..O,即- 所嶺旦當陣一蘭*書?平時，5取最大值斜 題組三、圓錐曲線中的定點、定值問題 2- k (2022 -南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xQy中，橢圓C： /+/?2=1(。＞/?＞0)的左，右頂點分別為A, B.尸是橢圓的右焦點，AF =3而 AF ? FB=3. (1) 求橢圓C的方程；不過點刀的直線/交橢圓。于A/, N兩點，記直線/, AM, 4V的斜率分別

9、為奴k\, k2.若A(婦+句=1, 證明直線/過定點，并求出定點的坐標. 【考點】圓錐曲線中橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系：定點問題 【解析】由題意，知 A(-a, 0), B(q, 0), F(c, 0). 因為石 =3而，無?聲=3, q+c=3(q—c),所以i(o+c)(Q —c)=3, 2 分 Q 2解得c=\,從而朋=。2 —《2 = 3. 22X_ ? 所以橢圓C的方程4 + 3 = 1.4分設(shè)直線/的方程為y=kx+m, M(xi9 yi), Ng 貝). 因為直線/不過點4 因此一2《+初頭0. (22由＜ 4 + 3—I，得(3+4|2)：+8饑

10、乂+4秫2_]2=o. y=k-\-m,— 8km 4m2—12 則xi+x2 = 3+* xi*2= 3+4? ? 6 分.I .22 如 X2 + (2k+m)(xi+x2)+4〃i 所以 &1+*2=X]+2+x2 + 2=X\X2 + 2(X1 +X2)+ 4 4〃話一12—8km 2必 3+法 +(2t+m)?3+4〃+4m= 4矛一12—8/an 3+4? +2?+4?+4 12（m—2 幻3=4（初2_4饑7+4必）=〃7_2人 由 *（肌+比2）=1,可得 3*=m—2七 BP m — 5k. 10 分故/的方程為y=kx+5k,恒過定點（一5, 0）. 12分

11、 22 3-2、（2022 ?江蘇如皋期初考試）已知雙曲線「：二-土 = 1（q>0,/?>0）的焦距為4,直線/：x —my-4 = 0 a b （meR ）與「交于兩個不同的點。、E,且m = O時直線/與「的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形. （1）求雙曲線「的方程；（2分）（2）若坐標原點。在以線段OE為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)〃2的取值范圍；（4分） （3）設(shè)A、B分別是「的左、右兩頂點，線段的垂直平分線交直線于點P,交直線AO于點Q,求證：線段PQ在工軸上的射影長為定值.（6分） 【考點】雙曲線的綜合應(yīng)用：求標準方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系應(yīng)用【解析】 （1）當

12、m = O直線l:x = 4與C的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得，A21 % = tan2 3（r=k又焦距為4,則疽+屏=4,a23 2解得Q = g, b = l,貝IJ所求雙曲線「的方程為￡ 一 ）,2=1. 3匚2=1 （2）設(shè) ￡>（知乂），頊尤2況），由 < 3 ' ，得（m2-3）j2+8m^ + 13 = 0,x-my-4 = 0 13則 乂 +力=，乂力= 一，且△ = 64如2-52（秫2一3） = 12（"廣 + 13）>。， 3 _ m~m~ _ 3又坐標原點。在以線段DE為直徑的圓內(nèi)，則ODOE<0^即+<0, 即g + 4）

13、0力+ 4） +泌v 0 ,即4次凹+ %）+ （冰+ 1）凹力+16 v 0 ,血 13〃廠+138m~ 八 nn —3m~ —35 八 麗 k -f* rr 貝U z+ 16v0, 即<0 , 貝IJ3 vm 或〃z<-j3 , 〃廠 一3_3_3即實數(shù)〃，的取值范圍m e （-8,-右,）U （右,+8）? （3）線段戶。在尤軸上的射影長是|?設(shè)Q（%Vo），由（1）得點B（V3,0）,又點P是線段8D的中點，則點p（血號）， 直線的斜率為一 ，直線A。的斜率為一土房，又BD上PQ ,x0 — a/3x0 +v3 則直線PQ的方程為y-21 =足近3-山1）,即 > =吏二虻+

14、 土 + 4,%2見 2%2 又直線AQ的方程為尸;3 +構(gòu)，聯(lián)立方程， 右_工0工|工（）2_3 | y° %2y°2 a/3 +氣 z 々 zz? 消去y化簡整理，得（右-x°M+五「+站=旦％（尤+右），又％2=泣_1,22Xo+\/33 代入消去虹，得（右-尤0）工+ 2（"' =&（尤0-后）（工+右）,即 _x+200+右）=』 右則 x=2x°+0, 2 34即點。的橫坐標為*則|七-劃=血*-勁* =￥ 4244故線段PQ在工軸上的射影長為定值. 3-3. [2022-廣東省廣州市10月調(diào)研】己知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為/?點A（2,y°）在

15、。上，|AF|=2 . （1）求P; （2）過g作兩條互相垂直的直線ZP/2,，與C交于M,N兩點，￡與直線y = -i交于點P，判斷ZPMN + ZPNM是否為定值?若是，求出其值；若不是，說明理由. 7T 【答案】（1），= 2； （2）是定值，ZPMN + ZPNM =-. 2 【解析】 【分析】（1）由題知4 = 2py° 口,由焦半徑公式得\AF\ = 2 = y.+^ □,兩式聯(lián)立即可求得答案； （2）先討論當直線?與%軸平行時得ZPMN + ZPNM =-,再討論當直線，與工軸不平行且斜率存在時,證明PM A.PN ,再設(shè)方程，聯(lián)立方程，禾ij用向量方法求痛.前=o

16、即可. 【詳解】解:（1）因為點A（2,%）在。上，所以4 = 2〃％ □，因為俱日=2,所以由焦半徑公式得|Ag| = 2 = y°+f □, 由□□解得％ = 1,〃 = 2所以P = 2. （2）由（1）知拋物線的方程為r=4y,焦點坐標為F（O,1）,當直線4與X軸平行時，此時，2的方程為工=0，，的方程為y = l，M（—2,1）,7V（2,1）,P（O,—1）,此時 71△初VP為等腰直角三角形且PM JLPN ,故ZPMN + ZPNM =-. 27T 當直線4與x軸不平行且斜率存在時，若ZPMN + ZPNM為定值，則定值比為一，下面證明. 271 要證明匕PMN

17、 +匕PNM =一,只需證明PM A_PN ,2 只需證pm _LPN^ 即 PM PN = O9設(shè)直線，的斜率為k,則直線4的方程為:^ =奴+ 1,直線￡的方程為y = -Lx + l, k聯(lián)立方程｛\_4 得工2-4奴一 4 = 0，設(shè)肱3，，1）,2（工2，，2）， 則X]+工2 =4^*2 =—4,所以 乂力=（*“2）=], 乂+夕2 =*（工1+易）+ 2 = 4摩+2 ,~16 1 [y — — x +1/ ,、 聯(lián)立方程—>所以皿=0_2奴乂+1）,戶' =32_2化％+1）， 所以 ?-/W = （^1-2^）（x2-2

18、^） + （ji+1）（^2+1）=而尤2 — 2k（M + 花）+4k~ + 乂，2 + （ 乂 + %） +1 = -4—8砂 + 4亍 + ]+4比之 +2+1 = 0, 所以 PM ± PN，即 PM J- PN ,71 所以 ZPMN + ZPNM =-. 271 綜上，ZPMN + ZPNM 為定值，ZPMN + ZPNM =-. 2題組四、圓錐曲線中的探索性問題 3- k （2022 ?武漢部分學(xué)校9月起點質(zhì)量檢測）（12分）x2 y2也 己知橢圓E： /+朋=1(。＞方＞0)的離心率為2，點刀(0，—1)是橢圓8短軸的一個四等分點. (1) 求橢圓E的標準方程；

19、設(shè)過點A且斜率為k\的動直線與橢圓E交于M, N兩點，且點B(0, 2),直線BM, BN分別交OC： ?2x+(y—1)=1于異于點8的點P, 0 設(shè)直線的斜率為昭，求實數(shù)刀 使得比2=Mi恒成立. 【考點】圓錐曲線中橢圓的標準方程、橢圓與直線的位置關(guān)系：與斜率相關(guān)的恒成立問題 【解析】人_(_1) (1) 由題意，(—1)—(—3)=3,解得 b=2,c a/2 音 19 設(shè)橢圓半焦距為c,貝場=2，即1—決=公解得。~ = 8. 22 X V .??橢圓的標準方程為錄+ 4 = 1.4分設(shè)M(xi, /), Ng 貝)，P(xp, yP), 0知，網(wǎng))，直線肋V方程為y=S

20、x—l. 方法一： "—222…直線方程為y= X] x+2,與x +(y—1) =1聯(lián)立. 22 2得(xi +(yi—2) )x +2xi(yi—2)x=0. _2xi(yi~~2)由E0,解得為=也2+3]_2)2? xi2 y\2_2xi(yi_2) 2為又百+4=1,即x/ = 8—2乃2,代入上式，得樣=2(4-仍+⑴一?)?，+，? 力一216yp= x\ x〃+2=4—y]+6. 2為 162*216即點F偵]+6，4 —*]+6), 同理'點Q(y2 + 6? 4 一貝 + 6)? 16＜16 ) 必一VO 4~yi + ]6_(4—^+]6)8(yi —^

21、2)*2 —Xp_XQ _2']2x2=X\y2_X2P1 +6xi_6x2. *1 + 6 —火 + 6將yi=*ixi —1, yi=k\X2— 1 代入上式, %(xi—乂2) 8比 i(x[—.2)得 =Xl(k\X2 — 1) —X2(k\X\ — 1) + 6(x1 —X2)= 5(X1—X2). 7 8即 k2=~sk\, /.2=5，.12 分 方法二： 〃4^ir2『X1+X2 = 2^ 2_ 』22

22、—33(xi +%2)kBM~\~kBN= Xi + X2 = X2 ==2*1 — X1X2 =44]? y\—2y2—2 (kixi — 3)(《iX2—3) k\2x\X2~3ki(x\ +%2)+ 9 kBMkBN= Xi ? X2 = Xl%2=%1%2—6岸一12 婦 2 + 9(2妒+1)3 == -2. 2222設(shè)直線 P。方程為y=A：2x+，，與x +(y— 1) =1 聯(lián)立得：的 +l)x +2比2。一 l)x+r(L2)=0. 〃—2偵，一1) Xp~\~XQ 一1則

23、(xp+x。) kBP~\~ kBQ= 樣 + X。= xp + xo =2暇+ xpXQ2&2(Z—2)(，一 1) 2七 =2k2 -仃_2)=~ yp—2yQ—2 (左2樣+，—2)(上2工。+，一2) k^xpXQ-\~k2(t—2)(xq+xq) + (，一 2)。 kBpkBQ= xp ? XQ =XpXQ=XpXQ k^t(t—2) — 2k《(t—2)(/— 1) + (幻2 +1)(7—2尸 k；t—2k《(t— 1) ++1)。一2) t—2=t(t_2)=i=~T. 〃2^2 r 4 kBM~\~kBN= kBp + kBQ< 牧一fI t=5由、/mkBN=

24、kapkBQ，即 3 t_2,解得 8 ? ^-2=~T修2=孫 8 A2=5.12 分4-2、 4-2、 （202b深圳市龍崗區(qū)平岡中學(xué)高三月考）在平面直角坐標系尤Qy中，已知橢圓C: —y += 1(Q >/?〉()) 的右頂點為A(2,0),且其兩個焦點與短軸頂點相連形成的四邊形為正方形.過點T(r,0)(-2

25、 (2)存在，t = ；, 0. 3 23 【分析】 (1) 由題可得。=2, b = c,結(jié)合a2 =Z?2+c2可求； (2) 可得AM2-^ = AP AQ,設(shè)出直線FQ方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理表示出麗?禎，可得4 后.禎/一2岬-2),即可得出定值. /?r + 2 【詳解】 (1) .由題意可知，。=2,且b = c,又因為屏=屏+《2 ,解得b = c =也， 所以橢圓C的方程為—+=42 2 (2) .因為M是PQ的中點，故AM? 一號_ =出諾2一心戶2=(而訂+祐).(禎一祐)=后.血，由題意可知，直線PQ的斜率不為0,設(shè)PQ：x = "y + 4

26、m￡R,，c(-2,2)) f 22% + 匕=1 與橢圓C的方程聯(lián)立，42 ~ ,消去X,整理得(麻+2”2+2〃舟，+產(chǎn)_4 = 0,x = my-\-t 設(shè)戶(知乂)，Q(花,力)，乂 +力=一y況=壬§’m +2m +1 因為 A(2,0),所以后=(而 一2涵)=(咐］+s2,yj , AQ = (my2+t-29y2),則 AP AQ = (my{ +/-2)(my2+r-2)+= (/?r 4-l)y^2+ m(/-2)(y1 + ^2) + (/-2)2, 將"y-半?，壯=與代入上式，整理得而.禎=(一2?(3；2),m~+2m +2〃廣+2 2若對任意meR

27、, AP?AQ為定值，貝\\t = 2或/ = §， （2）由 A（O,1）,設(shè)尸（“1）,。（易見），。（劣0，%），且M更花，由p, Q在橢圓上， Xj2 + 2yf = 2 ,尤；+ 2y； = 2 , 2x0=x} +x2 , 2% = 乂 + 力， 兩式相減得：號咔=-! 兩式相減得：號咔=-! ,由 q = Q x2 一 玉 x0 則乂逃二—號，整理得：Xg =2y0（m-y0）, *o *0 Z 則乂逃二—號，整理得：Xg =2y0（m-y0）, *o *0 Z 由 AC-LOC,則業(yè)二 x4 = —1,整理得：蚌=%（1 —y°）, □ 玉） 玉

28、） 由□□解得：允=2秫一1,=（l-2m）（2m-2）＞0,解得: -

29、 3-2m S2 4 3-2m 由￥=?，即解得：m=r S2 33-2/7? 34 此時 = 2m-1 = — ,=（l-2m）（2m-2）=—,解得：x0 = ±—, （1 1） r 3） ± —,— ,D o,_ I 2 2 J I 4 J 此時c點坐標 因為偵-2,2),所以f = |，此時網(wǎng)2-(= AP?AQ = O? 口直線方程為 > =上尤+ 2或）=_1尤+。. 24241-2. [2022-廣東省深圳市外國語學(xué)校第一次月考10月】已知橢圓C的中心為坐標原點，且以直線 x + my-y/2 =0 （mUR）所過的定點

30、為一個焦點，過右焦點凡且與x軸垂直的直線被橢圓。截得的線段長為2. （1）求橢圓C的標準方程；. （1）設(shè)點4 3分別是橢圓C的左、右頂點，P,。分別是橢圓C和圓?！醣? y2=2上的動點（P, Q位于〉軸兩側(cè)），且直線與工軸平行，直線0P, 8尸分別與y軸交于不同的兩點N,求證口。"與0V 所在的直線互相垂直. 【答案】(1) 22土 +匕=1； （2）證明見解析. 42【解析】 【分析】(1) 根據(jù)題意，得到a2-b2= 2和坦 =2,聯(lián)立方程組，求得。/的值，即可求解; a（2）設(shè)P（x°,y°）,0知y°）,得到直線AP,BP的方程,求得M（0,生）和N（0,二坐），

31、得到 玉）十Z玉）_ Z 亟=（F'—景）和或=E一浩）’結(jié)合向量的數(shù)量積，即可求解?【詳解】（1）由題意，直線a: + my - V2 = 0過定點（即橢圓。的一個焦點為（扼,0）, 22設(shè)橢圓C:與+與=1（胃〉1〉0）,則/_屏=2, a b~因為過右焦點凡且與x軸垂直的直線被橢圓。截得的線段長為2,可得坦 =2,即屏=q, a聯(lián)立方程組，可得Q = 2,bK， 22所以橢圓。的方程為土 +匕=1. 4222 (2)由(1) ^0 — + ^—= 1,可得 A(—2,0),8(2,0),42

32、 22設(shè)尸(劣0，為)，0而，為)，則—+ —= 1 云+對=2,且為莉， 42則直線 如 的方程為)=c(' + 2),則M(0, 2^° ), x0 + 2% + 2直線8戶的方程為' =壺云(工一2),則N(0,@^), 氣-2氣-2所以 QM-(F,蘭 一 光 ) = (-X.,-主%), QN =(F ,己￥ f)=(-"主京，工。_ 2x0 -2 所以亟?函=蚌+尊=2-貴+住竺共=0，"—4-2^ 所以QM 1QN ,即0W與。N所在的直線互相垂直. j; xX1-3. (2022 -湖南省雅禮中

33、學(xué)開學(xué)考試)(12分)已知橢圓C：屏+予=1(q>/)>0)的焦距與橢圓§+寸=1的焦 距相等，且。經(jīng)過拋物線y=(x—lf+皿的頂點. (1) 求。的方程；若直線y=kx+m與C相交于』，B兩點，且4 8關(guān)于直線/： x+(y+l= 0對稱，O為C的對稱中心， V10且△403的面積為3 ，求*的值. 【解析】[2122 n+^=i2￡ ￡由題意：匕2 解得：。=4, b =2,所以C的方程為4 + 2 = 1; —b =2因為直線y=kx+m與。相交于/, 8兩點，且刀，8關(guān)于直線/： x+〃+l= 0對稱， 所以k=t, y=kx-\~m <22222聯(lián)立[匕 E ，可得(

34、k~+2)x -\~2kmx~\-m —4 — 0, 4 + 2 = 1 設(shè)A(x\, yi), Bg 貝)，A3 的中點為P(x(), yo),km km 2m KiJA=8(2^+4—m2)>0, x()=—必+2, y()=)tx()+m=〃+2,Jcfyi 2kin 因為F(xo, yo)在直線/： x+ky-V 1 =0 _h,所以一F+2+F + 2+】=°'24- 即m =—(左+￡),所以△=8(羅一?)>0,即好>2,L2寸2(> + 1)(〉—2) (F+l) 所以|,囹=。/+1尸+ 2|m|P + 2 則。到直線AB的距離4=、片［=崩有1 所

35、以5砧08=刃4可。=《2 1 所以5砧08=刃4可。=《2 2(F_4) Vio之l3 ，解得：k =3, k=^3. 1-4、(2022 ?江蘇南京市中華中學(xué)高三10月月考)(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓。 1的中心為坐標原點。，焦點在X軸上，右頂點刀(2, 0)到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為尋. (1)求橢圓。的標準方程；⑵若泌N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，設(shè)R—4, 0),連接皿交橢圓。于另一點E求證：直 線NE過定點B,并求出點8的坐標. 【解析】X2 y2 (1)設(shè)橢圓C的標準方程為：/+屏=l(Q>/)>0),焦距為2c,

36、由題意得，。=2, a_c c j_由口2= q = 2,可得 C— 1 , 云-。 則 b2 — a2—c2 — 39￡ 所以橢圓。的標準方程為彳+3=1;(2)證明：根據(jù)對稱性，直線灌過的定點8—定在*軸上, 由題意可知，直線 W 的斜率存在，設(shè)直線PM的方程為；；=處+4), 丁=件+4) < 222222聯(lián)立JL ，消去 v 得到(4A： +3)x +32Z: x+64F—12 = 0, 〔4 + 3=1設(shè)點 M(xi, yi), Eg 以)，則 N(x\, -yi), .32 化 64^—12所以 X1+X2=—4F + 3, X\X2= 4F+3 , >2+》l

37、所以 NE 的方程為 v-P2=X2 — X1(X—、2), V2(X2—Xl)令)= 0,得X=X2=貝+個 ， 將^=槍1+4),貝=伯2 + 4)代上式并整理， 2X1X2 + 4(X1+&)得 X= X1+X2 + 8， 22(128k —24)—128左 整理得，x=_32F +(24+32F)= —1，所以直線*與工軸相交于定點8(—1, 0). 22 1-5、(202b廣東華僑中學(xué)高三月考)已知橢圓C：二+ 2v = i(q">0)的左右頂點分別為A” A2,右焦點 a~ b~(3、 為％(1,0)，點B 1,-在橢圓上. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線

38、/： y = k(x-4)(k^0)與橢圓C交于N兩點，已知直線&W與AN相交于點G ,證明：點G在定直線上，并求出此定直線的方程. 22 【答案】⑴『普=1；I (2)證明見解析，定直線的方程為:nl. 【分析】屏=1 + / (1)由題意知:< 12即可求出1力即可;上+ J 屏b2(2)由橢圓對稱性知G在工=氣上，由特殊點求出％=1,再求出一般性也成立即可. 【詳解】 解: （1）0為E（1，O）,所以 c=l,W =1 + K 由題意知：[] 2 ，解得,+4 = 1 [a~ b~ 22則橢圓的方程為虧嚀T. （2）由橢圓對稱性知G在”氣上，假設(shè)直線/過橢圓

39、上頂點，則M（0,V3）,則上=一巫，而N 4 則上=一巫，而N 4 A," ： * =歹（* + 2），、： y = 一^^（, 一 2）,其交點g"，￥] A," ： * =歹（* + 2），、： y = 一^^（, 一 2）,其交點g"，￥] 所以G在定直線x=l上; 當以不在橢圓頂點時，設(shè)"（今弟部店況）， y = k（x-4） 疽 >2，整理得:（3 + 4k2） x2 — 32k2x+（Ak2 —12 =。, 32Z?64爐—12 聲7'*/ 3 + 泌， 如：* = 如：* = 氣+2（才+ 2），么 x"f， 當E時，羽+2 邑―2

40、' 3k（X] _ 4）_ —k （勇 _ 4） 3k（X] _ 4）_ —k （勇 _ 4） 得 2X|X2 —5（X] +w ） + 8 = 0, 得 2、" - C 得 2、" - C + 8 = 0, 上式顯然成立, 所以G在定直線x=l上. 題組二、圓錐曲線中的最值與范圍問題2.1、（2022 ?江蘇第一次百校聯(lián)考）（本題滿分12分） x2 y2y2 x28（2, 0）. P 8（2, 0）. P 如圖，己知橢圓Ci： 4 + 3=1，橢圓C2： 9 + 4 = 1’刀（一2, 0）, 為橢圓C2上一動點且在第一象限內(nèi)，直線網(wǎng)，P8分別交橢圓

41、G于E, F兩點，連結(jié)時交x軸于。點.過B點作8"交橢圓G于G,旦BH//R4. (1)求證：直線GF過定點，并求出該定點；1 (2)若記B。點的橫坐標分別為Xp, XQ,求初+公。的取值范圍. 【解析】yoB) yo2 xo2 (1) 證明：設(shè)P(xo, yo),則A兒=&+2，kpB=x°_2,且 9+彳=1，9 則 kpA ? kpB= 一4，即 kBF ? kBG= —4?2 分當直線GF的斜率存在時，設(shè)GF的方程為y=k(x_t)好0), y=k(x—t),則3孩+4卜2=12,代入消元，得(4好+3)*—8洗x+4妁2—12=0心＞0), 22 28k t4k t —

42、 12 設(shè) G(xi,乃)，F(xiàn)(X2, V2)，則Xl+X2 = 4*2_3, X] ? X2= 4^ + 3 ?義 糜 99 由 kBF? kBG=x\_2? X2_2=—& 得4R2 —160+16?=一彳，2 約去好，并化簡得f — 3/—2 = 0,解得，=1(，=2不符合題意，舍去). 5分當直線G尸的斜率不存在時，設(shè)G尸的方程為x=m, 9利用kBF ? kBG= —4，可解得m= 1. 綜上.直線G尸過定點(1, 0).6分解：設(shè)網(wǎng)的方程為*=肌(工+2)(化〉0), y=k(x-\-2),6 —8 妒—127則[3x2+4j2=12,解得[點坐標為(4妒+ 3, 4

43、岸+ 3)? 北)4(1 —xo) 一 2》o由加=&+2，則E點坐標為(xo—4，&_4)? 8^2 — 6 — ]2灼同理，記 如斜率為k\,則尸點坐標為(4妍+3, 4牛2+3). No4(xo+1) 2yo由kz=xo—2,則義點坐標為(&+4，xo+4)-8分 3(—+灼) wo則 EF 的斜率為 kEF= 3 _4礎(chǔ)2 = 2(x()2_4)' 2劉 呵0 4(xo _ 1)所以直線EF的方程為y+xo—2 = 2(x()2—4)[工+4 ]?10分 _4令y=0,得x=萬. 12112則 xp~\~ 2^2=xo -^xo=> 當且僅當 xo=xq> 即 xo=y[

44、2 時取等號其中 0Vx（）V2, 1所以xp-\~2xQ的取值范圍是[2皿，+oo）.12分 2-2., (2022 -江蘇如皋期初考試)已知。為圓(x+1)2+/=12的圓心，P是圓。上的動點，點M(l,0),若線 段MP的中垂線與CP相交于Q點. (1) 當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡N的方程；(4分)過點(1,0)的直線/與點。的軌跡N分別相交于4,8兩點,且與圓O：x2+y2 = 2相交于兩點，求\AB[\EF^ 的取值范圍?(8分) 【考點】軌跡方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用 【解析】由題意知峋是線段刀戶的垂直平分線， 所以 |CP| = |OC| + |OF|

45、= |OC| + |04| = 2 0>|(京 | = 2, 所以點。的軌跡是以點G刀為焦點，焦距為2,長軸長為2右的橢圓， X2 A? 所以a=y/3 , C=l, b=^a1—c1= 41 所以橢圓C的標準方程為§+2 = 1. (1) 由(1)可知，橢圓的右焦點為(1, 0),若直線/的斜率不存在，直線/的方程為x=l, (2皿 ( 2皿則從1, 3 J，曲，一3 > 頊1,1)，F(xiàn)(l, -1), 4出16*所以\AB\= 3 , |最平=4, |刀8|?|曷平=3. ① 若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為* =處一1), /(" J1), 5(X2, *2)? V已 J 3 + 2 = 1，聯(lián)立可得(2+3好)好一6*c+3好一6 = 0, ，=輪一1),6好3好一6 則 xi+x2=2 + 3好，xiX2 = 2 + 3?， / 「J 6A2 \3號一6] 4皿(—+1)所以 \AB\ =^/(1+Z:2)(xi-X2)2=AJ (1 + 好)|_(2 + 3好犬_4、2 + 3號_|= 2 + 3^ ? 時( F ) 4(-+ 2)因為圓心0(0,0)到直線,的距離刁=歡茸「所以I時|2=?2一比2+J=好+[,