2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十三 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 二十三 　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分,共16分,多項(xiàng)選擇題全選對(duì)的得4分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分) 1.(多選題)已知函數(shù)f(x)=-x,x∈(-1,0)∪(0,1),則正確的判斷是 (　　) A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù) C.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減 D.f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減 【解析】選A、C、D.函數(shù)f(x)=-x的定義域?yàn)閧x|x≠0}, 因?yàn)?x∈{x|x≠0}都有-x∈{x|x≠0}, 且f(-x)=-(-x) =-=-f(x), 所以f(x)=-x為奇函數(shù),

2、因?yàn)閥=和y=-x都在(0,1)上單調(diào)遞減, 所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 根據(jù)f(x)為奇函數(shù)可知f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減, 綜上知A,C,D正確,B錯(cuò)誤. 【加練·固】 下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為 (　　) A.y=x+1　 B.y=x3 C.y=　 D.y=x2 【解析】選B.根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng): 對(duì)于A,y=x+1,是一次函數(shù),不是奇函數(shù),不符合題意;對(duì)于B,y=x3,為冪函數(shù),既是奇函數(shù)又是增函數(shù),符合題意;對(duì)于C,y=,為反比例函數(shù),在定義域上不是增函數(shù),不符合題意;對(duì)于D,y=x2,為二次函數(shù),不是奇函數(shù),不符合題意.

3、 2.若函數(shù)f(x)和g(x)都是奇函數(shù),且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,則F(x)在(-∞,0)上有 (　　) A.最小值-5　 B.最大值-5 C.最小值-1　 D.最大值-3 【解析】選C.令h(x)=f(x)+g(x), 因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)都是奇函數(shù), 則h(x)也是奇函數(shù),且F(x)=h(x)+2. 因?yàn)镕(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以h(x)在(0,+∞)上有最大值3, 所以h(x)在(-∞,0)上有最小值-3, 所以F(x)=h(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1. 3.定義在R上

4、的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(-3)=0,則f(x)<0的解集是 (　　) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(0,3) 【解析】選B.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增, 因?yàn)閒(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0. 則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖(草圖): 則當(dāng)-33時(shí),f(x)>0, 當(dāng)0

5、R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(-π),f(3)的大小順序是(　　) A.f(-π)>f(3)>f(-2) B.f(-π)>f(-2)>f(3) C.f(3)>f(-2)>f(-π) D.f(3)>f(-π)>f(-2) 【解析】選A.因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù), 所以f(-2)=f(2),f(-π)=f(π), 又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且2<3<π, 所以f(π)>f(3)>f(2), 即f(-π)>f(3)>f(-2). 二、填空題(每小題4分,共8分) 5.定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x2+-x,則f(x)=_

6、_______.? 【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0; 又因?yàn)閤<0時(shí),f(x)=2x2+-x, f(-x)=-f(x), 所以x>0時(shí), -x<0,f(-x)=2(-x)2+-(-x) =2x2-+x, f(x)=-f(-x)=-2x2+-x; 綜上,f(x)= 答案: 6.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=________,此函數(shù)的最大值和最小值之和為_(kāi)_______.? 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),所以a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0, 由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知,

7、此函數(shù)的最大值和最小值之和為0. 答案:0　0 三、解答題(共26分) 7.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+. (1)判斷f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由. (2)判斷f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論. 【解析】(1)f(x)為非奇非偶函數(shù).理由如下: 根據(jù)題意,f(x)=x2+, 則f(-1)=0,f(1)=2; 則有f(-1)≠-f(1),且f(-1)≠f(1); 則f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)根據(jù)題意,f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增. 證明:?x1,x2∈[2,+∞),且x1>x2, 則f(x1)-f(x2)=- =(x1+x2)(x1-x

8、2)+ =(x1-x2), 又由x1>x2≥2;則x1-x2>0,x1x2>4, <1,x1+x2->0,則f(x1)>f(x2); 故f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增. 8.(14分)已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=x+b,且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為(0,2),過(guò)點(diǎn)(-1,1)的一段拋物線. (1)試求出f(x)的表達(dá)式. (2)求出f(x)的值域. 【解析】(1)當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=x+b,且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),則b-2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2; 由于f(x)為定義在

9、R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=f(-x)=-x+2; y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為(0,2),過(guò)點(diǎn)(-1,1)的一段拋物線. 設(shè)y=ax2+2,過(guò)點(diǎn)(-1,1),則a+2=1, 解得a=-1,所以y=-x2+2, 可見(jiàn)當(dāng)-10,則 (

10、　　) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)0,所以0>x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2),又f(x1)= f(-x1), 所以f(-x1)>f(-x2). 2.(4分)函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù),g(x)是一個(gè)奇函數(shù),且f(x)+g(x)=,則f(x)= (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.由題知f(x)+

11、g(x)=① 以-x代x,①式得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=② ①+②得f(x)=. 3.(4分)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x) =2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)=________. ? 【解析】因?yàn)閒(x+2)=f(x), 且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2, 所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=…=f(4 034)=0, f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=…=f(4 035) =2-1=1, 所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035

12、) =2 018×0+2 018×1=2 018. 答案:2 018 【加練·固】 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x) +f(2),f(1)=4,則f(3)+f(10)的值為_(kāi)_______.? 【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2), 令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2), 又f(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=f(2), 所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),又f(1)=4, 所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2) =f(1)+f(2)=4+0=4. 答案:4 4.(4分)已知偶函數(shù)f

13、(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則不等式>0的解集為_(kāi)_____. ? 【解析】根據(jù)題意,偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,則f(x)在[0,+∞)上遞增,又由f(2)=0,則在(0,2)上,f(x)<0,在(2,+∞)上,f(x)>0, 又由f(x)為偶函數(shù),則在(-∞,-2)上, f(x)>0,在(-2,0)上,f(x)<0, >0?f(x)(x-1)>0?或解得:-22, 即不等式的解集為(-2,1)∪(2,+∞). 答案:(-2,1)∪(2,+∞) 5.(14分)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. 試判斷f(x)的奇偶性

14、. 【解析】當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此時(shí),f(x)為偶函數(shù). 當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時(shí)f(x)為非奇非偶函數(shù). 1.設(shè)f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù),若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,則 (　　) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 【解題指南】利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性,分別推

15、出f(x1)+f(x2)<0,f(x2)+f(x3)<0, f(x1)+f(x3)<0,相加即可得結(jié)論. 【解析】選A.因?yàn)閤1+x2>0,所以x1>-x2, 因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù), 所以f(x1)0推出f(x2)+f(x3)<0, 由x3+x1>0推出f(x1)+f(x3)<0, 將所得三個(gè)不等式相加,可得2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)<0, 所以f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥

16、0時(shí),f(x)=-x2-2x. (1)求函數(shù)f(x)的解析式. (2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0, 又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù), 所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x) =x2-2x, 所以f(x)= (2)因?yàn)閒(m-1)+f(m2+t)<0, 所以f(m-1)<-f(m2+t), 又f(x)是奇函數(shù),所以f(m-1)-t-m2恒成立, 所以t>-m2-m+1=-+恒成立, 所以t>,即實(shí)數(shù)t的取值范圍為. 9