2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十 平面幾何中的向量方法 向量在物理中的應(yīng)用舉例 新人教A版必修2

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1、課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 十 平面幾何中的向量方法　向量在物理中的應(yīng)用舉例 　　　　　(25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分，共16分，多項(xiàng)選擇題全選對(duì)的得4分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分) 1.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角，當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10米，則力F做的功為 (　　) A.100焦耳 B.50焦耳 C.50焦耳 D.200焦耳 【解析】選B.設(shè)小車位移為s，則|s|=10米，WF=F·s=|F||s|·cos 60° =10×10×=50(焦耳). 2.(2019·蒙陰實(shí)中高一月考)在△ABC中，D為BC邊的中

2、點(diǎn)，已知=a，=b，則下列向量中與同方向的是 (　　) A. B.+ C. D.- 【解析】選A.因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，則有+=2，所以a+b與共線，又因?yàn)榕ca+b共線，所以選項(xiàng)A正確. 3.(2019·新泰一中高一檢測(cè))若四邊形ABCD滿足+=0，(-)·=0，則該四邊形一定是 (　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 【解析】選C.因?yàn)?=0，所以=，所以四邊形ABCD是平行四邊形.由(-)·=0，得·=0，所以⊥，即此平行四邊形對(duì)角線互相垂直，故一定是菱形. 4.(多選題)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足=2a，=2a+b，則下列結(jié)論正確的

3、是 (　　) A.|b|=1 B.|a|=1 C.a∥b D.(4a+b)⊥ 【解析】選B、D.如圖， 由題意，=-=(2a+b)-2a=b，則|b|=2，故A錯(cuò)誤；|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，B正確；因?yàn)?2a，=b，故a，b不平行，C錯(cuò)誤；設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則+=2，且⊥，而2=2a+(2a+b)=4a+b，所以(4a+b)⊥，故D正確. 二、填空題(每小題4分，共8分) 5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，-4)，B(4，0)，C(-6，2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn).則直線DE的方程為________，直線EF的方程為________.?

4、【解析】由已知得點(diǎn)D(-1，1)，E(-3，-1)， 設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)， 則∥. 又=(x+1，y-1)，=(-2，-2)， 所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0， 即x-y+2=0為直線DE的方程. 同理可求，直線EF的方程為x+5y+8=0. 答案：x-y+2=0　x+5y+8=0 6.設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且+=-2，則△AOB與△AOC的面積之比為________.? 【解析】設(shè)D為AC的中點(diǎn)， 如圖所示，連接OD，則+=2. 又+=-2， 所以=-，即O為BD的中點(diǎn)， 從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為1∶2.

5、答案：1∶2 三、解答題(共26分) 7.(12分)如圖所示，若D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2，求證：AD⊥BC. 【證明】設(shè)=a，=b，=e，=c，=d， 則a=e+c，b=e+d， 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e·c-2e·d-d2. 因?yàn)閍2-b2=c2-d2， 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2， 所以e·(c-d)=0. 因?yàn)?+=d-c， 所以·=e·(d-c)=0. 又因?yàn)椤?，≠0， 所以⊥，即AD⊥BC. 8.(14分)某物體受到兩個(gè)大小均為60 N的力的作用，兩個(gè)力的

6、夾角為60°，且有一個(gè)力的方向?yàn)樗椒较?，求合力的大小及方? 【解析】如圖，設(shè)，分別表示兩個(gè)力，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則就是合力.根據(jù)題意，△OAC為等腰三角形且∠COA=30°， 過點(diǎn)A作AD⊥OC，垂足為D. 在Rt△OAD中，||=||·cos 30°=60×=30，故||=2||=60.故合力的大小為60 N，方向與水平方向成30°角. 　(15分鐘·30分) 1.(4分)O是平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn)，P是平面ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若(-)·(+)=(-)·(+)=0，則O為△ABC的 (　　) A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】選B.因?yàn)?

7、-)·(+)=0， 則(-)·(+)=0， 所以-=0， 所以||=||.同理可得||=||， 即||=||=||， 所以O(shè)為△ABC的外心. 2.(4分)甲、乙兩人同時(shí)用力，拉起一個(gè)有繩相縛的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖，當(dāng)甲、乙所拉著的繩子與鉛垂線分別成30°、60°的角時(shí)，甲和乙的手上所承受的力之比是 (　　) A.1∶ B.∶1 C.1∶ D.∶1 【解析】選D.如圖，設(shè)物體重量為G， 則|F甲|=Gsin 60°=G， |F乙|=Gsin 30°=G， 所以|F甲|∶|F乙|=∶1， 故選D. 3.(4分)(2019·黃山高一檢測(cè))單位圓上三點(diǎn)A，B，

8、C滿足++=0，則向量，的夾角為________. ? 【解析】因?yàn)锳，B，C為單位圓上三點(diǎn)，所以||=||=||=1，又因?yàn)?+=0. 所以-=+.所以=(+)2=++2·，可得cos<，>=-.所以向量，的夾角為120°. 答案：120° 4.(4分)在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，滿足++=，則△PAB與△ABC的面積的比值是________.? 【解析】由題意可得=2， 所以P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)， 易知S△PAB=S△ABC，即S△PAB∶S△ABC=1∶3. 答案：1∶3 5.(14分)某人騎車以每小時(shí)a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度

9、為每小時(shí)2a千米時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向. 【解析】設(shè)a表示此人以每小時(shí)a千米的速度向東行駛的向量，無風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a，設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v，那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為v-a，設(shè)=-a，=-2a，=v，因?yàn)?=， 所以=v-a， 這就是感到由正北方向吹來的風(fēng)速， 因?yàn)?=，所以=v-2a. 于是當(dāng)此人的速度是原來的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來的風(fēng)速就是. 由題意：∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，從而，△POB為等腰直角三角形，所以PO=PB=a，即|v|=a，所以實(shí)際風(fēng)是每小時(shí)a千米的西北風(fēng). 1.已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

10、2，0)，O為原點(diǎn)，則·的最大值為________. ? 【解析】設(shè)P(cos α，sin α)，=(2，0)， =(cos α+2，sin α). 則·=2(cos α+2)≤6， 當(dāng)且僅當(dāng)cos α=1時(shí)取等號(hào). 答案：6 2.在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問：在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM？ 【解析】以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 由于AB=AC=5，BC=6， 所以B(0，0)，A(3， 4)，C(6，0).則=(3，-4)， 由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn). 所以==，于是M， 所以=， 假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PC⊥BM， 則設(shè)=λ，且0<λ<1，即=λ=，所以=+=(-6，0)+= 由于PC⊥BM，所以·=0， 得4(4λ-6)+λ·=0，解得λ=. 由于λ=?(0，1)，所以線段BM上不存在點(diǎn)P使得PC⊥BM. - 8 -