2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)12 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 北師大版選修2-3

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1、課時(shí)作業(yè)(十二) 1．在(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)最大項(xiàng)是(　　) A．第＋1項(xiàng)　　　　　　　 B．第n項(xiàng) C．第n＋1項(xiàng) D．第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng) 答案　C 2．若(x＋)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 答案　B 3．(2015·廈門高二檢測)若(x＋3y)n展開式的系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則n的值為(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案　A 解析　(7a＋b)10展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210，令x＝1，y＝1，則由題意知

2、，4n＝210，解得n＝5. 4．(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　由題意得：a＝C2mm，b＝C2m＋1m，所以13C2mm＝7C2m＋1m，∴＝，∴＝13，解得m＝6，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，選B. 5．關(guān)于(a－b)10的說法，錯(cuò)誤的是(　　) A．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1 024 B．展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 C．展開式中第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．展開式中第6項(xiàng)的系

3、數(shù)最小 答案　C 解析　根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，故A正確；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間一項(xiàng)，故B正確，C錯(cuò)誤；D也是正確的，因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以是系數(shù)中最小的． 6．在(x＋y)n展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　) A．第6項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第5、6項(xiàng) D．第6、7項(xiàng) 答案　A 解析　Cn3＝Cn7，所以n＝10，系數(shù)最大的項(xiàng)即為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 7．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(　　) A

4、．2n＋1 B．2n＋1＋1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 答案　C 解析　令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)和為1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1. 8．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(　　) A．45 B．55 C．70 D．80 答案　C 解析　(1＋)5＝C50＋C51·＋C52()2＋C53()3＋C54()4＋C55()5＝41＋29＝a＋b， ∴a＋b＝41＋29＝70.故選C. 9．(a＋)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為512，則展開式的第八項(xiàng)T8＝________． 答案　120a 解析　Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n

5、－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝C107a3()7＝120a. 10．(2x－1)6展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為________． 答案　1　64 解析　令展開式左、右兩邊x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為1.各二項(xiàng)式系數(shù)之和為：C60＋C61＋C62＋…＋C66＝26＝64. 11．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． 答案?。?56 解析　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a5＝25，∴a0＋a2＋

6、a4＝24，a1＋a3＋a5＝－24，∴(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－28＝－256. 12．(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展開式中所有x的奇次項(xiàng)的系數(shù)之和等于________，所有x的偶次項(xiàng)的系數(shù)之和等于________． 答案　41　40 解析　設(shè)(x2＋x－1)9(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a22x22.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝81；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a21＋a22＝－1，∴所有x的奇次項(xiàng)的系數(shù)之和等于[81－(－1)]＝41，所有x的偶次項(xiàng)的系數(shù)之和等于[81＋(－1)]＝40. 13．已知(＋2x

7、)n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)． 解析　由Cn0＋Cn1＋Cn2＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.(＋2x)8的展開式共有9項(xiàng)，其中T5＝C84()4(2x)4＝x4，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，系數(shù)為. 14．(2015·三明高二期末質(zhì)檢)已知fn(x)＝(1＋ax)n，且f5(x)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和是243，a∈R. (1)求a的值； (2)若g(x)＝f4(x)＋2f5(x)，求g(x)中含x4的系數(shù)． 解析　(1)由已知f5(x)＝(1＋ax)5， 令x＝1，得f5(x)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1＋a)5，

8、即(1＋a)5＝243，解得a＝2. (2)由題意可知，g(x)＝(1＋2x)4＋2(1＋2x)5. 二項(xiàng)式(1＋2x)4展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C4k(2x)k， 二項(xiàng)式(1＋2x)5展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C5k(2x)k， 則g(x)中含x4的系數(shù)是C44×24＋2C54×24＝176. 15．設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100， 求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. 解析　(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100. (2)令x＝1

9、，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*) 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) ＝[(2－)(2＋)]100 ＝1100＝1. 16．已知(x＋)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列． (1)求n的值； (2)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 解析　(1)由題設(shè)，(x＋)n的展開式

10、的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Cnkxn－k()k＝()kCnkxn－k， 故Cn0＋Cn2＝2×Cn1，即n2－9n＋8＝0. 解得n＝8或n＝1(舍去)． 所以n＝8. (2)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第5項(xiàng)，則T5＝()4C84x8－×4＝x2. (3)設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則即 解得r＝2或r＝3. 所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T3＝7x5，T4＝7x. 1．若n為正奇數(shù)，則7n＋Cn1·7n－1＋Cn2·7n－2＋…＋Cnn－1·7被9除所得的余數(shù)是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 答案　C 2．試判斷7777－1能否被19整除？ 答案　能 1．(

11、2012·新課標(biāo)全國Ⅰ)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　) A．12種　　　　　　　　　 B．10種 C．9種 D．8種 答案　A 解析　將4名學(xué)生均分為2個(gè)小組共有＝3種方法， 將2個(gè)小組的同學(xué)分給兩名教師帶有A22＝2種分法， 最后將2個(gè)小組的人員分配到甲、乙兩地有A22＝2種方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12種． 2．(2012·山東)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取

12、法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 答案　C 解析　完成這件事可分為兩類：第一類3張卡片顏色各不相同共有C43C41C41C41＝256種；第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有C31C31C42C41＝216種，由分類加法計(jì)數(shù)原理共有472種，故選C項(xiàng)． 3．(2012·遼寧)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家．若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為 (　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 答案　C 解析　完成這件事可以分為兩步，第一步排列三個(gè)家庭的相對位置，有A33種排法；第二步排列每個(gè)家庭的三個(gè)成

13、員，共有A33A33A33種排法，由乘法原理可得不同的坐法種數(shù)有A33A33A33A33，故選C項(xiàng)． 4．(2012·陜西)兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有(　　) A．10種 B．15種 C．20種 D．30種 答案　C 解析　甲獲勝有三種情況，第一種共打三局，甲全勝，此時(shí)，有一種情形；第二種共打四局，甲第四局獲勝且前三局中只有兩局獲勝，此時(shí)，共有C32＝3種情況；第三種共打五局，甲第五局獲勝且前四局只有兩局獲勝，此時(shí)，共有C42＝6種情況，所以甲贏共有10種情況，同理乙贏也有10種情形，故選C項(xiàng)．

14、 5．(2012·大綱全國)6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有(　　) A．240種 B．360種 C．480種 D．720種 答案　C 解析　由題意可采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，甲的排法種數(shù)為A41，剩余5人進(jìn)行全排列：A55，故總的情況有：A41·A55＝480種．故選C項(xiàng)． 6．(2013·大綱全國)4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有(　　) A．12種 B．24種 C．30種 D．36種 答案　B 解析　先從4人中選2人選修甲課程，有C42種方法，剩余2人再選修剩下的2

15、門課程，有22種方法，則共有C42×22＝24種方法． 7．(2014·四川)在x(1＋x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 答案　C 解析　根據(jù)二項(xiàng)式定理先寫出其展開式的通項(xiàng)公式，然后求出相應(yīng)的系數(shù)． 因?yàn)?1＋x)6的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝C6rxr，x(1＋1)6的展開式中含x3的項(xiàng)為C62x3＝15x3，所以系數(shù)為15. 8．(2013·遼寧)使(3x－)n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　Tr＋1＝Cnr(3x)n－r(－x)

16、－r＝Cnr·3n－r·xn－r－r＝Cnr·3n－r·(－1)－r·xn－(r＝0，1，2，…，n)，若Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)，則有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0，1，…，n)，當(dāng)r＝0，1時(shí)，n＝0，，不滿足條件；當(dāng)r＝2時(shí)，n＝5，故選B. 9．(2012·安徽)(x2＋2)(－1)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案　D 解析　(－1)5的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5r()5－r(－1)r＝(－1)rC5r.要使(x2＋2)(－1)5的展開式為常數(shù)，須令10－2r＝2或0，此時(shí)r＝4或5.故(x2＋2)(－1)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是(－1)4×C5

17、4＋2×(－1)5×C55＝3. 10．(2012·湖北)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　∵52能被13整除，∴512 012可化為(52－1)2 012，其通項(xiàng)為Tr＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余數(shù)為C2 0122 012·(－1)2 012＝1，則當(dāng)a＝12時(shí)，512 012＋12被13整除． 11．(2013·重慶)(＋)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　) A. B. C. D．105 答案　B 解析　二項(xiàng)式

18、(＋)8的通項(xiàng)為Tr＋1＝C8r()8－r·(2)－r＝2－rC8rx，令8－2r＝0，得r＝4，所以二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為T5＝2－4C84＝，故選B項(xiàng)． 12．(2012·福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 答案　B 解析　由二項(xiàng)式定理可知(1＋2x)5的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝C5r15－r(2x)r＝C5r·2r·xr，令r＝2，得T3＝C52·22·x2＝40x2.∴x2的系數(shù)等于40. 13．(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f

19、(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 答案　C 解析　利用二項(xiàng)式定理得到xmyn的系數(shù)，運(yùn)用組合數(shù)公式計(jì)算． 因?yàn)閒(m，n)＝C6mC4n，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C63C40＋C62C41＋C61C42＋C60C43＝120. 14．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 答案　C 解析　易知Tr＋1＝C5r(x2＋x)5－ryr，令r＝2，則T3＝C52(x2＋x)3y2，對于二項(xiàng)式

20、(x2＋x)3，由Tr＋1＝C3t(x2)3－t·xt＝C3tx6－t，令t＝1，所以x5y2的系數(shù)為C52C31＝30. 15．(2015·廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　由題意得基本事件的總數(shù)為C152，恰有1個(gè)白球與1個(gè)紅球的基本事件個(gè)數(shù)為C101C51，所以所求概率P＝＝. 16．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(　　) A．212 B．21

21、1 C．210 D．29 答案　D 解析　因?yàn)?1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以Cn3＝Cn7，解得n＝10，所以二項(xiàng)式(1＋x)10的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為×210＝29. 17．(2013·廣東)(x2＋)6的展開式中x3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案　20 解析　Tr＋1＝C6r·(x2)6－r·()r＝C6r·x12－3r，∴要求展開式中x3的系數(shù)，即12－3r＝3，∴r＝3，即T4＝C63·x3＝20x3.∴x3的系數(shù)為20. 18．(2013·大綱全國)若(x＋)n的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式

22、中的系數(shù)為______． 答案　56 解析　∵Cn2＝Cn6，∴n＝8.Tr＋1＝C8rx8－r()r＝C8rx8－2r.令8－2r＝－2，解得r＝5.∴的系數(shù)為C85＝56. 19．(2014·山東)若(ax2＋)6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20，則a2＋b2的最小值為________． 答案　2 解析　本題利用二項(xiàng)式定理求出x3項(xiàng)的系數(shù)，從而求得ab的值，再應(yīng)用基本不等式解決． (ax2＋)6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C6r(ax2)6－r·()r＝C6ra6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3.由C63a6－3b3＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋

23、b2的最小值為2. 20．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________． 答案　3 解析　方法一　直接將(a＋x)(1＋x)4展開得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由題意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3. 方法二　(1＋x)4展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C4rxr，由題意可知，a(C41＋C43)＋C40＋C42＋C44＝32，解得a＝3. 21．(2015·北京)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案　40 解析　

24、在(2＋x)5的展開式中，含x3的項(xiàng)為C5322x3＝40x3，所以x3系數(shù)為40. 22．(2015·廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答) 答案　1 560 解析　由題意得A402＝1 560，故全班共寫了1 560條畢業(yè)留言． 23．(2015·安徽)(x3＋)7的展開式中x5的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 答案　35 解析　由題意知，展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C7r(x3)7－r()r＝C7rx21－4r，令21－4r＝5，則r＝4，∴T5＝C74x5＝35x5，故x5的系數(shù)為35. 24．(2015·天津)在(x－)6的展開式中，x2的系數(shù)為________． 答案　 解析　二項(xiàng)式(x－)6展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝C6rx6－r·(－)rx－r＝C6r(－)rx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，故x2的系數(shù)為C62(－)2＝. 25．(2015·江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________． 答案　 解析　從4只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有6種結(jié)果，其中這2只球顏色不同有5種結(jié)果，故所求概率為. 10