基于matlab的扇形束投影CT重建

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1、XX大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目： 基于MATLAB的扇形束投影 CT重建 學(xué) 院： 測(cè)試與光電工程學(xué)院專業(yè)名稱： 測(cè)控技術(shù)與儀器班級(jí)學(xué)號(hào)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 二Oxx 年 六月 基于MATLAB的扇形束投影CT重建摘要：伴隨著CT成像技術(shù)的逐步發(fā)展，且因?yàn)閽呙杷俣嚷?，成像質(zhì)量差等缺點(diǎn)，第一代成像系統(tǒng)中的平行束CT成像技術(shù)，已逐漸被圖像重建易于實(shí)現(xiàn)和控制的扇形束CT成像技術(shù)取代，且扇形束CT成像技術(shù)又被分為等角型與等距型。本論文主要通過MATLAB軟件，先將扇形束投影數(shù)據(jù)重排為平行束投影數(shù)據(jù)，而后利用濾波反投影（FILTERED BACK PROJECTION，F(xiàn)BP）重建算法，在改變檢測(cè)

2、對(duì)象、旋轉(zhuǎn)增角、探測(cè)器間距、插值方式和濾波方式等條件的情況下重建圖像。之后再通過對(duì)比分析重建圖像及其對(duì)應(yīng)的峰值信噪比，來研究這些條件對(duì)等角型、等距型這兩種檢測(cè)方法下對(duì)成像質(zhì)量的影響。本論文對(duì)實(shí)際應(yīng)用的參數(shù)選擇具有積極的意義，可在此基礎(chǔ)上得出在在實(shí)際應(yīng)用中的建議參數(shù)。在本研究中，采用控制變量法進(jìn)行分析，得到以下的結(jié)論為：重建圖像的精度與以上參數(shù)均有較大聯(lián)系，且當(dāng)試驗(yàn)參數(shù)有變化時(shí)該定性關(guān)系也會(huì)產(chǎn)生較大變化；且總體來說，等距型的重建質(zhì)量高于等角型的重建質(zhì)量。關(guān)鍵詞：扇形束 圖像重建 CT 等角型 等距型The CT Projection of Fanbeam Construction Based o

3、n MatlabAbstract: Along with the gradual development of CT, the first generation imaging system (parallel beam CT) has been taken placed by the second generation imaging system (fan beam CT) gradually, because the former has slow scanning speed and poor imaging quality and the latter is more likely

4、to be reached and controlled. And fan beam CT imaging technology include equiangular fan beam CT and equidistant fan beam CT, according to its FanSensorGeometry. This paper mainly research image reconstruction of fan beam with MATLAB. Firstly, it will rearrange the fan beam projection data to get pr

5、ojection data of parallel beam. Then it will reconstruct the image with FBP algorithms and research it by changing its parameters of object detection, FanRotationIncrement, FanSensorSpacing, Interpolation and Filter. Then it will contrast the reconstruction images and their peak signal-to-noise rati

6、o (PSNR) to study the effects of these conditions on the imaging quality of equiangular fan beam CT and equidistant fan beam CT. This thesiss positive significance for practical application, is to get the suggestion parameters in this application. In this paper, using control variable method to carr

7、y on the analysis, we can get the following conclusions: image reconstruction accuracy has greater contact with the above parameters. When test parameters change, the qualitative relations will have a greater change. In general, the reconstruction quality of equiangular fan beam CT is better than th

8、e equidistant fan beam CTs. Keywords: fan beam image reconstruction CT equiangular equidistant目 錄1.引 言11.1課題的研究背景11.2國內(nèi)外研究狀況12.CT成像相關(guān)技術(shù)理論52.1 CT成像的物理原理52.2 CT成像的數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)-Radon變換52.2.1 投影過程和Radon變換52.2.2 Radon反變換72.3 扇形束投影的濾波反投影重建算法72.3.1 扇形束CT的分類72.3.2等角型扇束的重建公式82.3.3等距型扇束的重建公式92.3.4 扇形束投影轉(zhuǎn)化為平行束投影的原理1

9、02.4 計(jì)算機(jī)模擬112.4.1 投影模型112.4.2 投影采集幾何參數(shù)123.參數(shù)改變時(shí)等角型與等距型的對(duì)比研究143.1 等角型下的對(duì)比研究143.1.1 旋轉(zhuǎn)增角（RI）的改變143.1.2 探測(cè)器間距（SS）的改變153.1.3 濾波方式的改變173.1.4 插值方式的改變213.2等距型下的對(duì)比研究223.2.1旋轉(zhuǎn)增角（RI）的改變223.2.2 探測(cè)器間距（SS）的改變243.2.3 濾波方式的改變263.2.4 插值方式的改變294.利用自建模型重建圖像的PSNR值驗(yàn)證研究結(jié)論324.1 濾波方式的改變324.1.1 等角型下濾波方式的改變對(duì)自建模型重建的影響324.1.2

10、等距型下濾波方式的改變對(duì)自建模型重建的影響334.2 插值方式的改變364.2.1 等角型下插值方式的改變364.2.2 等距型下插值方式的改變365.總 結(jié)39參考文獻(xiàn)41致 謝42附錄 實(shí)現(xiàn)扇形束CT投影重建的MATLAB程序43基于MATLAB的扇形束投影CT重建1. 引 言1.1課題的研究背景圖像可以被用來描述物理系統(tǒng)或物體內(nèi)部某些特性的分布。通常，圖像由光線投射或反射過光學(xué)儀器后產(chǎn)生。然而在實(shí)際產(chǎn)生圖像時(shí)，有時(shí)則需要用不可見的輻射探測(cè)物間接測(cè)量而形成圖像。當(dāng)X射線照射人體或工件后，它蘊(yùn)含的能量會(huì)由于吸收與散射的作用而衰減掉一部分，射線被衰減的能量取決于它照射的物質(zhì)的原子系數(shù)（或原子組

11、成）、密度及X射線的能量頻譜。在醫(yī)學(xué)檢測(cè)時(shí)，醫(yī)用X射線透射過人體各種密度不同的組織器官時(shí)，由于這種差異的存在，它被吸收的能量也不盡相同。因而X射線探測(cè)器上接收到的發(fā)自不同角度、不同位置照射到的X射線的量是不相同的。在普通的醫(yī)學(xué)X射線照片中，我們往往可以從中發(fā)現(xiàn)骨質(zhì)，就是因?yàn)楣琴|(zhì)的物質(zhì)屬性與其它組織有差別，它的物質(zhì)密度大，它對(duì)射線的衰減較為嚴(yán)重（吸收量大），因而在透射照片上感光較差而呈現(xiàn)淺色的圖像。醫(yī)學(xué)上的CT通常利用多個(gè)方向的X射線投影值，從物體外部檢測(cè)到的數(shù)據(jù)來重建物體橫截面信息，進(jìn)而獲得人體內(nèi)部組織的密度分布。利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)，CT系統(tǒng)就能夠重新建立起探測(cè)器截面的斷層截面的圖像。最后，CT系統(tǒng)

12、得到的CT圖像是用不同的灰度值來反映各部分（人體器官、工件的結(jié)構(gòu)）對(duì)X射線的吸收能力，通常用黑影表示低密度的吸收區(qū)，而白色部分表示高密度的吸收區(qū)。這樣就能把不同的結(jié)構(gòu)區(qū)分開來這是一種獲取人體內(nèi)部信息的極其有效手段，人類洞察物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的能力得到了極大的增強(qiáng)。數(shù)學(xué)家Radon、物理學(xué)家A. M. Cormack、工程師GN. Hounsfield先后對(duì)CT理論與設(shè)備進(jìn)行了大量研究，最終取得了實(shí)質(zhì)性突破。而后這項(xiàng)技術(shù)廣泛應(yīng)用于診斷醫(yī)學(xué)與無損檢測(cè)技術(shù)方面，它為診斷人體疑難疾病、工件內(nèi)部缺陷提供了一種無損害的優(yōu)秀方法。1.2國內(nèi)外研究狀況CT早期的理論研究可追溯至上個(gè)世紀(jì)初。1917年，奧地利數(shù)學(xué)家J

13、.Radon1率先開展了通過投影重建原始斷層圖像的研究，并推出了Radon變換方程與Radon反變換方程，由此奠定了用投影圖像重建原始斷層圖像的理論基礎(chǔ)。1956年，物理學(xué)家A. M. Cormak與Bracewell進(jìn)一步建立了投影圖像的精確重建理論2，并將這一重建理論重建出太陽微波的發(fā)射圖像3。1985年，GT. Herman在他的專著Image reconstruction from projections中更系統(tǒng)闡述了CT的理論基礎(chǔ)4。1967年至1970年間，英國EMI公司的工程師G. Housfield成功研制出第一臺(tái)用于臨床用的計(jì)算機(jī)斷層成像掃描裝置，并于1971年將其正式安裝在

14、倫敦的Aikinson Morley醫(yī)院5。此后， CT技術(shù)在短期獲得極大發(fā)展。CT成像早期的平行束的投影圖像重建中，旋轉(zhuǎn)的耗時(shí)較長、掃描的速度過慢、效率過低、重建出來的圖像偽影較為嚴(yán)重。在此基礎(chǔ)上扇形束CT就展現(xiàn)出其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。之后逐漸產(chǎn)生了第二代、第三代，而且還包括其后的第四、五代CT掃描裝置的產(chǎn)生。其中各代CT裝置都有其明顯的特點(diǎn)，如：僅第一代使用的是非扇形束的掃描方式；第二代則是效率較低的旋轉(zhuǎn)或平移方式；第三、四代CT則都是使用的連續(xù)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方式來進(jìn)行掃描；第五代CT則較前者的優(yōu)勢(shì)是可以實(shí)現(xiàn)快速CT重建。以下為各代CT裝置的原理示意圖4：圖 11一代CT原理示意圖圖 12二代CT原理

15、示意圖圖 13三代CT原理示意圖圖 14四代CT原理示意圖圖 15五代CT原理示意圖扇形束投影重建算法大致分為兩類：一類是重排算法，即將視圖中采集到的扇形束數(shù)據(jù)通過運(yùn)算改變成平行束的掃描數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過平行束常用的濾波反投影方法（卷積反投影重建算法與Radon反變換兩種）進(jìn)行圖像重建；另一種則是采用扇形束投影的直接重建算法，這種方法只是在扇形數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)的基礎(chǔ)上運(yùn)用扇形束特有的重建算法進(jìn)行反投影重建。本論文中所采用的方法為第一種中的Radon反變換算法。2. CT成像相關(guān)技術(shù)理論2.1 CT成像的物理原理 Radon變換這個(gè)起源于積分幾何的變換公式可以建立物體投影的數(shù)據(jù)和物體的實(shí)際體素之間的聯(lián)系

16、。這一變換得出了求解這些關(guān)系的正確的數(shù)學(xué)變換，最終使重建圖像成為可能。這部分內(nèi)容包含的基本數(shù)學(xué)原理有Radon變換及其Radon反變換等。 在工程運(yùn)應(yīng)用時(shí)，物體內(nèi)部斷層圖像可以由Radon空間的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行Radon反變換后可以轉(zhuǎn)化得到。在實(shí)際情況中，因?yàn)橥队敖嵌仁遣贿B續(xù)的，故無法對(duì)投影數(shù)據(jù)進(jìn)行直接的Radon反變換運(yùn)算。由此，人們創(chuàng)造出很多種讓離散數(shù)據(jù)進(jìn)行Radon變換的方法來方便計(jì)算機(jī)執(zhí)行重建運(yùn)算。對(duì)于進(jìn)行透照的單色X射線，物質(zhì)對(duì)它的衰減遵循Lambert吸收定律1,5 ,6，這個(gè)定律可以用如下的公式來表示：dI/I=-dx (2.1)對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分運(yùn)算，可以知道另一種X射線衰減的形式

17、，如下： (2.2) 若X射線透復(fù)合材料，則上面等式應(yīng)改寫為如下更常用的形式：I=e-(s)ds (2.3) 在CT中，通過測(cè)試穿過物體的大量的輻射路徑求傳輸比I0 /I。重建算法的輸入的線積分為對(duì)傳輸比取對(duì)數(shù)和相反數(shù)求得：L sds=-lnI=p (2.4)投影數(shù)據(jù)p位于上面等式的右端。圖像重建就是從投影數(shù)據(jù)來求得物體內(nèi)部斷層上各點(diǎn)的物體衰減系數(shù)的過程。2.2 CT成像的數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)-Radon變換2.2.1 投影過程和Radon變換 f ( x,y)表示物體橫斷面的體素密度分布函數(shù)，物體的旋轉(zhuǎn)投影的數(shù)據(jù)是f ( x,y)通過Radon變換就得出的，是f沿射線所在直線的積分值，下面這個(gè)表達(dá)式

18、7就是Radon變換的表達(dá)形式。已知f ( x,y)為廣義函數(shù)，它的線積分表達(dá)式在xoy平面上的表示為： pfs,=L f(x,y)dl (2.5)上式中所有的s和均是已知的量，其中 L:s=xcos+ysin (2.6)則稱 pf( s,)為函數(shù)f(x,y)的Radon變換，記作Rf=pf( s,) 這里L(fēng)是在xoy面上的直線，s是原點(diǎn)到直線L的距離， 表示直線L的垂直線與x軸正方向所成的角度。s和是直線L的位置參數(shù)，直線L由所給定的s和唯一確定 (如圖2-1)。為方便運(yùn)算，應(yīng)通過繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使坐標(biāo)系xoy旋轉(zhuǎn)。新的坐標(biāo)系如圖2-2所示，用以下式子就可以表示直線L的參數(shù)方程：x=sco

19、s-tsiny=ssin+tcos (2.7)聯(lián)系式(2.7)，由對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算式可知 ：f( x,y)的 Radon 變換可以表示如下。pfs,=-f(scos-tsin,ssin+tcosv)dt (2.8)圖 21 f(x,y)沿L的積分圖 22 坐標(biāo)系xoy和sot的關(guān)系式(2.8)中pf( s,)表示斷層的投影數(shù)據(jù)，為投影角度，s指探元所處位置，在 Radon變換的過程中，物體內(nèi)部投影的一維數(shù)據(jù)由二維的斷層結(jié)構(gòu)通過投影轉(zhuǎn)化得到，這等價(jià)于把一個(gè)二維函數(shù)變換至Radon空間內(nèi)。2.2.2 Radon反變換CT是根據(jù)照射射線后的射線強(qiáng)度數(shù)據(jù)推出物體橫斷面上各體素射線衰減系數(shù)的分布。

20、Radon反變換就是通過一定部位內(nèi)眾多的投影路徑的函數(shù)積分值來求解衰減系數(shù)的分布。若不存在特殊的條件限制被積函數(shù)，在實(shí)際工程中不可以確定它，因?yàn)楸仨氂袩o窮多個(gè)積分值，但這一點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)。J. Radon在1917年創(chuàng)建Abel積分方程并解之，于是獲得了求逆公式。這一原理巧妙運(yùn)用了平均值思想，被稱之為Radon定理8。Radon定理：定義f( x,y)廣義函數(shù)，f（x,y）x2+y2是絕對(duì)可積的，并且f是在以任意點(diǎn)( x ,y)為中心,r為半徑的圓周上積分的平均值，可得：fx,y,r=1202f(x+rcos,y+rsin)d (2.9)limrfx,y,r=0 (2.10)因此只是由其Radon

21、變換來唯一決定函數(shù)f( x,y)的值，而且fx,y=-10dRf(x,y,q)q (2.11)其中 Rf( x,y;q)表示以(x,y)為中心，以q為半徑的圓的切線p = xcos +ysin+q上函數(shù)f( x,y)的積分平均值，即：Rfx,y;q=1202Rf(xcos+ysin+q,)d (2.12)通過以上Radon 定理可以求出Radon反變換的解析式如下：fr,=120-1rcos-spf(s,)dsd (2.13)上式中pf(s,)指代對(duì)f的偏導(dǎo)數(shù), fr,是極坐標(biāo)形式下的f(x,y)。 所以，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，投影數(shù)據(jù)在進(jìn)行Radon反變換后就變換出物體內(nèi)部斷層體素密度分布圖像。但因

22、為投影角度是間斷的，因而不能對(duì)投影數(shù)據(jù)直接進(jìn)行Radon反變換。為了解決這一矛盾，人們發(fā)明了很多種數(shù)據(jù)處理的方法將離散投影數(shù)據(jù)進(jìn)行Radon變換，使計(jì)算機(jī)完成重建運(yùn)算成為可能，其中主要是代數(shù)迭代、濾波反投影算法。2.3 扇形束投影的濾波反投影重建算法 2.3.1 扇形束CT的分類扇形束射線的形式有兩種：一類是等角型，另一類是等距型。等角型是指在固定的X射線源的位置下，扇形束射線投影的數(shù)據(jù)是在等間角的位置獲得的，這種布置方式下的探測(cè)器是在一段圓弧上均勻分布的。等距型則是指在固定的X射線源的位置下，扇形束射線投影的數(shù)據(jù)是在等距離的位置獲得的，這種布置方式下的探測(cè)器則是等距地分布在一條與源-旋轉(zhuǎn)中心

23、連線的直線上，而且在這種情況下的探測(cè)器的間角是不同的。詳細(xì)結(jié)構(gòu)圖請(qǐng)見圖 23、圖 24表 21平行束與扇形束反投影的程序描述2.3.2等角型扇束的重建公式為了不重排投影與損失空間分辨率，則需推導(dǎo)出合適的重建公式，使之能夠直接采用扇形束的投影采樣。于是就推動(dòng)了扇形束CT重建公式的發(fā)展9-11。所有的扇形束都可以用兩個(gè)參數(shù)和唯一地確定表示，其中為x軸y與中心射線所形成的夾角，是由任意射線與中心射線（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心的射線）之間的夾角，如下圖2-3所示。為表示在某次觀測(cè)中被使用時(shí)，射線的投影角度。為探測(cè)器角度，可以唯一確定扇形中任何一條射線的位置。在關(guān)于平行投影重建的研究中，任何任意特定射線也可以且僅可

24、以被兩個(gè)參數(shù)（s和）確定（其中s是指射線到旋轉(zhuǎn)中心的距離，表示投影的角度）。倘若符合如下的要求，扇形束中的一次投影采樣p( ,)就是平行束中的一次投影采樣p(s,)的一部分： = +， s = D sin （2.14）在上式中，D表示旋轉(zhuǎn)中心距射線的距離。與平行束產(chǎn)生的投影類似，扇形束的重建公式同樣可以可通過等式（2.14）推導(dǎo)，下面是我們直接給出的重建公式。 圖 23等角射線束的參數(shù)關(guān)系首先，對(duì)投影數(shù)據(jù)作預(yù)加權(quán)，其中使用的加權(quán)因子是cos；然后對(duì)加權(quán)后的濾波，在這一步中使用的濾波器是Hf()=sin2h()p,=p, cos*Hf() (2.15)此處通過一個(gè)具有約束限制的ramp-filt

25、er12 的濾波器來進(jìn)行采樣投影ht=-12t12t ej2td=12(t)2sinc2t2t-14t2sic212t (2.16)可知這個(gè)濾波器中的采樣值如下：14t n=0 0 n是偶數(shù)-1n22t n是奇數(shù) (2.17)最后是進(jìn)行加權(quán)反投影fx,y=02R2Lx,y,2P(,(x,y,)d (2.18)在上式中，R表示射線源與旋轉(zhuǎn)中心的距離。L( x,y, )=(R+xcos+ysin)2+(-xsin+ycos) 2 (2.19)x,y,=arctan-xsin+ycosR+xcos+ysin (2.20)2.3.3等距型扇束的重建公式圖2-4表示等距型探元扇形束投影產(chǎn)生的圖示。D1D

26、2指探元所處的位置，S0B指代絕對(duì)位置被坐標(biāo)原點(diǎn)確定的特定射線。圖 24 等距型示意圖在圖2-4所標(biāo)示的坐標(biāo)系中，得到如下的重建公式：ar,=021U2Pe2(S1,)d (2.21)在上式中，U表示為： U=D+rsin(- )D=D+xsin-ycos D (2.22)Pe=PfS,*DD2+S2 (2.23)Pe2S,*g(s) (2.24)S1=Drsin(- )D+rsin(- )=D(xcos+ysin)D+xsin+ycos) (2.25)式(2.25)中S1 表示為過待求點(diǎn)( r ,)的一條射線。 由此可見，在使用等距型扇形束的FBP重建算法對(duì)斷層圖像重建時(shí)，需要先對(duì)投影數(shù)據(jù)進(jìn)

27、行加權(quán)處理，之后進(jìn)行濾波，最后由重建點(diǎn)的具體位置計(jì)算出的投影地址( S1)，作反投影重建。2.3.4 扇形束投影轉(zhuǎn)化為平行束投影的原理如圖2-5所示,它是由射線源發(fā)出的等角型扇束射線形成的投影。物體表示在圖中小圓內(nèi)部，射線源位于大圓上，D為它離圓心的距離，R為物體所處的圓的半徑，是X射線源，弧為探測(cè)器所在弧線，為中心射線。扇形位置由該中心射線與y軸交角所確定，同一扇形中的任何一條射線由確定。由于是該射線相對(duì)于繞的轉(zhuǎn)角。x-y為固定的坐標(biāo)系，因此射線的絕對(duì)位置由確定。如果把這條射線看作是平行射線，自然也可被所確定。圖 25發(fā)散數(shù)據(jù)采集的集合結(jié)構(gòu)通過這種思想就：將扇形束CT的投影數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為平行束投

28、影數(shù)據(jù)，然后再通過平行束的重建算法得到斷層重建的圖像。等距型的重排原理與之類似這里不做重復(fù)介紹。2.4 計(jì)算機(jī)模擬2.4.1 投影模型本論文中模擬使用的模型為256256大小的Shepp-Logan模型13,14和自建模型。Shepp-Logan腦圖模型首先使用于醫(yī)學(xué)CT，是專業(yè)人員共同認(rèn)可的用來評(píng)價(jià)各類圖像重建算法有效性大小的研究對(duì)象。S-L腦圖模型是由多個(gè)尺寸、朝向、位置、密度各不相同的橢圓構(gòu)成，表征著一個(gè)大腦的斷層圖像。為了檢測(cè)結(jié)果的普適性以及進(jìn)一步比較重建圖像細(xì)節(jié)，自建了一個(gè)具有典型代表的的斷層圖像。該圖像同樣由各種大小、方向、位置、密度（表示為灰度）各異的橢圓（包括圓）與矩形（包括正

29、方形）組成，以便于更貼近于工業(yè)CT使用實(shí)際對(duì)象。這兩種模型如下圖所示：圖 26 Shepp-Logan模型圖 27 自建模型影響CT重建圖像的質(zhì)量的因素包含主要兩類：一是硬件的性能，即探測(cè)器的尺寸與透照布置的設(shè)計(jì)等；二是軟件，對(duì)數(shù)據(jù)的修正以及重建算法的選擇和優(yōu)化。本文在模擬仿真中對(duì)扇形束CT硬件參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑O(shè)置，使用的算法為濾波反投影重建算法（FBP）。2.4.2 投影采集幾何參數(shù)利用控制變量法進(jìn)行仿真模擬的默認(rèn)重建參數(shù)設(shè)置如下表2-2： 表22仿真模擬默認(rèn)參數(shù)設(shè)置參數(shù)名默認(rèn)值探測(cè)器置方式Arc探測(cè)器間距（SS）1探測(cè)器放射線源距旋轉(zhuǎn)中心的距離（D）250旋轉(zhuǎn)增角（RI）1濾波方式Shepp

30、-Logan插值方式Linear頻率范圍0-1輸出尺寸256*256對(duì)重建圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)采用一個(gè)目前比較廣泛接受且客觀的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)-計(jì)算重建圖像的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Rate,即PSNR，單位：分貝）值。PSNR是指在原圖像與處理后的圖像之間的均方誤差比上（2*n-1）*2以后的進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算處理后得到的值（n 是每個(gè)采樣值的比特?cái)?shù)），其計(jì)算公式如下：PSNR=10*lg2*n-1*2MSE (2.26)上式中，MSE為均方誤差（Mean Square Error），即：MSE=n=1FramesizeIn-Pn2Framesize (2.27)上式中，F(xiàn)rame

31、size表示數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，In、Pn分別表示原斷層圖像的第n個(gè)點(diǎn)的灰度值與重建原斷層圖像的第n個(gè)點(diǎn)的灰度值。由于重建得到的斷層圖像會(huì)一定程度上與原始斷層圖像存在差異，但為了得到經(jīng)過處理后的重建圖像的品質(zhì)，經(jīng)常通過這種量化的計(jì)算方式來作他的參考。且該值越大，重建圖像與原始圖像越差異越小，反之亦然。然而在實(shí)際使用中因?yàn)槿说囊曈X感官的主觀性的影響，該值的大小有時(shí)與人眼所觀察到的視覺品質(zhì)有一定差異，所以利用該值進(jìn)行重建圖像的好壞需適當(dāng)結(jié)合實(shí)際重建圖像進(jìn)行分析。具體程序的實(shí)現(xiàn)請(qǐng)參見附錄。3. 參數(shù)改變時(shí)等角型與等距型的對(duì)比研究在對(duì)比研究中，我們采用控制變量的研究方法，即在其他條件不變的情況下，研究某一參

32、數(shù)對(duì)圖像重建質(zhì)量的影響。此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。3.1 等角型下的對(duì)比研究3.1.1 旋轉(zhuǎn)增角（RI）的改變此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究旋轉(zhuǎn)增角變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 31重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化（SS=0.1）圖 32 重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化（SS=2）圖 31、圖 32表示在上表中探測(cè)器間距為0.1和2時(shí)，重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化（從左至右，再從上至下）。表 31 不同RI、SS時(shí)的PSNR值（單位：dB，其他參數(shù)為默認(rèn)值） SSRI0.10.512480

33、.174.9673972.7513169.1952265.7165463.5912763.083350.574.952372.7526969.1952765.7165363.5912863.08336174.6075972.7372969.1951865.7164663.5909463.08325273.3819472.4496669.1855365.7159863.5904563.08325370.9388970.9436169.1205565.7138663.592663.0847468.8455369.1709268.4779765.7097963.5893563.08321567.08

34、7967.581367.4178965.7085363.5883963.0809665.7112766.2997966.5082565.6776363.5919663.085441061.9102962.4138563.5692163.0800963.5692163.08009SS圖 33 PSNR值隨旋轉(zhuǎn)增角的變化曲線圖 33中每一條曲線表示在某一探測(cè)器間距下的變化趨勢(shì)。由表 31、圖 31、圖 32、圖 33可知：在等角型扇形束投影重建中，(1) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)增角變大時(shí)，重建的斷層圖像星狀偽影增多。由PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量大體隨旋轉(zhuǎn)增角的變大而減小，且各種探測(cè)器間距下的PSNR值趨于一致。

35、(2) 當(dāng)探測(cè)器間距較大、重建質(zhì)量較差時(shí)，PSNR值始終與旋轉(zhuǎn)增角的大小無關(guān)。結(jié)合實(shí)際重建得到的斷層圖像（圖 32）可驗(yàn)證該結(jié)論是正確的，只是在探測(cè)器間距過大時(shí)出現(xiàn)星狀偽影。3.1.2 探測(cè)器間距（SS）的改變此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究探測(cè)器間距變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 34 重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（RI=1）圖 35 重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（RI=10）RI圖 36 PSNR值隨探測(cè)器間距的變化曲線圖 36中每一條曲線表示在某一旋轉(zhuǎn)增角下PSNR值的變化趨勢(shì)。圖 34、圖 35表示在上表中旋轉(zhuǎn)增角為1和10時(shí)，

36、重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（從左至右，再從上至下）。由表 31、圖 34、圖 35、圖 36可知：在等角型扇形束投影重建中，(1) 當(dāng)探測(cè)器間距變大時(shí)，重建的斷層圖像星狀偽影減少但圖形變得更模糊。由PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量大體隨探測(cè)器間距的變大而減小，且各種旋轉(zhuǎn)增角下的PSNR值趨于一致。(2) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)增角較大、重建質(zhì)量較差時(shí)， PSNR值隨旋轉(zhuǎn)增角的有少量提升。但結(jié)合實(shí)際重建得到的斷層圖像（圖 35）發(fā)現(xiàn)該結(jié)論不正確。并不是圖像的質(zhì)量提升，而是星狀偽影減少、圖形變得較為模糊。由此也可以發(fā)現(xiàn)星狀偽影是影響PSNR的得關(guān)鍵因素。3.1.3 濾波方式的改變此處使用的模型為Shepp-logan

37、模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究濾波方式變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 37重建圖像隨濾波方式的變化（RI=3，SS=0.5）表 32 不同成像質(zhì)量與濾波方式下的PSNR值（其他參數(shù)為默認(rèn)值）RI-SSRam-LakShepp-LoganCosineHammingHannNone0.1-0.175.6687274.9673973.7115272.9738172.7586475.668720.1-0.572.888572.7513172.4441172.0783171.9963272.88850.1-169.2059169.1952269.1680569.1269469.

38、1174369.205913-0.170.6514170.9388971.2202371.2544871.229270.651413-0.570.8747370.9436171.0170470.9977270.9834770.874733-169.1269269.1205569.1014269.0685269.0606269.126926-0.165.3327965.7112766.3108966.7326966.8164465.332796-0.566.1312566.2997966.6131966.9218766.9809766.131256-166.4472966.5082566.624

39、566.7532366.7774366.44729圖 38 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=0.1）圖 39 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=3）圖 310 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=6）圖 37、圖 38、圖 39、圖 310各圖中顏色相同的數(shù)據(jù)表示在某一特定RI、SS值下PSNR值的變化趨勢(shì)。由表 32、圖 37、圖 38、圖 39、圖 310可知：在等角型扇形束投影重建中，(1) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量較好時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量為：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingHann。(2) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量一般時(shí)，其 PSNR代表的

40、重建圖像的質(zhì)量為：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingHann。(3) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量較差時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量為：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingpchip nearest linear。(2) 當(dāng)探測(cè)器間距增大（SS=0.5、SS=1）使重建圖像質(zhì)量下降時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量逐漸趨向于：splinepchipnearestlinear。(3) 由結(jié)論1、2可知，當(dāng)探測(cè)器間距不同導(dǎo)致重建圖像質(zhì)量不同時(shí)，所需選擇的插值方式也不同。通常質(zhì)量較好時(shí)選擇spline插值，質(zhì)量較差時(shí)則各類插值方式對(duì)圖像

41、質(zhì)量的影響不大。相比而言，旋轉(zhuǎn)增角對(duì)插值方式的影響較小。3.2等距型下的對(duì)比研究3.2.1旋轉(zhuǎn)增角（RI）的改變此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究旋轉(zhuǎn)增角變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 313、圖 314表示在上表中探測(cè)器間距為1和2時(shí)，重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化。圖 313重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化（SS=0.1）圖 314 重建圖像隨旋轉(zhuǎn)增角的變化（SS=2）表 34 不同RI、SS時(shí)的PSNR值（單位：dB，其他參數(shù)為默認(rèn)值）SSRI0.10.512480.174.9257274.9018974.6312773.4315870.53

42、95666.631280.574.9104774.8871674.6202773.4301870.5393966.63128174.563674.5472674.3507173.399370.5380866.63152273.335673.3353673.3247372.8888570.5199266.62975370.9054270.915370.9970.9895770.0630166.63139468.8137268.8246668.9280469.0575268.8224566.61809567.0654167.0766367.1751267.3775267.6735166.57101

43、665.6898565.7013565.8121666.0532566.5067166.320461061.8985961.9097761.9931162.2143162.9666964.47506圖 315 PSNR值隨旋轉(zhuǎn)增角的變化曲線圖 315中每一條曲線表示在某一探測(cè)器間距下的變化趨勢(shì)。由表 34、圖 313、圖 314、圖 315可知：在等距型扇形束投影重建中，(1) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)增角變大時(shí)，重建的斷層圖像星狀偽影增多。由PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量大體隨旋轉(zhuǎn)增角的變大而減小，且各種探測(cè)器間距下的PSNR值趨于一致。(2) 當(dāng)探測(cè)器間距較大、重建質(zhì)量較差時(shí)，PSNR值始終與旋轉(zhuǎn)增角的變化關(guān)

44、聯(lián)較小。結(jié)合實(shí)際重建得到的斷層圖像（圖 314）可驗(yàn)證該結(jié)論是正確的，只是在探測(cè)器間距過大時(shí)出現(xiàn)星狀偽影。3.2.2 探測(cè)器間距（SS）的改變此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究探測(cè)器間距變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 316、圖 317表示在上表中旋轉(zhuǎn)增角為1和10時(shí)，重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（從左至右，再從上至下）。圖 316 重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（RI=1）圖 317 重建圖像隨探測(cè)器間距的變化（RI=10）圖 318 PSNR值隨探測(cè)器間距的變化曲線圖 318中每一條曲線表示在某一旋轉(zhuǎn)增角下的變化趨勢(shì)。由表 34、圖 3

45、16、圖 317、圖 318可知：在等距型扇形束投影重建中，(1) 當(dāng)探測(cè)器間距變大時(shí)，重建的斷層圖像星狀偽影減少但圖形變得更模糊。由PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量大體隨探測(cè)器間距的變大先不變?cè)贉p小。當(dāng)增角越大時(shí)，不變的區(qū)域越長；且各種旋轉(zhuǎn)增角下的PSNR值趨于一致。(2) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)增角較大、重建質(zhì)量較差時(shí)， PSNR值隨旋轉(zhuǎn)增角的有少量提升。但結(jié)合實(shí)際重建得到的斷層圖像（圖 317）發(fā)現(xiàn)該結(jié)論不正確。并不是圖像的質(zhì)量提升，而是星狀偽影數(shù)目減少、圖形變得較為模糊。由此也可以發(fā)現(xiàn)星狀偽影是影響PSNR值的關(guān)鍵因素。3.2.3 濾波方式的改變此處使用的模型為Shepp-logan模型，使用的其他參數(shù)為

46、默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究濾波方式變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。圖 319重建圖像隨濾波方式的變化（RI=3，SS=0.5）表 35 不同成像質(zhì)量與濾波方式下的PSNR值（其他參數(shù)為默認(rèn)值）RI-SSRam-LakShepp-LoganCosineHammingHannNone0.1-0.175.6233174.9257273.6737472.9403272.7255875.623310.1-0.575.592374.9018973.6618872.9317672.7185675.59230.1-175.2351674.6312773.5257572.8321372.6355775.23

47、5163-0.170.6144470.9054271.1910471.2270471.2020870.614443-0.570.6298570.915371.194171.2275271.2022870.629853-170.7492270.9971.2110571.2216171.1934370.749226-0.165.309365.6898566.2918466.7137366.7975165.30936-0.565.3244265.7013566.2983166.7183966.8017465.324426-165.4670565.8121666.3625366.7636466.842

48、1965.46705圖 320 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=0.1）圖 321 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=3）圖 322 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=6）圖 319、圖 320、圖 321、圖 322各圖中顏色相同的數(shù)據(jù)表示在某一特定RI、SS值下PSNR值的變化趨勢(shì)。由表 35、圖 319、圖 320、圖 321、圖 322可知：在等距型扇形束投影重建中(1) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量較好時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量為：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingHann。(2) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量一般時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量為

49、：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingHann。(3) 當(dāng)重建圖像質(zhì)量較差時(shí)，其 PSNR代表的重建圖像的質(zhì)量為：Ram-LakNoneShepp-LoganCosineHammingpchipnearestlinear。(2) 當(dāng)探測(cè)器間距增大（SS=0.5、SS=1）使重建圖像質(zhì)量下降時(shí)，其PSNR代表的重建圖像為：linearsplinepchipnearest。(3) 由結(jié)論1、2可知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)增角不同導(dǎo)致重建圖像質(zhì)量不同時(shí)，所需選擇的插值方式也不同。通常質(zhì)量較好時(shí)選擇spline插值，質(zhì)量一般或較差時(shí)則選擇linear插值。相比而言，探測(cè)器間距對(duì)插值方

50、式的影響較小。4. 利用自建模型重建圖像的PSNR值驗(yàn)證研究結(jié)論4.1 濾波方式的改變4.1.1 等角型下濾波方式的改變對(duì)自建模型重建的影響此處使用的模型為自建模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究探測(cè)器間距變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。表 41 不同成像質(zhì)量與濾波方式下的PSNR值（其他參數(shù)為默認(rèn)值）RI-SSRam-LakShepp-LoganCosineHammingHannNone0.1-0.175.8811674.7121972.8172771.8903371.6076975.881160.1-0.572.2411372.035171.5900871.1264471.

51、0176472.241130.1-167.9086167.901267.8821367.8545867.8478267.908613-0.167.1217767.673568.4751168.7961268.8588267.121773-0.568.5160668.6191168.7680468.8452768.8516568.516063-167.7245867.718567.7020967.6799467.6739667.724586-0.162.745963.1572463.840764.3585664.4661862.74596-0.563.4262763.6367864.036516

52、4.429664.509163.426276-165.0583565.1056765.1962765.300765.3199865.05835圖 41 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=0.1）圖 42 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=3）圖 43 PSNR值隨濾波方式的變化曲線（RI=6）4.1.2 等距型下濾波方式的改變對(duì)自建模型重建的影響此處使用的模型為自建模型，使用的其他參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)（詳見表22）。此處主要研究濾波方式變化對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響。表 42 不同成像質(zhì)量與濾波方式下的PSNR值（其他參數(shù)為默認(rèn)值）RI-SSRam-LakShepp-LoganCosineHamm

53、ingHannNone0.1-0.172.8615672.301471.1903970.5552570.3537572.861560.1-0.572.8245172.2755171.1803170.5491870.349372.824510.1-172.7270472.1994671.1233270.5012170.3031572.727043-0.166.5393367.0526667.7915968.0799468.1385766.539333-0.566.5510367.0582567.7926668.0794568.1388266.551033-166.6453667.1282167.8203468.0925968.1470366.645366-0.1