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1、第64講 雙曲線
1．(經典真題)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(B)
A．11 B．9
C．5 D．3
由題意知a＝3.由雙曲線的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9.
2．(2018·銀川三模)以直線 y＝±x為漸近線的雙曲線的離心率為(C)
A．2 B.
C．2或 D.
因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
所以＝，或＝，所以c2＝4a2，或c2＝a2.
所以e＝2，或e＝.
3．(經典真題)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上
2、的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(A)
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)
＝x＋y－3＝3y－1<0，
解得－0，b>0)的一條漸近線與圓x2＋(y－a)2＝相切，則該雙曲線的離心率為(D)
A．3 B.
C. D.
漸近線方程為ax±by＝0，
由條件d＝＝， 即＝，
所以c＝3b，所以a2＝c2－b2＝9b2－b2＝8b2，所以a＝2b.
所
3、以e＝＝＝.
5．(2016·北京卷)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝ 2 .
不妨令B為雙曲線的右焦點，A在第一象限，則雙曲線如圖所示．
因為四邊形OABC為正方形，|OA|＝2，
所以c＝|OB|＝2，∠AOB＝.
因為直線OA是漸近線，方程為y＝x，
所以＝tan ∠AOB＝1，即a＝b.
又因為a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
6．(2018·湖北5月沖刺試題)平面內，線段AB的長度為10，動點P滿足|PA|＝6＋|PB|，則|PB|的最小值為__2__．
4、 以A，B所在直線為x軸，AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，
由條件知P點軌跡是以A，B為焦點，2a＝6，2c＝10的雙曲線的右支(如圖)．
當P為雙曲線的右頂點時，|PB|取最小值，
其最小值為c－a＝5－3＝2.
7．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為4，離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線的方程；
(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值．
(1)由已知c＝，設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為a，b，雙曲線的實半軸長、虛半軸長分別為m，n.
則
解得a＝7，
5、m＝3，所以b＝6，n＝2.
所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1.
(2)不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，
則|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.
8．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(B)
A. B．3
C．2 D．4
由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x.
設兩漸近線夾角為2
6、α，則有tan α＝＝，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝.
則在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.
9．(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為____．
如圖，由題意知點A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0，
所以點A到l的距離
7、d＝.
又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，所以△MAN為等邊三角形，
所以d＝MA＝b，即＝b，所以a2＝3b2，
所以e＝＝ ＝.
10．已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點(－2,0)是它的一個焦點，并且離心率為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知點M(0,1)，設P(x0，y0)是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求·的取值范圍．
(1)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，半焦距為c，則c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，
故所求雙曲線C的方程為－y2＝1.
(2)依題意有：Q(－x0，－y0)，
所以＝(x0，y0－1)，＝(－x0，－y0－1)，
所以·＝－x－y＋1，又－y＝1，
所以·＝－x＋2，由－y＝1可得，x≥3，
所以·＝－x＋2≤－2.
故·的取值范圍是(－∞，－2]．
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