2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)12 實(shí)際問題的函數(shù)建模 文（含解析）北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(十二)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·銀川模擬)國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個(gè)人的稿費(fèi)為(　　) A．3 000元　　　　　　 B．3 800元 C．3 818元 D．5 600元 B　[由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費(fèi)x的函數(shù)解析式為 y＝ 顯然稿費(fèi)應(yīng)為800＜x≤4 000，則0.14(x－800)＝420，解得x＝3 800，故選B.] 2．(2019·衡陽模擬)將出貨單價(jià)

2、為80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少20個(gè)，為了賺得最大利潤，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為(　　) A．85元 B．90元 C．95元 D．100元 C　[設(shè)每個(gè)售價(jià)定為x元，則利潤y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]， ∴當(dāng)x＝95時(shí)，y最大．]　 3．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為(　　) D　[y為“小王從出發(fā)到返回

3、原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C．又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，故排除B，故選D.] 4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0) (　　) A．3　　 B．4 C．5　　　　D．6 B　[設(shè)至少要洗x次，則x≤， ∴x≥≈3.322，因此至少需要洗4次，故選B.] 5．(2019·泰安模擬)已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢如圖所示．假設(shè)某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì))．如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品，那么他將獲

4、得的最大利潤是(　　) A．40萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．140萬元 C　[甲6元時(shí)該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20×2＝40(萬元)，乙4元時(shí)該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40×2＝80(萬元)，共獲利40＋80＝120(萬元)，故選C．] 二、填空題 6．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況． 加油時(shí)間 加油量(升) 加油時(shí)的累計(jì)里程(千米) 2018年5月1日 12 35 000 2018年5月15日

5、48 35 600 注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程． 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為______升． 8　[因?yàn)槊看味及延拖浼訚M，第二次加了48升油，說明這段時(shí)間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷6＝8(升)．] 7．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m. 20　[設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜4

6、0)，當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400.] 8．(2019·成都模擬)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 ℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí)． 24　[由已知條件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝＝＝.設(shè)該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是t小時(shí)，則t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝1

7、92×3＝24.] 三、解答題 9．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)． (1)求f(50)的值； (2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？ [解]　(1)∵甲大棚投入

8、50萬元，則乙大棚投入150萬元， ∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5萬元． (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250， 依題意得?20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝∈[2，6]，則f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 當(dāng)t＝8，即x＝128時(shí)，f(x)max＝282萬元． 所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬元． 10．(2019·太原模擬)為了迎接國慶節(jié)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃

9、使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域； (2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？ [解]　(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3. ∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.

10、 當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0. 又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)， 故y＝ (2)對(duì)于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185. 對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N*)，當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.又∵270＞185， ∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多． B組　能力提升 1．(2019·莆田模擬)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為

11、“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是 (　　) A．8　　 B．9　　　　C．10　　　　D．11 C　[設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為n， 由n＜，得n≥10， 所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”．故選C．] 2．將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再

12、過m min甲桶中的水只有 L，則m的值為(　　) A．5 B．8 C．9 D．10 A　[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln，∴f(t)＝a·， 因此，當(dāng)k min后甲桶中的水只有 L時(shí)， f(k)＝a·＝a，即＝，∴k＝10， 由題可知m＝k－5＝5，故選A．] 3．(2019·唐山模擬)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R＝a(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝R－A．那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為_

13、_______．(用常數(shù)a表示)． a2　[令t＝(t≥0)，則A＝t2， ∴D＝a－A＝at－t2＝－2＋a2， ∴當(dāng)t＝a，即A＝a2時(shí)，D取得最大值．] 4．已知某物體的溫度θ(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：min)的變化規(guī)律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多長時(shí)間，物體的溫度為5 ℃； (2)若物體的溫度總不低于2 ℃，求m的取值范圍． [解]　(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋＝， 令2t＝x(x≥1)，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝(舍去)， ∴2t＝2，即t＝1， ∴經(jīng)過1 min，物體的溫度為5 ℃. (2)物體的溫度總不低于2 ℃，即θ≥2恒成立， 即m·2t＋≥2恒成立， 亦即m≥2恒成立． 令＝x，則0