2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)20 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(二十)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)的是(　　) A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin B　[由函數(shù)的最小正周期為π，可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)知，該直線過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)于A，因?yàn)閟in＝sin π＝0，所以選項(xiàng)A不正確．對(duì)于B，sin＝sin ＝1，所以選項(xiàng)B正確，選B.] 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3

2、 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.] 3．(2018·烏魯木齊二模)若銳角φ滿足sin φ－cos φ＝，則函數(shù)f(x)＝cos2(x＋φ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) B　[由題知φ是銳角且滿足sin φ－cos φ＝，得φ＝

3、，又∵f(x)＝cos2(x＋φ)＝cos(2x＋2φ)＋＝cos＋，由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，故選B.] 4．(2018·廣州一模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍為(　　) A. B. C. D. B　[因?yàn)閤∈，所以ωx＋∈.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以(k∈Z)，解得(k∈Z)．因?yàn)棣兀?，所以k＝0，可得0＜ω≤，故選B.] 5．(2019·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝cossin x，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)＝2π B．函數(shù)f(

4、x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù) D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) D　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cossin x＝·sin x＝sin 2x－·＝(sin 2x＋cos 2x)－＝sin－，故它的最小正周期為＝π，故A錯(cuò)誤；令x＝，求得f＝－＝，為函數(shù)f(x)的最大值，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，且f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，D正確；在區(qū)間上，2x＋∈，函數(shù)f(x)＝sin－為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤， 故選D.] 二、填空題 6．(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，則φ的值為_(kāi)_______． －　[由題

5、意可知sin＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z. 又∵－＜φ＜，∴φ＝－.] 7．(2018·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_______． 　[由于f(x)≤f對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以f(x)max＝f＝cos＝1， ∴ω－＝2kπ，k∈Z. ∴ω＝8k＋，k∈Z. 又ω＞0，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ωmin＝.] 8．函數(shù)f(x)＝cos xsin－cos2x＋在閉區(qū)間上的最小值是________． －　[f(x)＝cos x－cos2x＋＝sin 2x－(2cos2x－1)＝sin 2x－co

6、s 2x＝sin，當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，則當(dāng)2x－＝－，即x＝－時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－.] 三、解答題 9．(2019·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性． [解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2.于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．注意到x∈

7、，令k＝0，得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π. (1)求當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)φ的值； (2)若f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． [解]　由f(x)的最小正周期為π，則T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(－x)＝f(x)， 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展開(kāi)整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式對(duì)?x∈R都成立， 所以cos φ＝0.因?yàn)?＜φ＜，所以φ＝. (2)因?yàn)閒＝， 所以sin＝，即＋φ＝＋2

8、kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因?yàn)?＜φ＜，所以φ＝， 即f(x)＝sin， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z) 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的遞增區(qū)間為. B組　能力提升 1．(2018·合肥二模)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)，f＝，f＝0，且f(x)在(0，π)上單調(diào)．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．ω＝ B．f＝ C．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C　[由五點(diǎn)法作圖知，為五點(diǎn)法中的第二個(gè)零點(diǎn)，則＋φ＝π　①. 又根據(jù)正弦函數(shù)的圖象

9、及已知條件知為靠近第二個(gè)零點(diǎn)的點(diǎn)，所以＋φ＝　②.由①②解得ω＝，φ＝，所以f(x)＝2sin，所以f＝，故A，B不正確；由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)閒＝－1≠0，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤，故選C.] 2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 B　[因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝－，x＝為

10、y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸， 所以·k＝(k為奇數(shù))． 又T＝，所以ω＝k(k為奇數(shù))． 又函數(shù)f(x)在上單調(diào)， 所以≤×，即ω≤12. 若ω＝11，又|φ|≤，則φ＝－，此時(shí)，f(x)＝sin，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不滿足條件． 若ω＝9，又|φ|≤，則φ＝，此時(shí)，f(x)＝sin，滿足f(x)在上單調(diào)的條件．故選B.] 3．已知函數(shù)f(x)＝cos－(ω＞0)在[0，π]上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________． 　[令t＝ωx－∈，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝cos t與y＝的圖象在上恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，注意到cos＝cos ＝cos ＝cos ＝，從而三個(gè)交點(diǎn)

11、的橫坐標(biāo)只能是－，，，所以≤ωπ－＜，解得2≤ω＜，故答案為.] 4．已知函數(shù)f(x)＝a＋b. (1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． [解]　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b. (1)當(dāng)a＝－1時(shí)， f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤， ∴－≤sin≤1，依題意知a≠0. ①當(dāng)a＞0時(shí)， ∴a＝3－3，b＝5. ②當(dāng)a＜0時(shí)， ∴a＝3－3，b＝8. 綜上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. - 7 -