2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一單元 選考內(nèi)容 第85講 不等式的證明練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第85講　不等式的證明 1．(2018·廣州二模)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，不等式f(x)≤2的解集為M. (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|＋|a－b|≤1. (1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2， 當(dāng)x≤－時，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故x＝－； 當(dāng)－

2、. 當(dāng)(a＋b)(a－b)≥0時， | a＋b |＋| a－b |＝|( a＋b)＋(a－b)|＝|2a|≤1； 當(dāng)(a＋b)( a－b)≤0時， | a＋b |＋| a－b |＝|( a＋b)－(a－b)|＝|2b|≤1； 所以當(dāng)a，b∈M時，| a＋b |＋| a－b |≤1. 2．(2018·黃石模擬)已知關(guān)于x的不等式|x－2|－|x＋3|≥|m＋1|有解，記實數(shù)m的最大值為M. (1)求M的值； (2)正數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝M，求證：＋≥1. (1)|x－2|－|x＋3|≤|(x－2)－(x＋3)|＝5， 若不等式|x－2|－|x＋3|≥|m＋1|有

3、解， 則滿足|m＋1|≤5，解得－6≤m≤4. 所以M＝4. (2)證明：由(1)知正數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝4， 所以＋＝[(a＋b)＋(b＋c)](＋) ＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c，a＋b＝2時，取等號． 3．(2017·福州市畢業(yè)班綜合質(zhì)量檢測)已知?x∈R，使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立． (1)求滿足條件的實數(shù)t的集合T； (2)若m>1，n>1，對?t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求mn的最小值． (1)令f(x)＝|x－1|－|x－2| ＝ 則－1≤f(x)≤1. 因為?x∈R使得不等式|x－1|－|x

4、－2|≥t成立， 所以t≤1，即T＝{t|t≤1}． (2)由(1)知，log3m·log3n≥1， 因為m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0， 又log3m＋log3n≥2≥2， 所以mn≥9，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝3時，取等號． 所以mn的最小值為9. 4．(2017·河北石家莊二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)設(shè)a>0,b>0,c>0,若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值． (1)f(x)＝ 畫出圖象如下圖所示． (2)由(1)知m＝， 因為＝m＝a2＋2c2＋3b2＝

5、(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc， 所以ab＋2bc≤，所以ab＋2bc的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立． 5．(經(jīng)典真題)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 因為(＋)2＝a＋b＋2， (＋)2＝c＋d＋2， 由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd，得 (＋)2>(＋)2， 所以＋>＋. (2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd， 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

6、 由(1)得＋>＋. ②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2， 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2， 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 6．(2018·鄭州三模)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值為1. (1)證明：2a＋b＝2； (2)若a＋2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的最大值． (1)證明：因為－a<， 所以f(x)＝ 顯然f(x)在(－∞，)單調(diào)遞減，在(，＋∞)單調(diào)遞增， 所以f(x)的最小值為f()＝a＋＝1，即2a＋b＝2. (2)因為a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立， ＝＋＝(＋)(2a＋b)＝(5＋＋)≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，取得最小值， 所以t≤，即實數(shù)t的最大值為. 4