2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習 理（含解析）新人教A版

《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習 理（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第51講　空間幾何體的表面積與體積 1．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B) A．90π B．63π C．42π D．36π (方法1：割補法) 由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故選B. (方法2：估值法)由題意知，V圓柱

2、柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π

3、D．54 由等邊△ABC的面積為9可得AB2＝9， 所以AB＝6， 所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2. 設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2. 所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18. 4．(2017·長沙市一中二模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為(A) A．8＋8＋4 B．8＋8＋2 C．2＋2＋ D.＋＋ 將三視圖還原為空間幾何體，如圖，四面體D-ABC. 因為S△ABC＝×2×4＝4， S△

4、BCD＝×2×4＝4， S△DAC＝×4×2＝4， S△ABD＝×4×4＝8. 所以四面體的表面積為S＝S△ABC＋S△BCD＋S△DAC＋S△ABD＝8＋8＋4. 5．(2017·山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為　2＋　. 　　 該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構成， 所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 6．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側面積為__40π_

5、_． 如圖，因為SA與底面成45°角， 所以△SAO為等腰直角三角形． 設OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝， 所以S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB ＝(r)2·＝5， 解得r＝2， 所以SA＝r＝4，即母線長l＝4， 所以S圓錐側＝πr·l＝π×2×4＝40π. 7．如圖，是一個獎杯的三視圖(單位：cm)，底座是正四棱臺． (1)求這個獎杯的體積(π取3.14)； (2)求這個獎杯的底座的側面積． (1)球的體積V球＝πr3＝36π， 圓柱的體積V圓柱＝Sh1＝64π， 正四棱臺的體積是

6、 V正四棱臺＝h2(S上＋S下＋)＝336， 所以此幾何體的體積是V＝36π＋64π＋336＝100π＋336＝650(cm3)． (2)因為底座是正四棱臺， 所以它的斜高是h′＝＝5， 所以它的側面積是 S側＝4××(6＋12)×5＝180 (cm2)． 8．(2018·惠州9月月考)若一個四棱錐底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形的中心，該四棱錐的體積為9，當其外接球表面積最小時，它的高為(A) A．3 B．2 C．2 D．3 此四棱錐為正四棱錐，設此四棱錐的底面邊長為a，高為h， 則a2h＝9，則a2＝， 再設其外接球的半徑為R，則在△COE中

7、， R2＝(h－R)2＋(a)2， 所以R＝＝＋＝＋. 設f(h)＝＋，則f′(h)＝－， 令f′(h)＝0，解得h＝3，分析可知f(h)在h＝3時有最小值，故選A. 9．(2016·浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是　　　. 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝ ＝2. 設CD＝x，則AD＝2－x， 所以PD＝2－x， 所以VP-BCD＝S△BCD·h≤×BC·CDsin 30°·PD ＝×2x××(2－x)

8、 ＝x(2－x)≤()2 ＝×()2＝， 當且僅當x＝2－x，即x＝時取“＝”， 此時PD＝，BD＝1，PB＝2，滿足題意． 10．(2017·全國卷Ⅰ選擇題改編)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，求所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值． 如圖，連接OD，交BC于點G， 由題意，知OD⊥BC，OG＝BC. 設OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x， 三棱錐的高h＝ ＝＝， S△ABC＝×2x×3x＝3x2， 則三棱錐的體積 V＝S△ABC·h＝x2·＝·. 令f(x)＝25x4－10x5，x∈(0，)， 則f′(x)＝100x3－50x4. 令f′(x)＝0得x＝2.當x∈(0,2)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，當x∈(2，)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減． 故當x＝2時，f(x)取得最大值80，則V≤×＝4. 所以三棱錐體積的最大值為4 cm3. 7