2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題 規(guī)范練（第五周）理

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1、每日一題　規(guī)范練(第五周) [題目1] 已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公比q＝2，且S2＝3，等差數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b2＝a3，b3＝－b5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn的最大值． 解：(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}滿(mǎn)足公比q＝2，前2項(xiàng)和S2＝3， 所以S2＝a1＋a2＝a1＋2a1＝3，解得a1＝1， 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. (2)由題及(1)知，b2＝a3＝4. 因?yàn)閎3＋b5＝0，所以b4＝0， 則數(shù)列{bn}的公差d＝＝－2＜0， 故當(dāng)n＝3或4時(shí)，Tn取得最大值， 此時(shí)T3＝T4＝b1＋b

2、2＋b3＝3b2＝12. [題目2] 如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，AD＝，BC＝2，AC＝3. (1)求邊AB的長(zhǎng)及cos ∠ABC的值； (2)若記∠ABC＝α，求sin的值． 解：(1)在△ABD中，∠ABD＝180°－(45°＋105°)＝30°， 由＝， 得AB＝＝×＝. 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC， 所以32＝3＋22－2×2cos ∠ABC， 所以cos ∠ABC＝－. (2)由(1)知cos α＝－，α∈， 所以sin α＝＝，sin 2α＝－， cos 2α ＝－.

3、所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝. [題目3] (2019·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)檢測(cè))某公司為評(píng)估兩套促銷(xiāo)活動(dòng)方案(方案1的運(yùn)作費(fèi)用為5元/件；方案2的運(yùn)作費(fèi)用為2元/件)，在某地區(qū)部分營(yíng)銷(xiāo)網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn)(每個(gè)試點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)只采用一種促銷(xiāo)活動(dòng)方案)，運(yùn)作一年后，對(duì)比該地區(qū)上一年度的銷(xiāo)售情況，制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示． (1)請(qǐng)根據(jù)等高條形圖提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷(xiāo)活動(dòng)方案(不必說(shuō)明理由)； (2)已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件(未包括促銷(xiāo)活動(dòng)運(yùn)作費(fèi)用)，為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格，統(tǒng)計(jì)上一年度的8組售價(jià)xi(單元：元/件，整數(shù))和銷(xiāo)售yi

4、(單位：件)(i＝1，2，…，8)如下表所示： 售價(jià) 33 35 37 39 41 43 45 47 銷(xiāo)量 840 800 740 695 640 580 525 460 ①請(qǐng)根據(jù)下列數(shù)據(jù)計(jì)算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R2，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果，選擇合適的回歸模型進(jìn)行擬合； ②根據(jù)所選回歸模型，分析售價(jià)x定為多少時(shí)？利潤(rùn)z可以達(dá)到最大． 項(xiàng)目 ＝－1 200ln x＋5 000 ＝－27x＋1 700 ＝－x2＋1 200 52 446.95 13 142 122.89 124 650 附：相關(guān)指數(shù)R2＝1－. 解：(1)由等高條形圖可知，

5、年度平均銷(xiāo)售額與方案1的運(yùn)作相關(guān)性強(qiáng)于方案2. (2)①由已知數(shù)據(jù)可知，回歸模型＝－1 200ln x＋5 000對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R＝0.579 2； 回歸模型＝－27x＋1 700對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R＝0.894 6； 回歸模型＝－x2＋1 200對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R＝0.999 0. 因?yàn)镽＞R＞R，所以采用回歸模型＝－x2＋1 200進(jìn)行擬合最為合適． ②由(1)可知，采用方案1的運(yùn)作效果比方案2好， 故利潤(rùn)z＝(x－15)， z′＝－(x＋30)(x－40)， 當(dāng)x∈(0，40)時(shí)，z′＞0，z＝(x－15)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(40，＋∞)時(shí)，z′＜0，z＝(x－15)單調(diào)遞減

6、， 故當(dāng)售價(jià)x＝40時(shí)，利潤(rùn)z達(dá)到最大． [題目4] 如圖，四邊形ABCD是菱形，EA⊥平面ABCD，EF∥AC，CF∥平面BDE，G是AB中點(diǎn)． (1)求證：EG∥平面BCF； (2)若AE＝AB，∠BAD＝60°，求二面角A-BE-D的余弦值． (1)證明：設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，OG. 因?yàn)镚是AB中點(diǎn)，O是AC，BD的中點(diǎn)， 所以O(shè)G∥BC. 又OG?平面BCF，知OG∥平面BCF. 因?yàn)镃F∥平面BDE，且平面BDE∩平面ACFE＝EO， 所以EO∥CF. 由EO?平面BCF，知EO∥平面BCF. 又EO∩OG＝O，所以平面EOG∥平面BCF.

7、又EG?平面EOG，故EG∥平面BCF. (2)解：由(1)知EO∥CF，AO＝OC， 又EF∥AC，所以EFOA. 則四邊形AOFE為平行四邊形，所以AE∥FO. 又EA⊥底面ABCD，AC⊥BD， 則OA，OB，OF兩兩垂直． 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)AE＝AB＝2， 又因?yàn)椤螧AD＝60°，所以DG⊥AB，OA＝，OB＝1，則 E＝(，0，2)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，G， 所以＝(0，2，0)，＝(，－1，2)． 設(shè)平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， 得可取n＝(2，0，－)． 因?yàn)镋A⊥DG，EA∩AB＝A，所以DG⊥平面EA

8、B， 所以平面EAB的法向量可取＝. 所以cos〈n，〉＝＝＝. 所以二面角A-BE-D的余弦值為. [題目5] 已知函數(shù)f(x)＝－ax2＋ex－1. (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為e，求a的值； (2)求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0. (1)解：由函數(shù)f(x)＝－ax2＋ex－1，可得f′(x)＝ex－2ax. 因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為e， 所以f′(1)＝e－2a＝e， 所以a＝0. (2)證明：由(1)知，f′(x)＝ex－2ax. 令h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝ex－2a. ①當(dāng)0≤a

9、≤時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以f′(x)＞f′(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 因此f(x)＞f(0)＝0，滿(mǎn)足題意． ②當(dāng)＜a≤時(shí)，令h′(x)＝ex－2a＝0，解得x＝ln 2a. 當(dāng)x∈(0，ln 2a)時(shí)，h′(x)＜0，f′(x)＝h(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(ln 2a，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，f′(x)＝h(x)單調(diào)遞增． 所以f′(x)min＝f′(ln 2a)＝eln 2a－2aln 2a＝2a(1－ln 2a)． 因?yàn)閍≤，所以1－ln 2a≥0，所以f′(x)min≥0， 所以f(x)在(0，＋

10、∞)上單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)＝0，滿(mǎn)足題意． 綜上，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0. [題目6] 設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b，0)，且|FB|·|AB|＝6. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx(k＞0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于Q.若＝sin ∠AOQ(O為原點(diǎn))，求k的值． 解：(1)設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為2c，由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b， 由|FB|·|AB|＝6， 可得ab＝6，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓

11、的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2，y2)． 由已知，y1＞y2＞0. 故|PQ|sin ∠AOQ＝y(tǒng)1－y2. 又因?yàn)閨AQ|＝，而∠OAB＝， 故|AQ|＝y(tǒng)2. 由＝sin ∠AOQ，可得5y1＝9y2. 由方程組消去x，可得y1＝. 易知直線AB的方程為x＋y－2＝0， 由方程組消去x，可得y2＝. 代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3， 將等式兩邊平方，整理得56k2－50k＋11＝0， 解之得k＝或k＝. 故實(shí)數(shù)k的值為或. [題目7] 1.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1

12、的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (1)求圓C1的普通方程和圓C2的直角坐標(biāo)方程； (2)判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系． 解：(1)由圓C1的參數(shù)方程(α為參數(shù))， 得圓C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4. 由圓C2的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos，可得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 轉(zhuǎn)換為圓C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x－2y， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. (2)由(1)知，圓C1的半徑r1＝2，圓心坐標(biāo)為(0，2)， 圓C2的半徑r2＝，圓心坐標(biāo)為(1，－1)， 所以圓心距d

13、＝＝， 所以r1－r2＝2－＜，r1＋r2＝2＋＞， 所以圓C1與C2相交． 2．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)若關(guān)于x的不等式f(x)＞a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)解不等式f(x)＜x2－2x. 解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝ 故f(x)的值域?yàn)閇－3，3]， 所以f(x)的最大值是3， 若f(x)＞a成立有解，則有a＜f(x)max，即a＜3， 所以a的取值范圍是(－∞，3)． (2)當(dāng)x≤－1時(shí)，x2－2x＞3，得x＜－1； 當(dāng)－1＜x＜2時(shí)，x2－2x＞－2x＋1，得1＜x＜2； 當(dāng)x≥2時(shí)，x2－2x＞－3，得x≥2. 綜上，不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． - 7 -