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1、第66講 曲線與方程
1．已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足·＝x2，則點P的軌跡是(D)
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，因為·＝x2，所以(－2－x)·(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.
2．已知F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡是(A)
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．線段
由于|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2，所以P點軌跡為橢圓．
3．曲線f(x，y)＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱曲線的方程
2、是(D)
A．f(x＋2，y)＝0 B．f(x－2，y)＝0
C．f(y＋2，x－2)＝0 D．f(y－2，x＋2)＝0
設(x0，y0)是f(x，y)＝0上任一點，它關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為(x，y)，則
解得
又f(x0，y0)＝0，所以f(y－2，x＋2)＝0.
4．設A1、A2是橢圓＋＝1長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為(C)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
設交點為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)．
因為A1、P1
3、，P三點共線，所以＝，①
因為A2、P2，P三點共線，所以＝，②
解①②得x0＝，y0＝，代入＋＝1，
化簡得－＝1.
5．在圓x2＋y2＝9中，過已知點P(1,2)的弦的中點的軌跡方程為 (x－)2＋(y－1)2＝ .
設弦的中點為M，則OM⊥PM.
所以M在以OP為直徑的圓上，
故所求軌跡方程為(x－)2＋(y－1)2＝.
6．在平面直角坐標系xOy中，已知圓在x軸上截得的線段長為2，在y軸上截得的線段長為2，則圓心P的軌跡方程為 y2－x2＝1 .
設P(x，y)，圓P的半徑為r.
由題意y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3，
所以P點的軌跡方
4、程為y2－x2＝1.
7．(2017·全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝ .
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設點Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，
則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ 得x0＝x，y0＝y(tǒng).
因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.
(2)由題意知F(－1,0)．設Q(－3，t)，P(m，n)，則
＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m
5、－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
8．點P是以F1、F2為焦點的橢圓上的一點，過焦點F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點M，則點M的軌跡是(D)
A．拋物線 B．橢圓
C．雙曲線 D．圓
連接OM，延長F2M交F1P的延長線于點Q，
則|PQ|＝|PF2|.
所以|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.
因為OM
6、為△F1F2Q的中位線，
所以|OM|＝|QF1|＝a.
因此點M的軌跡是圓．故選D.
9．(2016·廣東佛山六校聯(lián)考)已知A(3,2)，B(1,0)，P(x，y)滿足＝x1＋x2(O為坐標原點)，若x1＋x2＝1，則P點坐標滿足的方程為 x－y－1＝0 .
因為＝x1＋x2，
所以(x，y)＝(3x1,2x1)＋(x2,0)＝(3x1＋x2,2x1)，
所以x＝3x1＋x2，y＝2x1，所以x－y＝x1＋x2＝1，
故P點坐標滿足的方程為x－y－1＝0.
10．(2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交
7、C的準線于P，Q兩點．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．
由題意知F(，0)，
設直線l1的方程為y＝a，直線l2的方程為y＝b，
則ab≠0，且A(，a)，B(，b)，P(－，a)，
Q(－，b)，R(－，)．
記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.
記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)設l與x軸的交點為D(x1,0)，
則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，
S△PQF＝.
由題意可得|b－a||x1－|＝，
所以x1＝0(舍去)，x1＝1.
設滿足條件的AB的中點為E(x，y)．
當AB與x軸不垂直時，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．
當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1.
所以所求的軌跡方程為y2＝x－1.
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