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1、專題8 數(shù)學(xué)思想方法選講
專題復(fù)習(xí)檢測
A卷
1．如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么( )
A．a(chǎn)1a8>a4a5 B．a(chǎn)1a8a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a5
【答案】B
【解析】取特殊數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,8，顯然只有1×8<4×5成立，即a1a8
2、b|，所以＝2.
3．設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[3,10] D．[3,11]
【答案】D
【解析】＝1＋，令z＝，z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點M(－1，－1)連線的斜率．如圖，A，B(0，4)，z的值滿足kMA≤z≤kMB，kMA＝1，kMB＝5，故1≤z≤5，所以3≤≤11.
4．由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a)，則實數(shù)a的取值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
【答案】C
【解析】命題“存在x0∈R，使e
3、|x0－1|－m≤0”是假命題，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命題，可得m的取值范圍是(－∞，1)，故a＝1.
5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}
C．(－∞，1) D．(－∞，2)
【答案】B
【解析】由于|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋對任意的實數(shù)x恒成立，等價于4≥a＋，得a＜0 或解得a＜0，或a＝2.故選B．
6．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于
4、A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.
【答案】2
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知直線AB的方程為y＝x－，代入y2＝2px消去y后，得x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p.又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.
7．(2019年寧夏石嘴山三中二模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A的大小為________．
【答案】
【解析】由sin C＝2sin B及正弦定理，得c＝2b.由a2－b2＝bc，得a2＝7b2.再由余弦定理，得cos A＝＝＝，故A＝.
8．若函
5、數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________.
【答案】
【解析】若a>1，有a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此時g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意；若0
6、點，即函數(shù)φ(x)＝g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．
∵φ(x)＝x2－8x＋6ln x＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝(x>0)．
當(dāng)x∈(0,1)時，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(1,3)時，φ′(x)<0，φ(x)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(3，＋∞)時，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；
當(dāng)x＝1或x＝3時，φ′(x)＝0.
∴φ(x)極大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)極小值＝φ(3)＝m＋6ln 3－15.
∵當(dāng)x充分接近0時，φ(x)<0，當(dāng)x充分大時，φ(x)>0，
∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必
7、須且只需即7
8、3，公比為2的等比數(shù)列．
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2.
當(dāng)n＝1時，a1＝a不適合上式，
故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2.
當(dāng)n≥2時，由an＋1≥an，得12·n－2＋a－3≥0，解得a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，滿足條件．
綜上，a的取值范圍是[－9，＋∞)．
B卷
11．過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交
9、雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有( )
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
【答案】C
【解析】因為雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，所以當(dāng)直線l與雙曲線左、右兩支各有一個交點時，過雙曲線的右焦點一定有兩條直線滿足條件要求；當(dāng)直線l與實軸垂直時，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此時直線AB的長度是4，即只與雙曲線右支有兩個交點的所截弦長為4的直線僅有一條．綜上，有3條直線滿足|AB|＝4.
12．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件的材料
10、利用率為( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由三視圖知該幾何體是一個底面半徑為r＝1，母線長為l＝3的圓錐，則圓錐的高為h＝＝2.由題意知加工成的體積最大的正方體ABCD－A1B1C1D1的一個底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過平面AA1C1C的軸截面如圖所示(平面轉(zhuǎn)化很重要，這是由形到數(shù)的關(guān)鍵所在)．設(shè)正方體的棱長為x，則有＝，即＝，解得x＝.所以原工件的材料利用率為＝＝.
13．若函數(shù)f(x)＝x＋asin x在R內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】[－1,1]
【解析】∵f′(x)＝1＋acos x，∴要使函數(shù)f(
11、x)＝x＋asin x在R內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)＝1＋acos x≥0對任意實數(shù)x都成立．∵－1≤cos x≤1，∴－1≤a≤1.
14．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求證：0＜f(x)≤1；
(2)當(dāng)x＞0時，不等式f(x)＞恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)證明：設(shè)g(x)＝xex＋1，則g′(x)＝(x＋1)ex.
當(dāng)x∈(－∞，－1)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增．
所以g(x)≥g(－1)＝1－e－1＞0.
又ex＞0，故f(x)＞0.
f′(x)＝.
當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)
12、＞0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．
所以f(x)≤f(0)＝1.
綜上，有0＜f(x)≤1.
(2)①若a＝0，則當(dāng)x>0時，f(x)＜1＝，不等式不成立．
②若a＜0，則當(dāng)0＜x＜時，＞1，不等式不成立．
③若a＞0，則f(x)＞等價于(ax2－x＋1)ex－1＞0.(*)
設(shè)h(x)＝(ax2－x＋1)ex－1，則h′(x)＝x(ax＋2a－1)ex.
若a≥，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)>h(0)＝0.
若0
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