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1、每日一題 規(guī)范練(第一周)
[題目1] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若m=,n=,且m·n=.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,三角形面積S=,求b+c的值.
解:(1)因為m=,
n=,且m·n=,
所以-cos2+sin2=,則cos A=-.
又A∈(0,π),
所以A=π.
(2)S△ABC=bcsin A=,所以bc=4,
又由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=b2+c2+bc,
所以(b+c)2=16,故b+c=4.
[題目2] 在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a1,a4,a8成等比數(shù)列,數(shù)列{an}的
2、前10項和為45.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a1,a4,a8成等比數(shù)列可得,a=a1·a8,(a1+3d)2=a1(a1+7d),
所以a+6a1d+9d2=a+7a1d.
因為d≠0,所以a1=9d.
由數(shù)列{an}的前10項和為45,得S10=10a1+45d=45,
則90d+45d=45,
故d=,a1=9×=3.
因此數(shù)列{an}的通項公式an=.
(2)bn===9.
所以Tn=9(-+-+-+…+-)=9=1-=.
[題目3] 某市在2019年
3、2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,全市10 000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(120,25),現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析,結(jié)果這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分至145分之間,現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組[85,95),第二組[95,105),…,第六組[135,145],得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試估計該校數(shù)學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù);
(2)若從這50名學(xué)生中成績在125分(含125分)以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在全市前13名的人數(shù)記為X,求X的分布列和期望.
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,
P(μ-
4、2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.
解:(1)由頻率分布直方圖可知[125,135)的頻率為1-(0.010×10+0.024×10+0.030×10+0.016×10+0.008×10)=0.12.
所以估計該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).
(2)由于=0.001 3,根據(jù)正態(tài)分布得P(120-3×5<X<120+3×5)=0.997 4.
故P(X≥135)==0.001 3,
即0.001 3×10 000=13.
5、
所以前13名的成績?nèi)吭?35分以上.
根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績在135分以上(包括135分)的有50×0.08=4人,而在[125,145]的學(xué)生有50×(0.12+0.08)=10(人).
所以X的取值為0,1,2,3.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列為:
X
0
1
2
3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.
[題目4] 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,
AB=2AD=2CD=2
6、.E是PB的中點.
(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
(1)證明:因為PC⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以AC⊥PC.
因為AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=.
所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC.
因為AC?平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.
(2)解:如圖,以C為原點,取AB的中點F,,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).
設(shè)P(0,0
7、,a),(a>0),
則E.
所以=(1,1,0),=(0,0,a),=.
取m=(1,-1,0),則m·=m·=0,
所以m=(1,-1,0)為平面PAC的法向量.
設(shè)n=(x,y,z)為平面EAC的法向量,
則n·=n·=0,
所以則
取z=-2,得一個法向量n=(a,-a,-2).
依題意|cos〈m,n〉|===,則a=2.
于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2).
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,
則sin θ=|cos〈·n〉|==,
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.
[題目5] 設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1
8、,F(xiàn)2,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若橢圓E的離心率為,△ABF2的周長為4.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C,D,設(shè)弦AB,CD的中點分別為M,N,證明:O,M,N三點共線.
(1)解:由題意知,4a=4,a=.
又e=,所以c=,b=,
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)證明:當(dāng)直線AB,CD的斜率不存在時,由橢圓的對稱性知,中點M,N在x軸上,O,M,N三點共線;
當(dāng)直線AB,CD的斜率存在時,設(shè)其斜率為k,且設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
則兩式相減,得+-=0.
所以=-,
=-
9、,
所以·=-,·=-.
則k·kOM=-,所以kOM=-.
同理可得kON=-.
所以kOM=kON,從而點O,M,N三點共線.
[題目6] 已知函數(shù)f(x)=(a-x)ex-1,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)設(shè)g(x)=(x-t)2+,當(dāng)a=1時,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使方程f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的最小值.
解:(1)由f(x)=(a-x)ex-1,得f′(x)=(a-1-x)ex.
令f′(x)=0,則(a-1-x)ex=0,所以x=a-1.
當(dāng)x∈(-∞,a-1)時,f′(x)>0;
當(dāng)x∈(a-
10、1,+∞)時,f′(x)<0,
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a-1),
單調(diào)遞減區(qū)間為(a-1,+∞).
所以當(dāng)x=a-1時,函數(shù)f(x)有極大值且為f(a-1)=ea-1-1,f(x)沒有極小值.
(2)當(dāng)a=1時,由(1)知,函數(shù)f(x)在x=a-1=0處有最大值f(0)=e0-1=0.
又因為g(x)=(x-t)2+≥0,
所以方程f(x1)=g(x2)有解,
必然存在x2∈(0,+∞),使g(x2)=0,
所以x=t,ln x=,
等價于方程ln x=有解,即m=xln x在(0,+∞)上有解.
記h(x)=xln x,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=ln
11、 x+1,令h′(x)=0,得x=.
當(dāng)x∈時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=時,h(x)min=-,
所以實數(shù)m的最小值為-.
[題目7] 1.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sin θ-2cos θ=,求曲線C上的點到直線l的最大距離.
解:(1)由,消去α,得(x-3)2+(y-1)2=4,
將代入得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ-1)2=4,
12、
化簡得ρ2-6ρcos θ-2ρsin θ+6=0.
(2)由sin θ-2cos θ=,得ρsin θ-2ρcos θ=1,
即2x-y+1=0.
圓心C(3,1)到直線2x-y+1=0的距離d==,
所以C上點到直線的最大距離為d+r=+2.
2.[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-n|,m,n∈(0,+∞).
(1)若m=2,n=3,求不等式f(x)>5的解集;
(2)若f(x)≥1恒成立,求2m+n的最小值.
解:(1)若m=2,n=3,則f(x)=|x+2|+|2x-3|.
①當(dāng)x≤-2時,-x-2-2x+3>5,得x<-,所以x≤-2.
②當(dāng)-2<x<時,x+2-2x+3>5,得x<0,
所以-2<x<0.
③當(dāng)x≥時,x+2+2x-3>5,得x>2,所以x>2.
綜上,不等式解集為(-∞,0)∪(2,+∞).
(2)|x+m|+|2x-n|=|x+m|++≥|x+m|+≥=m+.
依題意,有m+≥1,即2m+n≥2.
故2m+n的最小值為2.
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