2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺經(jīng)典專題 第二編 講專題 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習(xí) 文

《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺經(jīng)典專題 第二編 講專題 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習(xí) 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺經(jīng)典專題 第二編 講專題 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習(xí) 文（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　概率 「考情研析」　1.互斥事件、對立事件的概率公式是每年高考的熱點，既有單獨命題，也有與其他概率知識綜合命題．題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度中等．　2.對古典概型的直接考查是每年高考的重點，題型為選擇題、填空題，有時也與統(tǒng)計結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，難度適中，屬中檔題．　3.與長度、面積有關(guān)的幾何概型是每年高考的重點，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬于基礎(chǔ)題. 核心知識回顧 1.互斥事件與對立事件 (1)事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (2)在一次試驗中，對立事件

2、A和不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，因此有P()＝1－P(A)． 2．古典概型 (1)古典概型的概率公式 P(A)＝. (2)古典概型的兩個特點 ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．幾何概型 (1)幾何概型的概率公式 P(A)＝. (2)幾何概型應(yīng)滿足的兩個條件 ①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個； ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 熱點考向探究 考向1 互斥事件與對立事件 例1　(2019·咸陽市高三模擬檢測(一))(1)某校高三(1)班50名學(xué)生參加1500 m體能測試，其中23人成績?yōu)锳，其余人成

3、績都是B或C．從這50名學(xué)生中任意抽取1人，若抽得成績是B的概率是0.4，則抽得成績是C的概率是(　　) A．0.14 B．0.20 C．0.40 D．0.60 答案　A 解析　由于成績是A的有23人，抽得成績是B的概率是0.4，故抽到成績是C的概率為1－－0.4＝0.14. (2)(2019·漢中市高三年級教學(xué)質(zhì)量第二次檢測)一次數(shù)學(xué)考試中，4位同學(xué)各自在選做題第22題和第23題中任選一題作答，則至少有1人選做第23題的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　記這4位同學(xué)選做第23題的事件分別為A，B，C，D，不選做第23題(即選做第

4、22題)的事件分別為，，，.則這4位同學(xué)在第22題和第23題中任選一題作答，所以情況為：(A，B，C，D)，(，B，C，D)，(A，，C，D)，(A，B，，D)，(A，B，C，)，(，，C，D)，(，B，，D)，(，B，C，)，(A，，，D)，(A，，C，)，(A，B，，)，(，，，D)，(，，C，)，(，B，，)，(A，，，)，(，，，)，共16種，其中，都不選做第23題的為(，，，)，共1種，故都不選做第23題的概率為，由對立事件的概率公式知，至少有1人選做第23題的概率為1－＝.故選D． 互斥事件、對立事件概率的求法 (1)解決此類問題，首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析

5、出是不是互斥事件或?qū)α⑹录?，再選擇概率公式進行計算． (2)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： ①直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算； ②間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運用正難則反的數(shù)學(xué)思想．特別是“至多”“至少”型問題，用間接法就顯得較簡便． 1．如果事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為________． 答案　0.16 解析　∵P(A)＋P(B)＝0.64，P(B)＝3P(A)， ∴P(A

6、)＝0.16. 2．投擲一枚骰子，若事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件A∪發(fā)生的概率為________． 答案　 解析　由于事件總數(shù)為6，故P(A)＝＝，P(B)＝＝，從而P()＝1－P(B)＝，又A與互斥，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝. 考向2 古典概型 例2　某校有包括甲、乙兩人在內(nèi)的5名大學(xué)生自愿參加該校舉行的A，B兩場國際學(xué)術(shù)交流會的服務(wù)工作，這5名大學(xué)生中有2名被分配到A場交流會，另外3名被分配到B場交流會，如果分配方式是隨機的，則甲、乙兩人被分配到同一場交流會的概率為________． 答案　 解析　記其余3名大學(xué)生分別

7、為丙、丁、戊，則5名大學(xué)生分別被分配到A場交流會、B場交流會的所有基本事件有： ①A(甲、乙)，余下的人分配到B場交流會，下同， ②A(甲、丙)，③A(甲、丁)，④A(甲、戊)，⑤A(乙、丙)，⑥A(乙、丁)，⑦A(乙、戊)，⑧A(丙、丁)，⑨A(丙、戊)，⑩A(丁、戊)，共10個，其中甲、乙兩人被分配到同一場交流會的基本事件是：①⑧⑨⑩，故所求概率為＝. 定義法求解古典概型的關(guān)鍵 定義法求解古典概型的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解基本事件空間與所求事件包含的基本事件的個數(shù)，而求解事件個數(shù)的主要方法是列舉法，列舉時需注意兩個方面：一是確定抽取是否有“序”；二是確定列舉法寫出所有基本事件的一個順

8、序. 1．(2019·安徽江淮十校高三第三次聯(lián)考)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈屏”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　甲、乙兩人猜數(shù)字時互不影響，故各有5種可能，故基本事件有25種，“心有靈犀”的情況包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共1

9、3種，故他們“心有靈犀”的概率為. 2．(2019·瀘州市瀘縣第一中學(xué)高三三診模擬)學(xué)校根據(jù)課程計劃擬定同時實施“科普之旅”和“紅色之旅”兩個主題的研學(xué)旅行，現(xiàn)在小芳和小敏都已經(jīng)報名參加此次的研學(xué)旅行，則兩人選擇的恰好是同一研學(xué)旅行主題的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　記“科普之旅”和“紅色之旅”兩個研學(xué)旅行主題分別為A，B，則小芳和小敏的報名方法有(A，B)，(B，A)，(A，A)，(B，B)，共4種，其中兩人選擇的恰好是同一研學(xué)旅行主題的有(A，A)，(B，B)，共2種，因此所求概率為＝，選B． 考向3 　幾何概型 例3　(1)(2019

10、·湖北省八市(黃石市、仙桃市…黃岡市高三聯(lián)合考試)把不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記為[x]，則函數(shù)f(x)＝[x]稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在[2,5]上任取x，則[x]＝[]的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　當(dāng)2≤x＜3時，[x]＝[]＝2； 當(dāng)3≤x＜4時，[x]＝3，[]＝2； 當(dāng)4≤x＜4.5時，[x]＝4，[]＝2； 當(dāng)4.5≤x＜5時，[x]＝4，[]＝3. 符合條件的x∈[2,3)，由長度比可得，[x]＝[]的概率為＝.故選B． (2)(2019·太原市高三一模)在平面區(qū)域 內(nèi)任取一點P(x，y)，則存在α∈R，使得點P的坐標(biāo)(

11、x，y)滿足(x－2)cosα＋ysinα－＝0的概率為(　　) A．1－ B． C．－ D．1－ 答案　A 解析　畫出平面區(qū)域圖中△OBA邊界及內(nèi)部是所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示： (x－2)cosα＋ysinα－＝0 ? sin(α＋φ)＝ ? ≥，它表示在已知平面區(qū)域內(nèi)，圓心(2,0)，半徑為的圓外(包括圓周)，如圖所示． 解方程組? ?B，S△OAB＝×OA×|yB|＝， 在已知平面區(qū)域內(nèi)，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為的圓內(nèi)(包括圓周)的面積為S1，S1＝＝，所求的概率P＝＝1－，故選A． 幾何概型三種常見類型及判斷方法 (1)與長度

12、有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)； (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型．關(guān)鍵是看事件的構(gòu)成是否與體積有關(guān)． 1．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，則sinx＋cosx∈[1，]的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由sinx＋cosx＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，因為x∈，所以在區(qū)間內(nèi)，滿足sin∈的x∈，故要求的概率為＝.故選B． 2．(2019

13、·云南昆明模擬)設(shè)實數(shù)x，y滿足x2＋(y－1)2≤1，則x－y＋2≤0的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如圖，直線x－y＋2＝0與圓x2＋(y－1)2＝1交于A(0,2)，B(－1，1)兩點，則x－y＋2≤0的概率P＝＝＝，故選C． 3．在棱長為2的正方體內(nèi)任取一點，則該點到正方體中心的距離不大于1的概率為________． 答案　 解析　正方體體積V1＝23＝8，滿足要求的點構(gòu)成的圖形為球．體積V2＝×13＝，所以概率P＝＝＝. 真題押題 『真題模擬』 1．(2019·全國卷Ⅱ)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)．若從這

14、5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　設(shè)5只兔子中測量過某項指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，

15、b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為＝.故選B． 2. (2019·青島市高三教學(xué)質(zhì)量檢測)部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形．謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出．具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程得到如圖所示的圖案，若向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由題圖可知，黑色部分由9個小三角形組成，該圖案可看作由16個小三角形

16、組成，設(shè)“向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分”為事件A，由幾何概型中的面積型可得P(A)＝＝，故選B． 3．(2019·赤峰市高三模擬)我們可以用隨機數(shù)法估計π的值，如圖所示的程序框圖表示其基本步驟(函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)，它能隨機產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個實數(shù))，若輸出的結(jié)果為784，則由此可估計π的近似值為(　　) A．3.119 B．3.124 C．3.136 D．3.151 答案　C 解析　根據(jù)已知程序框圖可以得到，該程序的功能是利用隨機模擬的方法任取(0,1)內(nèi)的兩個數(shù)x，y，將這兩個數(shù)看作平面區(qū)域內(nèi)的一個點(x，y)，該點落在x2＋y2<1的概

17、率為；計數(shù)變量m表示計算該點落入平面區(qū)域x2＋y2<1的次數(shù)，因為輸出的結(jié)果為784，所以在1000次中共有784次該點落入在平面區(qū)域x2＋y2<1內(nèi)，根據(jù)古典概型概率計算公式可得P＝，所以有≈，故π≈3.136，故選C． 4．(2019·江蘇高考)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________． 答案　 解析　解法一：設(shè)3名男同學(xué)分別為A，B，C,2名女同學(xué)分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本事件分別為Aa，A

18、b，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為. 解法二：同解法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學(xué)中沒有女同學(xué)包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1－＝. 『金版押題』 5．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽所著《周髀算經(jīng)注》中給出了勾股定理的絕妙證明，如圖是趙爽的弦圖及注文．弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅(朱)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實，化簡，得勾2＋股2＝弦2.設(shè)勾股中勾股比為1∶，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計)，則

19、落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為(　　) A．866 B．500 C．300 D．134 答案　D 解析　設(shè)勾為a，則股為a，弦為2a，所以題圖中大四邊形的面積為4a2，小四邊形的面積為(－1)2a2＝(4－2)a2.由測度比為面積比，可得圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為＝1－.故落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000×≈134.故選D． 6．有一長、寬分別為50 m、30 m的游泳池，一名工作人員在池邊巡視，某時刻出現(xiàn)在池邊任一位置的可能性相同．一人在池中心(對角線交點)處呼喚工作人員，其聲音可傳出15 m，則工作人員能及時聽到呼喚聲(出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域)的概率是(　　)

20、A． B． C． D． 答案　B 解析　當(dāng)該人在池中心位置時，呼喚工作人員的聲音可以傳出15 m，那么當(dāng)在如圖所示的三角形范圍的池邊時，工作人員才能及時聽到呼喚聲． 所有可能結(jié)果用周長160表示，事件發(fā)生的結(jié)果可用兩條線段的長度和60表示，故P＝＝.故選B． 配套作業(yè) 一、選擇題 1．若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由題意知 所以解得可得＜a≤.故選D． 2．(2019·重慶市高三學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測二診)將甲、乙、丙三名

21、學(xué)生隨機分到兩個不同的班級，每個班至少分到一名學(xué)生，則甲、乙兩名學(xué)生分到同一班級的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　將甲、乙、丙三名學(xué)生隨機分到兩個不同的班級，每個班至少分到一名學(xué)生，則必有一人分到一個班，另兩人分到一個班，所有情況有(甲，乙丙)，(乙，甲丙)，(丙，甲乙)，(乙丙，甲)，(甲丙，乙)，(甲乙，丙)，共6種，且甲、乙兩名學(xué)生分到同一班級的情況有(甲乙，丙)，(丙，甲乙)，共2種．所以甲、乙兩名學(xué)生分到同一班級的概率P＝.故選B． 3．(2019·河北衡水中學(xué)期中)為了加強某站的安全檢查工作，從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為安保人

22、員，則甲、乙、丙中有2人被選中的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為安保人員共有10種情況，甲、乙、丙中有2個被選中有3種情況，故選A． 4．(2019·焦作市高三四模)記[m]表示不超過m的最大整數(shù)．若在x∈上隨機取1個實數(shù)，則使得[log2x]為偶數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　若x∈，則log2x∈(－3，－1)．要使得[log2x]為偶數(shù)，則log2x∈[－2，－1)．所以x∈，故所求概率P＝＝.故選A． 5．將一個棱長為4 cm的正方體表面涂上紅色后，再均

23、勻分割成棱長為1 cm的小正方體．從涂有紅色面的小正方體中隨機取出一個小正方體，則這個小正方體表面的紅色面積不少于2 cm2的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由題意可知共分成了64個小正方體，其中，涂有紅色面的小正方體的個數(shù)為43－23＝56,3個面涂色的小正方體有8個，2個面涂色的小正方體有24個，1個面涂色的小正方體有24個，易知所求概率為＝. 6．(2019·沈陽市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))某英語初學(xué)者在拼寫單詞“steak”時，對后三個字母的記憶有些模糊，他只記得由“a”“e”“k”三個字母組成并且“k”只可能在最后兩個位置，如果他根據(jù)已有信

24、息填入上述三個字母，那么他拼寫正確的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　滿足題意的字母組合有四種，分別是eka，ake，eak，aek，拼寫正確的組合只有一種eak，所以他拼寫正確的概率為P＝.故選B． 7．(2019·湖南益陽市高三模擬)如圖，在區(qū)域：x2＋y2≤4內(nèi)取一點，則該點恰好取自陰影部分(陰影部為“x2＋y2≤4”與“(x－1)2＋(y－1)2≤2”的公共部分)的概率是(　　) A．－ B．1－ C．1－ D．＋ 答案　A 解析　陰影部分的面積為圓(x－1)2＋(y－1)2＝2的半圓面積和圓x2＋y2＝4的弓形面

25、積之和，即×π×()2＋×π×22－2＝2π－2，故所求概率為＝－.故選A． 8．(2019·成都第二次診斷)兩位同學(xué)約定下午5：30～6：00在圖書館見面，且他們在5：30～6：00之間到達的時刻是等可能的，先到同學(xué)須等待，15分鐘后還未見面便離開．則兩位同學(xué)能夠見面的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　從下午5：30開始計時，設(shè)兩位同學(xué)到達的時刻分別為x分鐘，y分鐘，則x，y應(yīng)滿足如圖中正方形OABC所示，若兩位同學(xué)能夠見面，則x，y應(yīng)滿足|x－y|≤15，如圖中陰影部分(含邊界)所示，所以所求概率P＝＝，故選D． 9．一個多面體的直觀圖和三

26、視圖如圖所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF－BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由題圖可知V幾何體F－AMCD＝×S四邊形AMCD×DF＝a3，V幾何體ADF－BCE＝a3，所以它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為＝. 10．(2019·湖北4月調(diào)考)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點A到直線l的距離小于1的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如圖所示，設(shè)與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線y＝

27、x的距離相等，過點A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當(dāng)點A到直線y＝x的距離為1時，即AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故選D． 二、填空題 11．(2019·四川綿陽高三第二次質(zhì)量檢測)一個盒中有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的5張撲克牌，其中3張紅桃，1張黑桃，1張梅花．現(xiàn)從盒中一次性隨機抽出2張撲克牌，則這2張撲克牌花色不同的概率為________． 答案　 解析　所有會出現(xiàn)的情況有：(紅1，黑1)，(紅1，梅1)，(紅2，黑1)，(紅2，梅1)，(紅3，黑1)，(紅3，梅1)，(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅2，紅3)，(黑1，梅

28、1)，共10種．其中符合花色不同的情況有：(紅1，黑1)，(紅1，梅1)，(紅2，黑1)，(紅2，梅1)，(紅3，黑1)，(紅3，梅1)，(黑1，梅1)，共7種，根據(jù)古典概型的概率公式得P＝. 12．有一套無線電監(jiān)控設(shè)備，監(jiān)控著圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域，其半徑為2a，在半徑OA，OB的中點C，D處有兩個檢測點，且有數(shù)據(jù)接收裝置，其接收有效半徑都為a.只有C，D兩個檢測點都有數(shù)據(jù)接收，該處的監(jiān)控才有效，現(xiàn)在在扇形OAB區(qū)域任意選取一個監(jiān)控點，則該監(jiān)控點有效的概率是________． 答案　－ 解析　根據(jù)題意，分別以C，D為圓心，a為半徑作半圓，則兩半圓交于O，E兩點，連接CE，

29、DE，如圖所示，易知四邊形OCED為正方形，有效監(jiān)控區(qū)域為圖中陰影部分所示，則S扇形OAB＝·(2a)2＝πa2， 由圖可知有效監(jiān)控區(qū)域的面積S1＝S扇形DOE＋S扇形COE－S正方形OCED＝πa2－a2， 由幾何概型的概率公式可得， 所求概率P＝＝＝－. 13．(2019·上饒市重點中學(xué)六校高三第二次聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c＝2，C＝，且△ABC的面積為，則a＋b＝_______.現(xiàn)有一只螞蟻在△ABC內(nèi)自由爬行，則某一時刻該螞蟻與△ABC的三個頂點的距離都不小于1的概率為________． 答案　4　1－ 解析　因為三角形的面積為，所

30、以absinC＝，即ab＝4； 又因為c＝2，C＝，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以a＋b＝4. 由得a＝b＝2，故△ABC為等邊三角形． 螞蟻到三個頂點的距離小于等于1時，活動區(qū)域是以三個頂點為圓心半徑為1的扇形區(qū)域，其面積為，三角形面積為，故所求概率為1－＝1－. 概率與統(tǒng)計類解答題 　(12分)近期中央電視臺播出《中國詩詞大會》火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示： 組號 分組 頻數(shù) 頻率 第1組 [160,165) 0.100 第2組

31、 [165,170) ① 第3組 [170,175) 20 ② 第4組 [175,180) 20 0.200 第5組 [180,185) 10 0.100 合計 100 1.00 (1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖(用陰影表示)． (2)為了能選拔出最優(yōu)秀的選

32、手，組委會決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取5名選手進入第二輪面試，則第3,4,5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試？ (3)在(2)的前提下，組委會決定在5名選手中隨機抽取2名選手接受考官A面試，求第4組至少有一名選手被考官A面試的概率． 解題思路　(1)根據(jù)頻率與頻數(shù)的關(guān)系及頻率的性質(zhì)，完成填表和畫圖．(2)由分層抽樣特點求解．(3)根據(jù)古典概型要求，寫出所有基本事件，并求出第4組至少一名選手被面試的概率． 解　(1)第1組的頻數(shù)為100×0.100＝10，所以①處應(yīng)填的數(shù)為100－(10＋20＋20＋10)＝40，從而第2組的頻率為＝0.400.②處應(yīng)填的數(shù)為1－(

33、0.1＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.200.頻率分布直方圖如圖所示．(2分) (4分) (2)因為第3,4,5組共有50名選手，所以利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進入第二輪面試時，每組抽取的人數(shù)分別為： 第3組：×5＝2，第4組：×5＝2，第5組：×5＝1，所以第3,4,5組分別抽取2人，2人，1人進入第二輪面試．(8分) (3)設(shè)第3組的2位選手為A1，A2，第4組的2位選手為B1，B2，第5組的1位選手為C1，則從這五位選手中抽取兩位選手有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(B1，B2)，(

34、B1，C1)，(B2，C1)，共10種情況．(10分) 其中第4組的2位選手B1，B2中至少有一位入選的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有7種情況，所以第4組至少有一名選手被考官A面試的概率為.(12分) 1．根據(jù)頻數(shù)和頻率的性質(zhì)關(guān)系，填對①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)給2分． 2．依據(jù)頻率分布表，準(zhǔn)確畫出頻率分布直方圖給2分． 3．根據(jù)分層抽樣的原理，準(zhǔn)確計算出每組抽取的人數(shù)并總結(jié)給4分． 4．依次序準(zhǔn)確寫出從5名選手中抽取2名選手的10種結(jié)果給2分． 5．寫出第4組的2名選手中至少有一位入選的7種情況

35、，并準(zhǔn)確計算概率的給2分． 1．準(zhǔn)確填寫頻率分布表應(yīng)牢記頻率＝，并且各組頻率之和為1. 2．畫頻率分布直方圖時，要注意縱軸為. 3．分層抽樣是按比例取樣． 4．5選2時注意依序不重不漏，也可以列樹狀圖，以便準(zhǔn)確寫出所有結(jié)果． [跟蹤訓(xùn)練] (12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)

36、； 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較． K2＝. 解　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(A)的估計值為0.62.(4分) (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 合計 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計 96 104 200 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(8分) (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高．因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．(12分) - 19 -