2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修部分 57 坐標(biāo)系課時(shí)訓(xùn)練 文（含解析）

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1、【課時(shí)訓(xùn)練】坐 標(biāo) 系 解答題 1．(2018武漢調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線ρsin ＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 【解】在ρsin ＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P， 所以圓C的半徑PC＝＝1，于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 2．(2018蘭州檢測)設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin ＝上的動(dòng)點(diǎn)，求M，N的最小距離． 【解】因?yàn)镸，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin ＝上的動(dòng)點(diǎn)，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，要求M，N

2、兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點(diǎn)到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 3．(2018安徽蕪湖質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，求直線ρ(cos θ－sin θ)＝2與圓ρ＝4sin θ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【解】ρ(cos θ－sin θ)＝2化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝2，即y＝x－2. ρ＝4sin θ可化為x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0， 所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為. 4．(2018山西質(zhì)檢

3、)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2＝，點(diǎn)R. (1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，點(diǎn)R的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 【解】(1)曲線C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2 θ＝3， 從而 ＋ρ2sin2 θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1， 點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(2,2)． (2)設(shè)P(cos θ，sin θ)， 根據(jù)題意可得|PQ|＝2－cos θ，|

4、QR|＝2－sin θ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin ， 當(dāng)θ＝時(shí)，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周長的最小值為4， 此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為. 5．(2018南京模擬)已知直線l：ρsin ＝4和圓C：ρ＝2kcos (k≠0)．若直線l上的點(diǎn)到圓C上的點(diǎn)的最小距離等于2.求實(shí)數(shù)k的值并求圓心C的直角坐標(biāo)． 【解】圓C的極坐標(biāo)方程可化為ρ＝kcos θ－ksin θ， 即ρ2＝kρcos θ－kρsin θ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－kx＋ky＝0， 即2＋2＝k2， 所以圓心C的直角坐標(biāo)為. 直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρsin θ·－ρc

5、os θ·＝4， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋4＝0， 所以－|k|＝2. 即|k＋4|＝2＋|k|， 兩邊平方，得|k|＝2k＋3， 所以或 解得k＝－1，故圓心C的直角坐標(biāo)為. 6．(2018河南開封模擬)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系． (1)將圓C和直線l方程化為極坐標(biāo)方程； (2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程． 【解】(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分別代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4， 故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． 3