2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點 多得分 第8講 選修4系列 第1課時 坐標系與參數(shù)方程練習 文

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2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點 多得分 第8講 選修4系列 第1課時 坐標系與參數(shù)方程練習 文_第1頁
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1、第1課時 坐標系與參數(shù)方程 [考情分析] 坐標系與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容之一,要求考查:一是直線與圓的極坐標方程,以及極坐標與直角坐標的互化;二是直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化. 熱點題型分析 熱點1 極坐標方程 1.圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r,則圓的極坐標方程為ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程: (1)當圓心位于極點,半徑為r時,ρ=r; (2)當圓心為M(a,0),半徑為a時,ρ=2acosθ; (3)當圓心為M,半徑為a時,ρ=2asinθ. 2.直線的極坐標方程

2、若直線過點M(ρ0,θ0),且極軸與此直線所成的角為α,則此直線的極坐標方程為ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 幾個特殊位置的直線的極坐標方程: (1)直線過極點:θ=θ0和θ=π+θ0; (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:ρcosθ=a; (3)直線過點M,且平行于極軸:ρsinθ=b. (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標方程; (2)當M在曲線C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程. 解 

3、(1)因為M(ρ0,θ0)在曲線C上, 當θ0=時,ρ0=4sin=2. 由已知,得|OP|=|OA|cos=2. 設Q(ρ,θ)為l上除P外的任意一點. 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗,點P在曲線ρcos=2上, 所以l的極坐標方程為ρcos=2. (2)設P(ρ,θ),在Rt△OAP中, |OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ. 因為P在線段OM上,且AP⊥OM, 所以θ的取值范圍是. 所以,P點軌跡的極坐標方程為ρ=4cosθ,θ∈. 1.直角坐標方程化為極坐標方程,只要運用公式x=ρcosθ和y=ρsinθ直接帶入并化簡

4、即可. 2.極坐標方程化為直角坐標時常通過變形,構造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時,方程必須同解,因此應注意變形過程的檢驗. (2018·江蘇高考)在極坐標系中,直線l的方程為ρsin=2,曲線C的方程為ρ=4cosθ,求直線l被曲線C截得的弦長. 解 因為曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ,所以曲線C是以直角坐標(2,0)為圓心,直徑為4的圓.因為直線l的極坐標方程為 ρsin=2,則直線l過A(4,0)(直角坐標),傾斜角為,所以A為直線l與圓C的一個交點.設另一個交點為

5、B,則∠OAB=.連接OB,因為OA為直徑,從而∠OBA=,所以AB=4cos=2.因此,直線l被曲線C截得的弦長為2. 熱點2 參數(shù)方程 1.直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點P0(x0,y0),且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0,y0)的數(shù)量,即|t|=|PP0|(t可正、可負、可零).若M1,M2是l上的兩點,其對應參數(shù)分別為t1,t2,則|M1M2|=|t1-t2|;線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為. 2.圓的參數(shù)方程 圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)). 3.橢圓的參數(shù)方程 橢圓+=1(a>b>0)

6、的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)); 橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點. (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解 (1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1. 當α=時,l與⊙O交于兩點. 當α≠時,記tanα=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為. 設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP, 則t

7、P=, 且tA,tB滿足t2-2tsinα+1=0. 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα. 又點P的坐標(x,y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 . 將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有: (1)代入消參法:將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù),直線的參數(shù)方程通常用代入消參法; (2)三角恒等消參法:利用sin2α+cos2α=1消去參數(shù),圓和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等消參法; (3)常見的消參關系式:t·=1;2-2=4;2+2=1. (2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為

8、極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcosθ+ρsinθ+11=0. (1)求曲線C和直線l的直角坐標方程; (2)求曲線C上的點到直線l距離的最小值. 解 (1)因為-1<≤1, 且x2+2=2+=1, 所以曲線C的直角坐標方程為x2+=1(x≠-1), 直線l的直角坐標方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). 曲線C上的點到直線l的距離為 =. 當α=-時,4cos+11取得最小值7, 故曲線C上的點到直線l距離的最小值為. 熱點3 極坐標與參數(shù)方程的綜合應用 解決極坐標與參數(shù)方程的

9、綜合應用問題的一般思路: (1)在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時,如果不能直接用極坐標解決,或用極坐標解決較麻煩時,可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決.轉(zhuǎn)化時要注意兩坐標系的關系,注意ρ,θ的取值范圍,取值范圍不同對應的曲線不同; (2)解答參數(shù)方程的有關問題時,首先要弄清參數(shù)是誰,代表的幾何意義是什么;其次要認真觀察方程的表現(xiàn)形式,以便于尋找最佳化簡途徑. (2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通方程和C

10、2的直角坐標方程; (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解 (1)C1的普通方程為+y2=1,C2的直角坐標方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設點P的直角坐標為(cosα,sinα).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)==. 當且僅當α=2kπ+(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為. 解決極坐標、參數(shù)方程的綜合問題時應注意下面三點: (1)在對于參數(shù)方程或極坐標方程的應用不夠熟練的情況下,可以先化成普通方程或直角坐標方程,這樣思路可能更加清晰; (2)

11、對于一些運算比較復雜的問題,用參數(shù)方程計算會比較簡捷.如利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關的問題;利用圓或橢圓參數(shù)方程中的參數(shù),轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)處理有關最值的問題; (3)利用極坐標方程解決問題時,要注意題目所給的限制條件和隱含條件. 以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0≤φ<π),曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,當φ變化時,求|AB|的最小值. 解 (1)由消去t, 得xsinφ-ycosφ+2c

12、osφ=0, 所以直線l的普通方程為xsinφ-ycosφ+2cosφ=0. 由ρcos2θ=8sinθ,得(ρcosθ)2=8ρsinθ, 把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得x2=8y, 所以曲線C的直角坐標方程為x2=8y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2=8y, 得t2cos2φ-8tsinφ-16=0, 設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=,t1t2=-, 所以|AB|=|t1-t2|= = =. 當φ=0時,|AB|的最小值為8. 專題作業(yè) 1.(2019·南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))

13、,以坐標原點為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C的極坐標方程; (2)若直線l1,l2的極坐標方程分別為θ=(ρ∈R),θ=(ρ∈R),設直線l1,l2與曲線C的交點為O,M,N,求△OMN的面積. 解 (1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù)),得C的普通方程為x2+(y-2)2=4, 所以曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ. (2)不妨設直線l1:θ=(ρ∈R)與曲線C的交點為O,M,則ρM=|OM|=4sin=2. 又直線l2:θ=(ρ∈R)與曲線C的交點為O,N,則ρN=|ON|=4sin=2.又∠MON=,

14、所以S△OMN=|OM||ON|=×2×2=2. 2.(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率. 解 (1)曲線C的直角坐標方程為+=1. 當cosα≠0時,l的直角坐標方程為y=tanα·x+2-tanα, 當cosα=0時,l的直角坐標方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(

15、1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設為t1,t2,所以x1+x2=(1+t1cosα)+(1+t2cosα)=2,所以(t1+t2)cosα=0,又cosα≠0,所以t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,所以tanα=-2,于是直線l的斜率k=tanα=-2. 3.(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M為l3

16、與C的交點,求M的極徑. 解 (1)消去參數(shù)t,得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去參數(shù)m,得l2的普通方程l2:y=(x+2). 設P(x,y),由題設,得 消去k,得x2-y2=4(y≠0), 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π), 聯(lián)立 得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 故tanθ=-,從而cos2θ=,sin2θ=. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,得ρ2=5, 所以交點M的極徑為. 4.(2019·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xO

17、y中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為ρcos=a,且l過點A,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值; (2)過點B(-1,1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M,N兩點,求|BM|·|BN|的值. 解 (1)由直線l過點A可得cos=a, 故a=, 則易得直線l的直角坐標方程為x+y-2=0. 根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點到直線l的距離 d==, 其中sinφ=,cosφ=, 所以dmax==. 即曲線C1上的點到直線l的距離的最大值為. (2)由(1)知直線l的傾斜角為, 則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 易知曲線C1的普通方程為+=1. 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得 t2+7t-5=0, 設M,N兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2, 所以t1t2=-,根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知 |BM|·|BN|=|t1t2|=. - 9 -

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