2020屆高考數學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線專題強化練 理

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1、第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 A級 基礎通關 一、選擇題 1.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則(  ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 解析:由e==,則a=2c. 又a2=b2+c2,所以3a2=4b2. 答案:B 2.(2019·天一聯考)設雙曲線C:-=1的左右焦點分別為F1、F2,過點F1的直線與雙曲線C交于M,N兩點,其中M在左支上,點N在右支上,若∠F2MN=∠F2NM,則|MN|=(  ) A.8 B.4 C.8 D.4 解析:由∠F2MN=∠F2NM,知|F2M|=|F2N|, 又|M

2、F2|-|MF1|=4,|NF1|-|NF2|=4. 兩式相加,得|NF1|-|MF1|=8, 故|MN|=|NF1|-|MF1|=8. 答案:C 3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. 解析:如圖所示,在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=, 由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF| cos ∠ABF=100+64-2×10×8×=36, 所以|AF|

3、=6,∠BFA=90°, 設F′為橢圓的右焦點,連接BF′,AF′. 根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形. 所以|BF′|=6,|FF′|=10,所以2a=8+6,2c=10, 解得a=7,c=5,所以e==. 答案:B 4.(2019·長郡中學模擬)已知F1,F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若點F2關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足∠F1AO=∠AOF1(O為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為(  ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 解析:設F2A與漸近線y=x交于點M,且O,M分別為F1F2、F2A的中點, 故OM∥F1

4、A,則F1A⊥F2A,OA=OF1=c. 又∠F1AO=∠AOF1,所以△F1OA為正三角形, 所以∠MOF2=, 故雙曲線的漸近線為y=±x. 答案:A 5.(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(  ) A. B. C.2 D. 解析:設雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點F的坐標為(c,0).由圓的對稱性及條件|PQ|=|OF|可知,PQ是以OF為直徑的圓的直徑,且PQ⊥OF. 設PQ與OF交于點M,連接OP,如

5、圖所示. 則|OP|=a,|OM|=|MP|=, 由|OM|2+|MP|2=|OP|2,得2·=a2, 故=,離心率e=. 答案:A 二、填空題 6.(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2-=1(b>0)經過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是________. 解析:因為雙曲線x2-=1(b>0)經過點(3,4),則9-=1(b>0),解得b=,即雙曲線方程為x2-=1, 因此雙曲線的漸近線方程為y=±x. 答案:y=±x 7.(2019·珠海調研)已知直線l是拋物線y2=2px(p>0)的準線,半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F,且與直線l相切,則

6、拋物線的方程為________. 解析:由已知圓心在OF的中垂線上,故圓心到準線的距離為p,所以p=3,所以p=4,故拋物線的方程為y2=8x. 答案:y2=8x 8.(2019·全國卷Ⅲ)設F1,F2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為________. 解析:設F1為橢圓的左焦點,分析可知點M在以F1為圓心,焦距為半徑的圓上,即在圓(x+4)2+y2=64上. 因為點M在橢圓+=1上, 所以聯立方程可得解得 又因為點M在第一象限,所以點M的坐標為(3,). 答案:(3,) 三、解答題 9.(2018·全國卷Ⅱ)設

7、拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設知=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-

8、2=-(x-3),即y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 10.(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0). (1)證明:k<-; (2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且++=0. 證明:||,||,||成等差數列,并求該數列的公差. (1)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1,+=1. 兩式相減,并由=k得+·k=0. 由題設知=1,=m,于是k=-.① 由題

9、設得0

10、理得7x2-14x+=0. 故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=. 所以該數列的公差為或-. B級 能力提升 11.(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0).連接F1A,令|F2B|=m,則|AF2|=2m,|BF1|=3m. 由橢圓的定義知,4m=2a, 得m=, 故|F2A|=a=|F1A|,則點A為橢圓C的上頂點或下

11、頂點.如圖. 不妨設A(0,-b),由F2(1,0),=2,得B. 由點B在橢圓上,得+=1, 得a2=3,b2=a2-c2=2,橢圓C的方程為+=1. 答案:B 12.(2019·天津卷)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上,若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率. 解:(1)設橢圓的半焦距為c,依題意2b=4,得b=2. 又e==,且a2=b2+c2=4+c2, 解之得a=,c=1. 所以橢圓的方程為+=1. (2)由題意,設P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設直線PB的斜率為k(k≠0), 又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯立整理得(4+5k2)x2+20kx=0, 可得xP=-, 代入y=kx+2得yP=, 進而直線OP的斜率為=. 在y=kx+2中,令y=0,得xM=-. 由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-. 由OP⊥MN,得·=-1,化簡得k2=, 從而k=±. 所以,直線PB的斜率為或-. - 7 -

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